Граничні умови загального вигляду

План.

1. У Поєднанні оператор. 2. Сполучена однорідна завдання. 3. Умови разрешимости.

У Поєднанні оператор.

Обозначим через [pic] диференціальний оператор другого порядку, тобто. [pic] (1) де [pic] є безперервні функції між тим [pic]. Якщо [pic] і [pic]- двічі безупинно дифференцируемые на [pic]функции, то маємо: [pic] (2) Як і попередньому параграфі, інтегрування співвідношення (2) частинами дає: [pic] (3) Означимо диференціальний оператор, входить у подынтегральное вираження у правій частині (3) через [pic], тобто. [pic] (4) У цьому співвідношення (3) перепишеться так: [pic] (5) Оператор [pic] називається сопряженным стосовно оператору [pic]. Примножуючи співвідношення (4) на [pic] і інтегруючи отриманого результату по частинам, стосовно оператору [pic]. Отже, оператори [pic] і [pic] взаємно поєднані. Як і попередньому параграфі, диференціальний рівняння: [pic](6) називатимемо сопряженным диференціальному рівнянню: [pic](7) Якщо ж [pic], то оператор [pic] і диференціальний рівняння [pic]будем називати сполученими. Порівнюючи висловлювання (1) і (5), доходимо висновку, що [pic] тоді й тільки, коли: [pic] Отже, оператор [pic] будемо самосопряженным тоді й тільки тоді, коли [pic]. У цьому: [pic] Оскільки будь-яке диференціальний рівняння виду (7) можна перетворити на самосопряженную форму, помноживши на функцію [pic]. Дифференцируя співвідношення (5) по [pic], отримуємо так звану формулу Лагранжа: [pic] (8) Права частину цієї формули то, можливо записана як: [pic] (9) де [pic] [pic] [pic] (10) Зазначимо, що: [pic] і отже, матриця [pic]-невырожденная. Підстановка висловлювання (9) в співвідношення (8) дає: [pic](11).

Сполучена однорідна задача.

Введем таке невырожденное лінійне перетворення [pic] в вектор [pic]: [pic][pic](12), де [pic] [pic] Зауважимо, що зазначений перетворення може бути здійснене незліченним безліччю способів, залежно від вибору матриці А. При заданому ненулевом векторі [pic]две останні рядки матриці А можна вибрати так, щоб надати будь-які необхідні значення компонентам[pic]. Це зауваження використовують у подальшому під час перебування виду пов’язаних граничних умов. Оскільки [pic], ми можемо звернути перетворення (12) і получить:

[pic]. У цьому (11) можна переписати як: [pic] чи [pic] (13), де [pic] (14) Билинейная форма [pic] у відсотковому співвідношенні (13) називається канонічним поданням билинейной форми у правій частині тотожності (11). Щоб знайти граничні умови пов’язаною завдання, між іншим в співвідношенні (13) [pic]и [pic]и одержимо: [pic] (15) З формули (21) слід, що однорідні граничні умови, еквівалентні равенствам: [pic] (16).

[pic] (17) З урахуванням рівностей (16) і (17) співвідношення (15) набуває вигляду: [pic] (18).

При ненулевом векторі [pic] останні два рядки матриці А може бути обрані те щоб компоненти [pic] і [pic] приймали будь-які необхідні значення, аби [pic] і [pic]не зверталися до нуль одночасно. У частковості, нижні рядки матриці А можна вибрати з умови [pic]. У цьому з співвідношення (11) слід, що [pic]. Так, нижні рядки матриці А можна вибрати те щоб виконувалися рівності [pic]. У цьому з співвідношення (11) випливає, що [pic]. Отже, завдання, сполучена завданню [pic](19).

имеет вид:

[pic] (20).

где [pic] і [pic] пов’язані з компонентами [pic] вектора [pic] співвідношенням (14). Крайова завдання (19) називається самосопряженной тоді й тільки тоді, коли [pic]и кожна гілка двох компонент [pic] і [pic] є лінійної комбінацією [pic] і [pic], тобто. [pic]пропорциональна [pic].

Один з определителей:

[pic].

матриц-блоков.

[pic].

должен бути відмінними від нуля. Щоб матимуть можливість порівняти ці результати з тими. отриманих у минулому параграфі, припустимо. що [pic]. Далі, виберемо такі [pic]и [pic], щоб рядки матриці А були лінійно независимы.

Например, між іншим [pic]и [pic].

При цьому матриця, А прийме вид:

[pic] (21).

Из формули (19) слід, що [pic].

Тогда.

[pic] (22).

Подставляя матриці (20) і (9) в співвідношення (14) маємо (14а):

[pic]Следовательно, граничні умови пов’язаною завдання мають вид:

[pic] (22) [pic] (23) А, щоб крайові завдання були самосопряженными необхідно, щоб [pic] і щоб кожна гілка компонент [pic] і [pic] була лінійної комбінацією [pic] і [pic]. Як зазначалося вище, [pic] тоді й тільки тоді, коли [pic]. У цьому умови (21) і (20) приймають вид: [pic] (24) Дозволяючи рівності щодо [pic] і [pic] при [pic] і замінюючи [pic] на [pic], отримуємо: [pic] (25) Порівнюючи граничні умови (24) і (25), укладаємо, що вони збігаються тоді і тільки тоді ми, когда:

[pic] (26).

Краевая завдання при [pic] самосопряжена тоді й тільки тоді, коли виконані співвідношення (24) і рівність [pic].

Умова разрешимости.

Определив сполучену крайову завдання, повернемося до вирішення неоднорідною завдання. Використовуючи визначення (25), перепишемо формулу Гріна в виде:

[pic] (27).

[pic],.

тогда з співвідношення (27) випливає, що умова разрешимости має вид:

[pic] (27).

Для здобуття права порівняти умова (27) з вимогою разрешимости, використовуємо зв’язок [pic] і [pic] з вектором [pic], описувану формулою (14а) т. е.:

[pic] (28).

При цьому співвідношення (27) приймає вид:

[pic].

Если поводитися з граничними умовами загального виду можна сформулювати якіабо дві з граничних значень після двох других.