Алгебраїчні рівняння вищих степенів та їх властивості

Алгебраїчним рівнянням вищого степеня називається рівняння виду:

,. (18).

Якщо, те рівняння називається зведеним.

Позначаємо.

.

Якщо, те називають коренем багаточлена, або рівняння .

Остача від ділення багаточлена на лінійний двочлен дорівнює значенню багаточлена при. Дійсно, нехай.

.

де — многочлен-частка степеня, r — остача.

Підставляючи замість його значення, одержиме.

.

Це твердження відоме під назвою теореми Безу.

З теореми Безу випливають такі наслідки:

1. Число тоді й тільки тоді буде коренем багаточлена, якщо ділився на, необхідно й достатньо, щоб .

Основна теорема алгебри. (Гаусс). Будь-який багаточлен n-го степеня в множині комлексних чисел має n коренів, серед яких можуть бути і такі, що дорівнюють один одному. Будь-який багаточлен n-го степеня в множині комплексних чисел можна податі у вигляді.

.

де — корені багаточлена, — кратність коренів і .

Якщо багаточлен з речовинними коефіцієнтами мають комплексний корінь те він має сполучений з їм корінь .

Любий багаточлен непарної степені з дійсними коефіцієнтами має по меншій мірі дійсний корінь.

Теорема (Гаусс). Якщо багаточлен з цілими коефіцієнтами може бути розкладений на множники з раціональними коефіцієнтами, те він може бути розкладений на множники з цілими коефіцієнтами.

Наслідок 1. Якщо алгебраїчне рівняння з цілими коефіцієнтами має раціональний корінь, те він являється дільником .

Наслідок 2. Якщо алгебраїчне рівняння з цілими коефіцієнтами.

має раціональний корінь, те р-дільник, qдільник .