Принцип максимума і оптимальне керування динамічною системою В. Леонтьєва

Реферат на тему:

Принцип максимума і оптимальне керування динамічною системою В. Леонтьєва.

Pозглядається відкрита динамічна система (модель) В. Леонтьєва стан якої в кожен момент часу t визначається nвимірним вектором.

х (t)= (x1(t), x2(t),…, xn (t)), який характеризує валовий випуск економіки з n галузями. Збалансована система динамічних рівняннь «витрат-випуску».

В. Леонтьєва має вигляд.

[ d o (t) / d t) ] = o (t), (1).

=(bij) — n (n — матриця яка характеризує структуру основного капіталу, основних фондів; y (t) — вектор кінцевого попиту (вектор споживання) [1].

Динамічна модель витратвипуску (1) може бути представлена як система керування [2].

= Аx (t) +В u (t), (2).

при якому система (2) переходить із заданого початкового стану x (t0)=x0 в заданий кінцевий (запланований) стан x (t1)=x1 за час Т=t1-t0. При цьому випуклий функціонал — інтеграл достатку.

(3).

є множник дисконтинування, який свідчить про те, що негайне споживання важливіше ніж в майбутньому, W (u (t)) — функція корисності [ 3 ].

Таким чином, керована динамічна система В. Леонтьєва дозволяє дати прогноз розвитку всіх галузей економіки так, щоб за певний період часу досягти заданого рівня їх росту.

Покладемо.

(4).

— деякі задані додатні числа.

загального вигляду.

(5).

i=1,…, n.

вектор початкових умов.

i=1,…, n, то вона набуває вигляду (5) з правими частинами.

. (6).

При цьому споживання у (t)=u (t) невід'ємне і не перевищує випуск.

Розглянемо функціонал.

(7).

— множники Лагранжа, які визначаються граничними умовами на правому кінці фазової траекторії.

— допоміжні змінні що задовільняють систему рівняннь.

i=1,2,…, n+1, (8).

та граничним умовам.

і=1, 2,…, n+1, (9).

.

Функція ГамільтонаПонтрягіна має вигляд.

(10).

Пряму та спряжену систему можна записати як.

. (11).

Оптимальне керування знаходиться з умови.

1- деякий коофіцієнт пропорційності .

i=1,2,…n,.

(12).

і=1,…, n.

таким чином, щоб основна змінна за час T =t1 -t0 перейшла з стану y (t0)=y0 в стан y (t1)=y1 в силу рівняннь (12).

Література В. Леонтьев «Исследование структуры американской економики. Теоретический и эмпирический анализ по схеме затратывыпуск», Москва. Госстатиздат, 1938.

А. В. Виноградська, В.В. Рішина «Керування спектром динамічнї системи витратвипуску моделі В. Леонтьєва». Вісник Київського університету, № 2, 1999.

О. І. Пономаренко, М. О. Перестюк, В. М. Бурим «Основи математичної економіки», Київ. «Інформтехніка», 1995.

4. .Э. Б. Ли, Л. Маркус." Основы теории оптимального управления", Москва. «Наука», 1972.