Поняття множини. 
Способи задання множин. 
Операції над множинами та їхні властивості. 
Підмножини (реферат)

Реферат на тему:

Поняття множини. Способи задання множин. Операції над множинами та їхні властивості. Підмножини

1. Поняття множини. Способи задання множин Для наших цілей достатньо буде викладення основ так званої інтуїтивної або наївної теорії множин, яка в головних своїх положеннях зберігає ідеї та результати засновника теорії Г. Кантора.

В інтуїтивній теорії множин поняття «множина» належить до первинних невизначальних понять, тобто воно не може бути означено через інші більш прості терміни або об'єкти, а пояснюється на прикладах, апелюючи до нашої уяви та інтуіції. Такими поняттями в математиці є також поняття «число», «пряма», «точка», «площина» тощо.

Канторівський вираз: «Множина — це зібрання в єдине ціле визначених об'єктів, які чітко розрізняються нашою інтуіцією або нашою думкою» — безумовно не може вважатися строгим математичним означенням, а є скоріше поясненням поняття множини, яке заміняє термін «множина» на термін «зібрання». Іншими синонімами основного слова «множина» є «сукупність», «набір», «колекція», «об'єднання» тощо.

Прикладами множин можуть служити: множина десяткових цифр, множина літер українського алфавіту, множина мешканців Києва, множина парних чисел, множина розв’язків деякого рівняння та ін.

На письмі множини позначаються, як правило, великими літерами. Для деяких множин у математиці вживаються сталі позначення. Наприклад, Z — множина цілих чисел, N — множина натуральних чисел, Q — множина раціональних чисел, R — множина дійсних чисел тощо.

Об'єкти, з яких складається задана множина, називаються її елементами. Елементи множин позначатимемо малими літерами латинського алфавіту. Той факт, що об'єкт a є елементом множини M записується так: aчитається: «a належить M» або" a є елемент M"). Знак належності елемента множині стилізацією першої літери грецького слова (бути). Для того, щоб підкреслити, що деякий елемент a не належить множині M, вживають позначення aабо a $$\stackrel{}{\mathrm{^I}}$$ M.

Запис a, b, c,…використовують для скорочення запису abc…

Множину називають скінченною, якщо кількість її елементів скінченна, тобто існує натуральне число k, що є числом елементів цієї множини. У противному разі множина є нескінченною.

Для задання множини, утвореної з будь-яких елементів, будемо використовувати два такі способи. В основі обох із них лежить позначення множини за допомогою фігурних дужок.

1. Якщо a1, a2,…, an — деякі об'єкти, то множина цих об'єктів позначається через {a1,a2,…, an}, де у фігурних дужках міститься перелік усіх елементів відповідної множини. З останнього зауваження випливає, що в такий спосіб можуть бути задані тільки скінченні множини. Порядок запису елементів множини при цьому позначенні є неістотним.

Приклад 1.1. Множина десяткових цифр записується {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, множина основних арифметичних операцій — {+,-,*,/} або {*,/,+,-}, множина розв’язків нерівності (x-1)2 — {1}.

Слід пікреслити, що однією з основних ідей канторівської теорії множин був розгляд множини як нового самостійного об'єкта математичного дослідження. Тому необхідно розрізняти такі два різні об'єкти, як елемент a і множина {a}, яка складається з єдиного елемента a. Зокрема, множини можуть виступати в ролі елементів якоїсь іншої множини. Наприклад, множина всіх можливих пар з елементів a, b і c D = {{a, b},{a, c},{b, c}} складається з трьох елементів і задана цілком коректно.

2. Другий спосіб задання множин грунтується на зазначенні загальної властивості або породжувальної процедури для всіх об'єктів, що утворюють описувану множину.

У загальному випадку задання множини M має вигляд: M = {a | P (a)}.

Цей вираз читається так: «множина M — це множина всіх таких елементів a, для яких виконується властивість P», де через P (a) позначено властивість, яку мають елементи множини M і тільки вони. Замість вертикальної риски іноді записують двокрапку.

Приклад 1.2.

S = { n | n — непарне число } або S = { n | n = 2k+1, k,.

X = { x | x = k,.

F = { fi | fi+2 = fi+1 + fi, if1 = f2 = 1 }.

Другий спосіб є більш загальним способом задання множин. Наприклад, введену вище множину D всіх пар з елементів a, b і c можна задати так.

D = { {x, y} | xb, c}, yb, c} і x. (1.1).

