Основа та принципи перетворення

Алгоритм перетворення Фур'є став викликом теоретичним основам математики того часу. На початку дев’ятнадцятого століття більшість видатних учених, у тому числі і Лагранж, Лаплас, Пуассон, Лежандр і Біо, не прийняли його твердження про те, що початковий розподіл температури розкладається на складові у вигляді основної гармоніки і більше високочастотні. Однак академія наук не могла проігнорувати результати, отримані математиком, і удостоїла його премії за теорію законів теплопровідності, а також проведення порівняння її з фізичними експериментами.

У підході Фур'є головне заперечення викликав той факт, що розривна функція представлена сумою декількох синусоїдальних функцій, які є безперервними. Адже вони описують розриваються прямі і криві лінії. Сучасники вченого ніколи не стикалися з подібною ситуацією, коли розривні функції описувалися комбінацією безперервних, таких як квадратична, лінійна, синусоїда або експонента. У тому випадку, якщо математик був правий у своїх твердженнях, то сума нескінченного ряду тригонометричної функції повинна зводитися до точної ступінчастою. У той час подібне твердження здавалося абсурдним. Однак, незважаючи на сумніви, деякі дослідники (наприклад Клод Навьє, Софі Жермен) розширили сферу досліджень і вивели їх за межі аналізу розподілу теплової енергії. А математики тим часом продовжували мучитися питанням про те, чи може сума кількох синусоїдальних функцій зводитися до точного поданням розривної.

Дана теорія розвивалася протягом двох століть, на сьогоднішній день вона остаточно сформувалася. З її допомогою просторові або тимчасові функції розбиваються на синусоїдальні складові, які мають свою частоту, фазу і амплітуду. Дане перетворення виходить двома різними математичними методами.

Перший з них застосовується в тому випадку, коли вихідна функція є безперервною, а другий — в тому випадку, коли вона представлена безліччю дискретних окремих змін. Якщо вираз отримано із значень, які визначені дискретними інтервалами, то його можна розбити на кілька синусоїдальних виразів з дискретними частотами — від найнижчої і далі вдвічі, втричі і так далі вище основної. Таку суму прийнято називати поруч Фур'є.

Якщо початкове вираз задано значенням для кожного дійсного числа, то його можна розкласти на кілька синусоїдальних всіх можливих частот. Його прийнято називати інтегралом Фур'є, а рішення має на увазі під собою інтегральні перетворення функції. Незалежно від способу отримання перетворення, для кожної частоти слід вказувати два числа: амплітуду і частоту. Дані значення виражаються у вигляді єдиного комплексного числа.

Теорія виразів комплексних змінних спільно з перетворенням Фур'є дозволила проводити обчислення при конструюванні різних електричних ланцюгів, аналіз механічних коливань, вивчення механізму поширення хвиль та інше.