Обобщающее повторення по геометрії з прикладу теми Четырехугольник

Запровадження. 2 Глава I. Психолого-педагогические особливості підліткового періоду. 5 § 1. Вікові критерії. 5 § 2. Підвищення рівня обобщённости досліджуваних знань. 12 Глава II. Узагальнююче повторення по геометрії у вісім класі (з прикладу теми: «Чотирикутники »). 16 § 1. Значення повторення. 16 § 2. Види повторення. 17 § 3. Зміст й методику узагальнюючого повторення з прикладу теми: «Чотирикутники». 24 Глава III. Опис і вивести результати експерименту. 42 ВИСНОВОК 47 БІБЛІОГРАФІЯ 50.

У процесі навчання математиці важливе місце відводиться організації повторення вивченого матеріалу. Необхідність повторення обумовлена завданнями навчання, які вимагають міцного і свідомого оволодіння ими.

Вказуючи на важливість процесу повторення вивченого матеріалу, сучасні дослідники показали значної ролі у своїй таких дидактичних прийомів, як порівняння, класифікація, аналіз, синтез, узагальнення, сприяє інтенсивному перебігові процесу запам’ятовування. При цьому виробляється гнучкість, рухливість розуму, обобщённость знаний.

У процесі повторення пам’ять у учнів розвивається. Емоційна пам’ять спирається на наглядно-образные процеси, поступово поступається пам’яті з логічними процесами мислення, засновану на умінні встановлювати зв’язок між відомими і не відомими компонентами, зіставляти абстрактний матеріал, класифікувати його, обгрунтовувати свої высказывания.

Повторення навчального матеріалу з математики здійснюється в усій системі процесу: при актуалізації знань — на етапі підготовки й вивчення нового матеріалу, для формування учителем новопонять, при закріпленні вивченого раніше, з організацією самостійних робіт різних видів, під час перевірки знань учащихся.

Необхідність повторення вивченого раніше матеріалу викликано самої структурою програми навчального курсу математики. Наприклад, учні проходять по навчальної програмі тему: «Четырёхугольники» у вісім класі, але користуються їй в 10−11 класах щодо теми: «Поверхня тіл обертання», «Площа поверхні», «Обсяги тіл» та інших. Шкільна програма стоїть, що, не повторюючи раніше вивченого матеріалу, важко зрозуміти новий. Тому повторення пройденого матеріалу необхідно учням. Насправді відчувається важливість та корисність узагальнюючого повторення. Узагальнюючі уроки є результатом великої справи учнів з повторення, надають їм практичну допомога у підготовці до іспитів. Відгуки восьмикласників про цих уроках, їх усвідомлені, логічно правильні відповіді, із правильною використанням символічною записи, умінням застосовувати теоретичні знання під час вирішення завдань говорять про великий ефективності такого повторения.

Літератури з організації повторення бракує. Важливість узагальнюючого повторення і методичних розробок визначають актуальність цієї проблемы.

Проблема до вивчення впливу узагальнюючого повторення на якість знань учащихся.

У зв’язку з означеною проблемою висувається гіпотеза: запропонована методика узагальнюючого повторення сприяє підвищення якості знань учащихся.

Об'єктом є учебно-воспитательный процес у періоди повторення пройденого материала.

Предметом служить узагальнююче повторення під час уроків математики 8 классе.

Аби вирішити проблеми вирішити задачи:

Вивчити научно-педагогический матеріал по психології, з математики, за методикою преподавания.

Вивчити стан узагальнюючого повторення своєю практикою, практику роботи вчителів, тобто, досвід їх работы.

Проаналізувати види узагальнюючого повторения.

Розробити утримання і метод прийомів з прикладу теми: «Четырехугольники».

Провести експериментально у неповній середній школе.

Методи, використані при експериментуванні гіпотези: теоретичний аналіз, педагогічне спостереження, розмова, тестування анкетування, експеримент. Аплобирование гіпотези проводилося у неповній середній школі № 46 (гімназія № 4) під керівництвом Баязитовой Л. Ш. в 8б і 8 г классах.

Глава I. Психолого-педагогические особливості підліткового периода.

§ 1. Вікові критерии.

Нині спостерігається посилений інтерес вчителів математики до психолого-педагогическим проблемам, до психологічним знань. Цей інтерес зумовлено тим, що вчителі математики своєму повсякденному практичної діяльності зустрічаються такі проблеми, які можна вирішити лише з урахуванням психолого-педагогических знань, і навіть за умови глибокого психологічного осмислення сутності цих проблем.

1. Учень як об'єкт і суб'єкт процесу обучения.

У процесі навчання математиці беруть безпосередню з одного боку — вчитель, з іншого — учень. Ролі їх нинішнього процесі видаються, по крайнього заходу здавалося б, досить ясними: вчитель організує, спрямовує і керує процесом навчання математиці, а учень повинен учитися, виконувати всі вимоги учителя.

Ось як, наприклад, визначається процес навчання у одному з підручників з педагогіки: «Навчанням називається двосторонній процес, що з діяльності вчителя, що він учням пояснює, розповідає, показує, що їх виконувати вправи, виправляє їх помилки і т.д., і з діяльності учнів, що під проводом вчителя засвоюють знання і набутий відповідні вміння і навыки».