З метою зручності та одностайності при проведенні математичних викладок вводиться поняття множини, яка не містить жодного елемента. Така множина називається порожньою множиною і позначається Наприклад, якщо досліджується множина об'єктів, які повинні задовольняти певній властивості, і в подальшому з’ясовується, що таких об'єктів не існує, то зручніше сказати, що шукана множина порожня, ніж оголосити її неіснуючою. Порожню множину можна означати за допомогою будь-якої суперечливої властивості, наприклад: | xтощо. Разом із тим, твердженням «множина M — непорожня» можна замінювати рівносильне йому твердження «існують елементи, які належать множині M» .

2. Підмножини Дві множини A і B називаються рівними (записується A=B), якщо вони складаються з тих самих елементів.

Множина A називається підмножиною множини B (записується Aабо Bтоді і тільки тоді, коли кожний елемент множини A належить також множині B. Кажуть також, що множина A міститься у множині B. Знаки азиваються знаками включення.

Неважко переконатись, що A=B тоді і тільки тоді, коли одночасно виконуються два включення: Aі BКрім того, якщо Aі Bто AОстанні два факти часто використовуються при доведенні тверджень про рівність двох заданих множин.

Якщо Aоднак Aто пишуть Aі називають множину A власною (строгою або істинною) підмножиною множини B. Знак або на відміну від знака або називається знаком строгого включення.

Очевидно, що для будь-якої множини A виконується AКрім того, прийнято вважати, що порожня множина є підмножиною будь-якої множини A, тобто A (зокрема, /p>

Слід чітко розуміти різницю між знаками не плутати ситуації їхнього вживання. Якщо {a}то aі навпаки.

Однак із включення {a}взагалі кажучи, не випливає {a}Для будь-якого об'єкта x виконується x. Наприклад, для множини D (1.1) і її елементів виконуються такі співвідношення: {a, b}{{a, b},{b, c}}ab}, {c}c}, {a}b}.

3. Операції над множинами та їхні властивості.

Для множин можна ввести ряд операцій (теоретико-множинних операцій), результатом виконання яких будуть також множини. За допомогою цих операцій можна конструювати із заданих множин нові множини.

Нехай A і B деякі множини.

а) Об'єднанням множин A і B (позначається A називається множина тих елементів, які належать хоча б одній з множин A чи B. Символічно операція об'єднання множин записується так.

A = { x | xабо x або x$$[\begin{array}{c}\mathit{x^IA},\\ \mathit{x^IB}\text{.}\end{array}$$.

Приклад 1.3. {a, b, c}, c, d, e} = {a, b, c, d, e}.

б) Перетином множин A і B (позначається A називається множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать множинам A і B одночасно. Тобто.

A { x | xі xабо x$$\{\begin{array}{c}\mathit{x^IA},\\ \mathit{x^IB}\text{.}\end{array}$$.

Приклад 1.4. {a, b, c}c, d, e} = {a, c}, {a, b, c}e} = p>

Кажуть, що множини A і B не перетинаються, якщо A p>

Операції об'єднання та перетину множин можуть бути поширені на випадок довільної сукупності множин {Ai | i. Так об'єднання множин Ai (записується $$\underset{iI}{}$$ Ai) складається з тих елементів, які належать хоча б одній з множин Ai даної сукупності. А перетин множин A (записується $$\underset{iI}{}$$ Ai) містить тільки ті елементи, які одночасно належать кожній з множин Ai.

в). Різницею множин A і B (записується AB) називається множина тих елементів, які належать множині A і не належать множині B. Отже,.

A B = { x | xі xабо x B $$\{\begin{array}{c}\mathit{x^IA},\\ \mathit{x"\; IB}\text{.}\end{array}$$.

Приклад 1.5. {a, b, c} {a, d, c} = {b},.

{a, c, d, e} {a, b, c} = {d, e},.

{a, b} {a, b, c, d} = p>

г). Симетричною різницею множин A і B (записується AAабо A називається множина, що складається з усіх елементів множини A, які не містяться в B, а також усіх елементів множини B, які не містяться в A. Тобто.

A { x | (xі x або (xі x} або x$$[\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}\mathit{x^IA},\\ \mathit{x"\; IB},\end{array}\\ \{\begin{array}{c}\mathit{x^IB},\\ \mathit{x"\; IA}\text{.}\end{array}\end{array}$$.

Приклад 1.6. {a, b, c}c, d, e} = {b, d, e},.

{a, b}, b} = p>

Введені теоретико-множинні операції можна проілюструвати діаграмою (рис. 1.1).

