Множина дійсних чисел

Якщо множину раціональних чисел доповнити множиною ірраціональних чисел, то разом вони складають множину дійсних чисел. Цю множину позначають літерою R; використовують також символічний запис (-;+).

Множину дійсних чисел можна описати таким чином: це множина скінченних і нескінченних дробів.

Кожне дійсне число можна зобразити точкою на координатній прямій, і навпаки, кожна точка координатної прямої має дійсну координату. Математично про це говорять так: між множиною дійсних чисел і множиною точок координатної прямої встановлено взаємно однозначну відповідність. Координатна пряма є геометрична модель множини дійсних чисел, тому координатну пряму часто називають числовою прямою.

Доцільно звернути увагу на те, що координатною прямою учні користувалися, починаючи з 5-го класу. Тепер очевидно, що в їх знаннях був недолік: не для будь-якої точки вони змогли б знайти координату.

Розглянемо приклад. Дана, координатна пряма, на її одиничному відрізку побудований квадрат, діагональ квадрата ОВ відкладена на координатній прямій від точки О вправо, одержали точку D (мал.1). Яка координата точки D? вона дорівнює довжині діагоналі квадрата, тобто. Це число нам відоме, і воно не ціле і не дріб. Отже, ні в 5-му класі, ні в 6-му, ні в 7-му, координату точки D учні не знайшли б.

Тому до сих пір і казали «координатна пряма», а не «числова пряма».

Відмітимо, що був ще один недолік в знаннях з алгебри. Розглядаючи вираз із змінними, завжди вважалось, що змінні можуть набувати будь-яких значень, але тільки раціональних, бо не було інших. На справді змінні можуть набувати будь-які дійсні значення. Наприклкад, в тотожності.

(a+b)(a-b)=a2-b2.

в ролі a і b можуть бути будь-які дійсні числа.

Для дійсних чисел a, b, c виконуються такі закони:

а+b=b+a;

аb=ba;

а+(b+c)=(a+b)+c;

а (bc)=(ab)c;

(a+b)c=ac+bc та інші.

Правила також виконуються:

Добуток (частка) двох додатних чисел-додатне число;

Добуток (частка) двох від'ємних чисел-додатне число;

Добуток (частка) додатнього і від'ємного чисел-від'ємне число.

Дійсні числа можна порівнювати одне з одним, використовуючи наступне означення.

Означення. Кажуть, що дійсне число, а більше (менше) дійсного числа b, якщо їх різниця а-b-додатнє (від'ємне число). Пишуть a>b (a.

З цього означення видно, що будь-яке додатнє число, а більше 0 (оскільки різнця а-0=а-додатнє число), а будь-яке від'ємне число b менше 0 (оскільки різнця b-0=bвід'ємне число). Отже,

a>0 -означає, що а-додатнє число;

a<0 -означає, що авід'ємне число;

a-b>0 -означає, що а-b додатнє число, тобто a>b;

a-b<0 — означає, що а-b від'ємне число, тобто a

Поряд із знаками строгих нерівностей () використовуються знаки нестрогих нерівностей:

а?0 означає, що, а більше або рівне нулю.

а?0 означає, що, а менше або рівне нулю.

а?b означає, що, а більше або рівне b.

а?b означає, що, а менше або рівне b.

Наприклад, для будь-якого числа, а справедлива нерівність а2?0; для будь-яких чисел, а і b справедливо: (а+b)?0. Взагалі для порівняння дійсних чисел необов’язково кожен раз складати різницю і з’ясовувати, додатна вона чи від'ємна. Можна зробити відповідний висновок порівнюючи записи чисел у вигляді десяткових дробів. Геометрична модель множини дійсних чисел, тобто числова пряма, робить операцію порівняння чисел особливо наочною; з двох чисел, а і b більше те, яке розміщене на числовій прямій правіше.

Приклад 1. Порівняйте числа:

а) і 4; б) 2+ і 5; в) -3,7 і; г) — і -.

Розв’язування.

• а) Маємо; отже>4.
• б) Маємо 2+= 2+2,236…=4,236…<5; тому 2+<5.
• в) -3,7—від'ємне число, — додатнє. Будь-яке додатнє число більше за будь-яке від'ємне, тому -3,7<;
• г) — -2,23; —2,64. Точка -2,64 розміщена на числовій прямій лівіше точки -2,36, тому — >-.

Приклад 2. Розмістити в порядку зростання числа:

, -, -2,, , .

Розв’язування.

Скористаємось тим, що

.

Тоді дані числа будуть розміщені таким чином:

.