Основна навчительство математики сучасних умовах — це виховання особистості учнів, формування потребностно-мотивационной сфери, виховання їх здібностей, моральних ідеалів й переконань. Навчання знань умінням і навичкам з математики є складовою цього виховання і тих процесом, у якому це осуществляется.

2. Вікові психологічні особливості учня як об'єкта навчання математике.

Про те, що слід враховувати вікові особливості учнів, говориться скрізь, але завжди вказується, що це, які особливості треба враховуватиме й як треба враховувати. Тим більше що, треба пам’ятати, що вікові особливості — це щось незмінне й вічне, що притаманне учням певного віку. Самі ці особливості досить різко змінюються згодом. Скажімо, вікові психологічні особливості учня молодшого шкільного віку тепер і було років 30 тому не одні й самі. Так само сучасний підліток відчутно відрізняється від підлітка довоєнних лет.

Розглянемо деякі психологічні особливості сучасного учня, маю на увазі лише його особливості, які важливо враховувати у процесі навчання математике.

Учень — це зростаючий, що розвивається людина. Прийшовши до школи сім років, він закінчує їх у 17 років цілком сформованим людиною юнацького віку. За ці десятиліття навчання учень проходить величезний шлях фізичного, психічного і социально-нравственного развития.

Підлітковий вік — це дуже складний, таящий у собі небезпеку кризових явищ, період у житті учня. У цей час організм дитини зазнає кардинальні зміни. Розгортається процес статевого дозрівання. З цією процесом пов’язано появу в підлітка фізичного відчуття власної дорослості. В нього з’являється уявлення себе вже не як і справу дитині, він прагне бути збільшена й вважатися дорослим. Звідси у підлітка постає нове життєва позиція щодо відношення до собі, до оточуючим людям, до світу. Він стає соціально активним, сприйнятливою засвоєнню норм цінностей та способів поведінки, що є серед взрослых.

Тому період підліткового віку характерний тим, що саме починається формування морально-нравственных і соціальних установок особистості учня, намічається загальна спрямованість цієї личности.

Підліток прагне активному спілкуванню зі своїми однолітками, і цю спілкування він активно пізнає себе, оволодіває своїм поведінкою, орієнтуючись на зразки і ідеали, почерпнуті з книжок, кінофільмів, телевидения.

Підліток стає більш незалежною від дорослих ще й тому що в нього виникали такі потреби, які має задовольнити лише сам (потреба у спілкуванні з однолітками, у великій дружбі, у коханні). Батьки і взагалі дорослі попри всю їх прагненні можуть розв’язати проблеми, стаючи перед підлітками у зв’язку з виникненням вони нових потреб, між тим як задоволення основних потреб молодших школярів залежить переважно від своїх батьків. Усе це найчастіше болісно б'є по відношенні учнів до вченню. Ось як характеризує це відомий психолог М. С. Лейтес: «Діти 12−13 років у переважну більшість своєму ставляться до вченню переважно благодушно: не клопочуться зайвими роздумами, виконують тільки уроки не більше заданого, часто знаходять приводи для розваги… Послаблення зв’язки й з учителем, його впливу особливо нагадують про себе у недоліках поведінки учнів під час уроків. Тепер учнів як іноді дозволяють собі ігнорувати одержувані зауваження, але можуть бути активно їм протистояти. У середніх класах можна зіштовхнуться з винахідливими пустощами і проявом самого легковажного поведения».

Загальна картина роботи учащихся-подростков під час уроків проти молодшими класами погіршується. Раніше приблизні і акуратні учні дозволяють собі не є виконувати завдання. Зошити ведуться неохайно. В багатьох учнів змінюється підкресліть, він працює нерозбірливим і недбалим. При рішенні математичних завдань багато підлітки не виявляють потрібної наполегливості і старанності. Спроби вчителя зацікавити учнів цікавістю форми викладу чи какими-либо іншими засобами найчастіше не приносять очікуваного результата.

У той самий час ці самі підлітки дуже охоче беруть участь у роботі різних гуртків, де, начебто, найважчі підлітки охоче виконують все вказівки дорослого керівника гуртка, з зацікавленням прочитає і ретельністю опановують теоретичними знаннями, потрібні виконання практичних работ.

Якщо підлітковий вік є початок внутрішнього переходу учня від становища об'єкта навчання і виховання, яким він був у молодшому шкільному віці, до стану суб'єкта цього процесу, то юнацькому віці учень стає (у разі, повинен ставати) вже справжнім суб'єктом своєї діяльність у учебно-воспитательном процессе.

У той самий час учні ще зберігають матеріальну залежність від батьків. Головним у їхнього життя стає підготовка до майбутньої самостійної, дорослого життя, підготовка до праці, вибір життєвого шляху, профессии.

Тоді ж особливої значимості для учнів набуває ценностно-ориентационная діяльність. Учень намагається зробити глибоку самооцінку своєї постаті, своїх здібностей. Росте розвивається рефлексія, пізнавальний інтерес до філософським проблемам, юнак намагається з’ясувати сенс усього життя; оцінити спостережувані явища з цим точки зрения.

