Некоторые додаткові обчислювальні методы

Министерство освіти та РФ.

ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ».

Курсова работа.

по «Обчислювальною математике».

на задану тему: «Деякі додаткові обчислювальні методы».

Семестр № 3.

Преподаватель.

Кочнев В.П.

Студент грн. № р-23 021д.

Логиновских М.А.

Номер залікової книжки 17 309 013.

Екатеринбург.

____________________________________________________________________________.

_.

Домашнее завдання з ________________________________ № ________________.

№ запис у книзі реєстрації __________________ дата реєстрації ___________200_г.

Преподаватель _________________________________________.

Студент _________________________________________ група № ________________.

Деканат ФДО _______________.

1. Рішення систем лінійних рівнянь … 3 а) Схема Халецкого … 3 б) Метод Зейделя й умови збіжності … 5 2. Методи рішення нелінійних рівнянь … 6 а) Метод хорд … 7 б) Метод Ньютона (метод дотичних) … 8 в) Метод ітерації … 9 3. Интерполирование і екстраполювання … 11 а) Интерполирование з допомогою багаточленів … 11 б) Интерполяционный багаточлен Лагранжа … 12 в) Интерполяционные багаточлени Стирлинга і Бесселя … 13 р) Тригонометрическое интерполирование … 15.

буд) Інтерполяція сплайнами … 15 4. Кількісна диференціювання й інтеграцію … 16 а) Постановка завдання чисельного інтегрування … 16 б) Складові квадратурные формули … 17 5. Близьке обчислення звичайних диференційних рівнянь … 18 а) Метод Рунге-Кутта … 18 б) Экстраполяционные методи Адамса … 20 в) Метод Мілна … 20 р) Крайові завдання для звичайних диференційних рівнянь … 21 6. Наближені на методи вирішення диференційних рівнянь із приватними похідними … 21 а) Класифікація диференційних рівнянь другого порядку … 22 б) Постановка крайових завдань … 23 в) Метод кінцевих разностей (метод сіток) … 24 р) Разностные схеми на вирішення рівняння теплопровідності … 25.

буд) Разностные схеми на вирішення рівняння коливання струни … 26 7. Список літератури … 27.

1. Рішення систем лінійних уравнений Системы лінійних рівнянь (СЛУ) мають у своєму обчисленнях дуже великий значення, бо дійшли ним може бути близьке рішення широкого кола завдань. Так, основними джерелами виникнення СЛУ є теорія електричних ланцюгів, рівняння балансів і збереження в механіці, гідравліці тощо. Є кілька способів вирішення таких систем, які у основному діляться на два типу: 1) точні методи, які становлять кінцеві алгоритми для обчислення коренів системи, 2) итерационные методи, що дозволяють одержувати коріння системи із заданої точністю шляхом збіжних нескінченних процесів. Зауважимо, що й результати точних методів є наближеними через неминучих округлений. Для итерационных процесів також додається похибка методу. Приклад системи лінійних рівнянь: [pic] Чи у матричному вигляді: [pic], де [pic]матрица коефіцієнтів системи; [pic] - вектор невідомих; [pic] - вектор вільних членов.

Схема Халецкого Запишем систему лінійних рівнянь в матричному вигляді: [pic], де A=[aij] - квадратна матриця порядку n і [pic], [pic] - векторы-столбцы. Уявімо матрицю A як твори нижньої трикутною матриці B=[bij] і верхньої трикутною матриці C=[cij] з одиничної діагоналлю [pic], де [pic] і [pic]. Тоді елементи bij і cij визначаються по формулам [pic] і [pic] Звідси шуканий вектор x то, можливо вирахувано з рівнянь [pic] і [pic]. Оскільки матриці B і З — трикутні, то системи легко вирішуються: [pic] і [pic] З положень цих двох формул видно, що числа yi вигідно обраховувати разом із коефіцієнтами cij. Цей метод отримав назву схеми Халецкого. У схемою застосовується звичайний контроль з допомогою сум. Якщо матриця A — симметрическая aij=aji, то [pic] Приклад. Вирішити систему [pic] Рішення. У розділ таблиці упишемо матрицю коефіцієнтів системи, її вільні члени уряду й контрольні суми. Далі оскільки [pic] [pic], то перший стовпець з розділу 1 переноситься перший стовпець розділу II. Щоб самому отримати першу рядок розділу II, ділимо все елементи першого рядка чудово розділу I на элемент[pic], у разі на 3. Маємо: [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. Переходимо заповнення другого шпальти розділу II, починаючи з другий рядки. Користуючись формулами, визначаємо [pic]: [pic]; [pic]; [pic]. Далі визначаючи по формулам, заповнюємо другу сітку для розділу II: [pic][pic] [pic] [pic] Потім переходимо до третьої стовпцю, вираховуючи його елементи [pic] і [pic] по формулам тощо., поки що не заповнена вся таблиця розділу II. Таким чином, заповнення розділу II відбувається способом «ялинки»: стовпець — рядок, стовпець — рядок тощо. У розділі Ш, користуючись формулами, визначаємо [pic] і [pic]. Поточний контроль здійснюється з допомогою шпальти P. S, з якого виробляються самі дії, як і над стовпцем вільних членів. |0 |1,200|0,000|0,000| | |0 |0 |0 | |1 |1,200|1 |0,948| | |0 |, 0600|0 | |2 |0,999|1,005|0,999| | |2 |4 |1 | |3 |0,999|1.000|1,000| | |6 |1 |1 | |4 |1 |1,000|1,000| | |, 0000|0 |0 | |5 |1 |1,000|1,000| | |, 0000|0 |0 |.

Точні значення коренів: [pic].

2. Методи рішення нелінійних уравнений Как відомо, далеко ще не всяке рівняння f (x)=0 можна вирішити точно, тобто. не можна знайти число [pic] таке що f ([pic])?0. Передусім це належить до трансцендентним рівнянням. З іншого боку, навіть алгебраїчних рівнянь ступеня вище четвертої не існують формули, котра виражає їх рішення через коефіцієнти рівняння з допомогою арифметичних операцій та вилучення коренів. Для рівнянь третього й четвертого ступеня формули для відшукання коренів існують, але де вони настільки складні, що сьогодні практично не застосовуються. Тому велике значення має тут близьке обчислення коренів рівняння f (x)=0. На це є безліч методів деякі, з що їх рассмотрим.

Метод хорд Пусть дано рівняння f (x)=0, де функція f (x) визначена і безупинна на інтервалі [a, b] і f (a)f (b).