Тут множини A і B — це множини точок двох кругів.

Тоді A складається з точок областей І, ІІ, ІІІ,.

A це область ІІ,.

A B — область І,.

B A — область ІІІ,.

A області І і ІІІ.

Рис. 1.1.

д). У конкретній математичній теорії буває зручно вважати, що всі розглядувані множини є підмножинами деякої фіксованої множини, яку називають універсальною множиною або універсумом і позначають через E (або U). Наприклад, в елементарній алгебрі такою універсальною множиною можна вважати множину дійсних чисел R, у вищій алгебрі - множину комплексних чисел C, в арифметиці - множину цілих чисел Z, в традиційній планіметрії - множину всіх точок площини або множину всіх геометричних об'єктів, тобто множину множин точок на площині тощо.

Якщо зафіксована універсальна множина E, то доповненням множини A (яке є підмножиною універсальної множини E) — записується $$\stackrel{}{A}$$ — називається множина всіх елементів універсальної множини, які не належать множині A.

Тобто.

$$\stackrel{}{A}$$ = { x | xі x або xath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >A.

Неважко помітити, що $$\stackrel{}{A}$$ = E A.

Приклад 1.7. Якщо за універсальну множину прийняти множину N всіх натуральних чисел, то доповненням $$\stackrel{}{P}$$ множини P всіх парних натуральних чисел буде множина всіх непарних натуральних чисел.

Зазначимо у вигляді тотожностей властивості введених вище теоретико-множинних операцій.

1. Асоціативність (A = A — (A A.

2. Комутативність A = B A B/p>

3. Дистрибутивність A (A A (A.

4. Ідемпотентність A = AA A. (1.2).

5. Інволютивність $$\stackrel{}{\stackrel{}{A}}$$ $$$$ = A.

6. Правила (закони) де Моргана $$\stackrel{}{\mathit{A`EB}}$$ = $$\stackrel{}{A}$$ ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >B — $$\stackrel{}{\mathit{ACB}}$$ = $$\stackrel{}{A}$$ math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >B .

Зазначимо, що правила де Моргана припускають узагальнення для сукупності множин:

$$\stackrel{}{\underset{\mathit{i^II}}{}{A}_i}=\underset{\mathit{i^II}}{\mathit{intersect}}\stackrel{}{A_i}$$ — $$\stackrel{}{\underset{\mathit{i^II}}{\mathit{intersect}}{A}_i}=\underset{\mathit{i^II}}{}\stackrel{}{A_i}$$ .

Наведемо ще ряд корисних теоретико-множинних тотожностей:

A A, A = p>

A = E, A A;

A ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >A = E, Aath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >A = (1.3).

$$\stackrel{}{E}$$ = $$\stackrel{}{\mathrm{AE}}$$ = E.

Окремо запишемо властивості операції симетричної різниці:

A (AB) A) = (A (A= (Aath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >B) $$\stackrel{}{A}$$.

(A A (асоціативність),.

A B (комутативність) (1.4).

A= (A (дистрибутивність відносно перетину),.

A A $$\stackrel{}{A}$$, A = A.

Приклад 1.8. Покажемо істинність однієї з наведених тотожностей — правила де Моргана.

$$\stackrel{}{\mathit{A`EB}}$$ = $$\stackrel{}{A}$$ ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >B. (1.5).

Доведемо спочатку, що.

$$\stackrel{}{\mathit{A`EB}}$$ math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >A ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >B. (1.6).

Нехай елемент xath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >A`EB, тоді x (A, тобто xі xзвідси xath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >A і xath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >B, отже, xath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >A ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >B. Таким чином, має місце $$\stackrel{}{\mathit{A`EB}}$$ math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >A ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >B .

Доведемо обернене включення.

$$\stackrel{}{A}$$ ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >B ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >A`EB. (1.7).

Припустимо xath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >A ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >B, це означає, що xath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >A і xath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >B, тобто xі xзвідси xотже xath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >A`EB. Зі справедливості обох включень (1.6) і (1.7.) випливає істинність рівності (1.5).

Аналогічно можуть бути доведені всі інші наведені теоретико-множинні тотожності. Ці тотожності дозволяють спрощувати різні складні вирази над множинами.

Приклад 1.9. Послідовно застосовуючи тотожності з (1.2) і (1.3), маємо.

(Aath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >D)math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >A math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >B = (Aath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >D)$$\stackrel{}{A}$$ ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >B = = ((Aath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >D) $$\stackrel{}{\mathit{ACBC}\stackrel{}{D}}$$)) E C.