Адаптивное параметрическое оцінювання квадратно-корневыми інформаційними алгоритмами

Проблема ідентифікації лінійної динамічної системи залежить від створенні моделі процесу з його піднаглядним вхідним і вихідним сигналам в детерміністській чи стохастической обстановці. Процес ідентифікації включає у собі дві незалежні процедури, саме, структурну ідентифікацію й ідентифікації параметров.

Коли невідомі структура об'єкту і відповідні фізичні закони, яким підпорядковується її поведінка, проводяться експерименти, створені задля виявлення структури об'єкту і законів її поведінки методами структурної ідентифікації. Що стосується, коли відома структура об'єкта (тобто. існує модель характеризує його властивості), а невідомими є його характеристики, описувані конечномерным вектором, останні визначаються методами параметричної идентификации.

Постановка задачи.

Метою згаданої дипломної роботи є підставою дослідження нового методу параметричної ідентифікації заснованого на синтезі методу максимального правдоподібності і методу квадратно-корневого інформаційного фільтра (ККИФ), порівняння його коїться з іншими існуючими алгоритмами з погляду обчислювальної точності, швидкодії і труднощі, і навіть реалізація цього методу на ЭВМ.

Метод.

Як відомо, оцінкою максимального правдоподібності є значення оцінюваних параметрів, яке максимизирует ймовірність події, при якому спостереження, згенеровані з підстановкою оцінюваних параметрів, збігаються зі справжніми значеннями спостережень. Обчислення оцінки максимального правдоподібності то, можливо итеративно виконано з допомогою характеристичного рівняння, що містить у собі градієнт зворотного логарифма функції правдоподібності і інформаційну матрицю Фішера. Обчислення функції правдоподібності й інформаційної матриці Фішера вимагають застосування фільтра Калмана (і навіть його похідних кожному за параметра оцінювання), який, як відомо, не має достатньої сталістю. Бірман, займався побудовою чисельно стійких алгоритмів фільтрації, запропонував для обчислення оцінки максимального правдоподібності итеративным чином використовувати квадратно-корневой інформаційний фільтр. На відміну від традиційного фільтра Калмана, ККИФ дозволяє уникнути чисельної нестійкості, що є результатом обчислювальних похибок, оскільки замість ковариации помилки оцінок на етапах екстраполяції і обробки вимірів, за своєю природою позитивно певних, ККИФ оперує зі своїми квадратними корінням. Це означає, що обчислення квадратного кореня рівносильне рахунку з подвійним точністю ковариации помилок, ще усувається небезпека втрати матрицею ковариаций властивості позитивно визначеності. Вадою цієї методу є присутність операцій вилучення квадратного корня.

Отже, обчислення оцінки максимального правдоподібності то, можливо здійснено итеративно за такою формуле:

[pic] (1) де [pic] - конечномерный вектор оцінюваних параметрів; [pic] - індекс, визначальний номер ітерації; [pic] - інформаційна матриця Фішера; [pic] - градієнт функції максимального правдоподобия.

Слід зазначити, що итеративные алгоритми, подібні (1), загалом сходяться за менше кроків, ніж алгоритми, куди входять у собі лише обчислення [pic]. З іншого боку, алгоритми, містять [pic] і [pic], вимагають більше обчислень кожному шаге.

Для ефективного обчислення градієнта функції максимального правдоподібності під час використання ККИФ в фільтрації даних, величини, що входять до вираз для [pic], видаються безпосередньо через величини, значення яких обчислюються ККИФ-ом. У цьому, якщо замінити очікувані значення змінних измеренными, то матриця Фішера також обчислюється через значення одержуваних ККИФ-ом. Але чому найцікавіше, так те, у разі використання фільтра Калмана для обчислення градієнта, необхідно запустити диференціює фільтр Калмана кожному за з параметрів [pic]. У схемою ж ККИФ цей «набір» фільтрів замінюється розширеними масивами даних, яких і застосовуються ортогональные преобразования.

Зауважимо, що перебування оцінки максимального правдоподібності еквівалентно мінімізації зворотного логарифма функції правдоподібності, тоді критерієм для методу є выражение:

[pic] (2) де [pic] - невязка, [pic] - залишкова ковариация (тобто. ковариация невязок), мається на увазі, що значення невязок [pic] у кожний момент часу [pic] незалежні. Незалежність ж невязок забезпечується при оптимальному фільтрі, тобто. при точно відомих значеннях параметра [pic]. З цього припущення слід, що початкові значення для параметра повинні вистачити близькими до істинним його значениям.

Выводы.

Факт збіжності алгоритму максимального правдоподібності до оптимальним значенням параметрів теоретично є недоведеним, у ролі основного методу дослідження вважатимемо обчислювальні эксперименты.

У межах даного дипломного проекту було проведено такі эксперименты:

. Виявлення залежності точності оцінювання кількості измерений.

. Виявлення залежність точності оцінювання від початкових умов оцінюваних параметров.

. Виявлення залежності часу оцінювання від розмірності задачи.

. Перевірка на відповідність методу з цілком що спостерігається і ненаблюдаемой моделлю системы.

. Порівняння точності оцінювання цього методу коїться з іншими існуючими методами.

. Порівняння часу оцінювання цього методу коїться з іншими існуючими методами.

Після завершення серії обчислювальних експериментів отримано такі результаты:

. Вищеописаний метод вимагає значної кількості часу одній ітерації проти іншими методами параметричної ідентифікації, оскільки потрібно обчислення градієнта зворотного логарифма функції правдоподібності й інформаційної матриці Фишера.

Цей факт показує, що метод досить складним в обчислювальному отношении.

. Відповідність методу значною мірою залежить від стійкості матриці переходу із стану до стану, від спостережливості динамічної системи об'єкта, і навіть кількості оцінюваних параметрів (наблюдаемость динамічної системи є необхідною передумовою збіжності методів параметричної идентификации).

. Метод критичний до початковим оцінкам параметров.

Заключение

.

У цьому дипломному проекті було проведено наступна работа:

. Теоретично проаналізовано алгоритм параметричної ідентифікації заснований на методі максимального правдоподібності з допомогою квадратно-корневых інформаційних фильтров.

. Він програмно реалізований на ЭВМ.

. Для проведення порівняльних експериментів програмно реалізовані інші відомі методи параметричної идентификации.

. Поставлені експерименти на виявлення основних переваг і повним вад вище описаного методу проти іншими реалізованими методами.

. Отримано результати поставлених експериментів і основі зроблено выводы.