Загальні властивості неперервних функцій

Загальні властивості неперервних функцій Загальні властивості неперервних функцій однакові як для функцій однієї змінної, так і для функцій багатьох змінних.

визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D, є обмеженою.

Для функції однієї змінної замкненою областю D є сегмент, наприклад, [а, b].

Сформулюємо теорему 3 для функції однієї змінної у = f (х). Функція f (х), неперервна на [а, b], є обмеженою.

неперервна в інтервалі (0, 1), але вона в цьому інтервалі не обмежена.

і f (А) x2260 0, то функція в достатньо малому околі точки, А зберігає знак.

Сформулюємо теорему 4 в термінах функції однієї змінної:

якщо функція у = f (х) неперервна в точці а і f (а) x2260 0, то функція в достатньо малому околі точки, а зберігає знак.

) виконується нерівність f (х) > 0.

— окіл точки f (а) (рис. 3.75).

такий, що f (х) > 0.

визначена і неперервна в деякій однозв «язній області D, причому в цій області дві точки, А (а1 а2, …, аn) і В (b1, b2, …, bn), в яких функція набуває значень різних знаків:

f (А) < 0, f (В) > 0,.

то в цій області знайдеться принаймні одна точка С, в якій функція перетворюється в нуль, тобто f© = 0.

Введемо поняття однозв «язної області. Множина точок простору Е» називається простою дугою Жордана (простою кривою), якщо цей простір можна дістати в результаті відображення деякого сегмента t0 x2264 t x2264 Т за допомогою системи функцій.

неперервних на цьому сегменті, причому двом різним значенням параметра t відповідають, дві різні точки.

то крива називається простою замкненою кривою.

Розглянемо просту криву, задану рівняннями х = х (t), y = y (t) (5.18).

на площині. Якщо будь-які дві точки області, розміщеної на площині, можна сполучити простою кривою, яка міститься в цій області, то область називається зв «язною. Для утворення однозв «язної області необхідно розглядати замкнену криву (5.18).

Якщо побудувати просту замкнену криву (5.18) на площині, то площина розіб «ється на дві області — внутрішню і зовнішню.

x00B2.

x032Ax896A.

x0324xB16A.

x6000×3784×6102×0124×6467×25CD.

x4873Йx2C00иться в D. На рис. 3.76 області а і б однозв «язні, а область в — неоднозв «язна. Поняття зв «язної і однозв «язної областей поширюється і на випадок n-вимірного простору.

) = 0.

називається коренем (нулем) функції f (х), а сформульована теорема називається теоремою про корінь (про нуль).

На рис. б — три корені, а на рис., a — один.

неперервна в зв «язній області D (відкритій або замкненій) і набуває різних значень у точках М1 і М2, то яким би не було число С, що міститься між значеннями f (М1) і f (М2), існує принаймні одна така точка М3, яка лежить всередині D, що.

f (М3) = С Сформулюємо теорему 6 для функції однієї змінної:

).

Доведення. Нехай, А < В і А < С < В (рис. 3.78). Побудуємо функцію Н (х) = f (х) — С.

Для цієї функції.

) = 0, тобто.

Звідси.

що й треба було довести.

неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між двома скінченними числами та і М:

m x2264 f (X) x2264 M.

D, в якій функція набуває найбільшого значення f (Х2) = М.

Сформулюємо теорему 7 для функції однієї змінної:

якщо функція у = f (х) неперервна на [а, b], то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між. двома скінченними числами т і М, які називаються найменшим і найбільшим значеннями функції на сегменті [а, b].

m x2264 f (x) x2264 M.

такі, що.

і одна точка х2, в якій f (х2) = М.

неперервна в обмеженій замкнутій області D, то вона рівномірно неперервна в D.

Теорему наводимо без доведення.