Особливо слід відзначити прагнення учнів старшого шкільного віку до автономії, до емоційної і ціннісної самостійності, до незалежності, до самоповазі, тоді як для підлітків характерна залежність від групи своїх ровесників. Підліток дуже податливий впливу однолітків. Внутрішньо відійшовши від своїх батьків, ще не дійшов своєї індивідуальності, яка міститься в юнацькому віці. Якщо підлітка переймаються питанням: «Невже я — не такий, й усе?», то юнака: «Невже такий, як все?».

Вчителю все це треба пам’ятати й уміти враховувати у своїй работе.

3. Мотивація процесу учения.

Вище ми встановили, що учень у процесі навчання математиці з об'єкта цього навчання поступово стає його суб'єктом. Що це що означає? У чому виражається різницю між об'єктом і суб'єктом навчання? Адже тому й за його відсутності учень как-то навчається, набуває знання, умения.

Справді, і коли учень є лише об'єктом навчання математиці, і коли стає суб'єктом цього процесу він виконує завдання вчителя, вирішує завдання, повторює вивчений матеріал тощо., тобто. він навчається. Усі різницю між вченням учня у ролі об'єкту і його ж вченням ролі суб'єкта у тому, заради чого це делает.

Людина, учень є діяльне істота. Він что-то робить, бере участь у какой-то діяльності. Але учень бере участь у багатьох різних діяльностях, робить різні дії. Щоб учень ефективно навчався, він має здійснювати не будь-які дії, а цілком певні. Встає питання: чому учень робить саме ця дії, а чи не інші, що спонукає здійснювати такі дії, що спрямовує і регулює його діяльність у процесі навчання? Інакше кажучи, що мотивує — спонукає і направляє — діяльність ученика.

Тільки розібравшись у цьому, зможемо зрозуміти, у чому різницю між об'єктом і суб'єктом процесу навчання. З іншого боку, у тому треба розібратися ще й тому, і може бути головним чином тому, що вчитель має навчитися управляти діяльністю які у процесі навчання, а цього він має формувати вони потрібну мотивацію. Адже іншому разі, якщо цього робити, стає цілком реальної небезпека, про яку говорив В. А. Сухомлинский:

«Усі наші задуми, все пошуки й побудови перетворюються на прах, якщо немає в учнів бажання учиться.».

Тому вчитель має викликати в учнів такий намір, але це отже, що він має формувати вони відповідну мотивацию.

Що таке мотивація, як формується в людини? Під мотивацією розуміють зазвичай сукупність спонукань до деятельности.

Та коли діяльність вже розпочалась, вона має певну мета. Мета — те, чого свідомо хоче досягти чоловік у результаті цього діяльності. Однак між метою роботи і її спонуканнями який завжди існує повну відповідність. Коли її є, то кажуть, що ця діяльність можна буде; інакше, коли мета роботи і які цієї діяльності спонукання відповідають друг другу, то кажуть, діяльність втрачає сенс, позбавлена для даного людини смысла.

Наприклад, учні вирішують завдання. Мета вони одна — навчитися вирішувати такі завдання. Спонукання ж можуть бути різні. Так, одні їх вирішують завдання оскільки звикли виконувати вимоги вчителя, вони ще є досить стійка розпорядження про виконання вимог вчителя, але окремі, ще, хочуть здобути добру оцінку, похвалу. Для інших головне — здобути добру оцінку; треті вирішують завдання ще й що їх цікавить процес рішення, завдає емоційне задоволення; нарешті, і такі, які мають, крім перелічених спонукань, є ще й прагнення опанувати загальним засобом для вирішення подібних завдань. Можливо, що в окремих учнів та інші побуждения.

Проте незалежно від мотивів, які спонукають учнів вирішувати завдання, об'єктивно ця діяльність спрямовано какие-то навчальні мети, наприклад, те що, щоб кожен із новачків навчився вирішувати такі завдання. Зауважимо, що саме завдання з погляду є лише як матеріал, як цієї деятельности.

Отже, учень завжди є діяльність у процесі навчання, а суб'єктом цієї бурхливої діяльності він працює тоді, коли свідомо приймає об'єктивні мети діяльності у свої власні мети. Вочевидь, що у цьому разі навчання є найдійовіших, лише цього разі вчитель може легко і із задоволенням повністю здійснити цілі й завдання обучения.

Вчителю необхідно прагне, щоб кожен учень ставав суб'єктом діяльність у процесі навчання. Тому потрібно, щоб усе боку учебно-воспитательного процесу, його зміст, організація та методи сприяли такому становленню, були прямо спрямовані на виховання учня — суб'єкта своєї діяльності. До опису однієї з шляхів побудови процесу повторення математики ми бачимо переходим.

§ 2. Підвищення рівня обобщённости досліджуваних знаний.

Нині шкільний курс математики далеко відстає від математики як науки за рівнем обобщённости знань. Якщо сучасної математиці рівень обобщённости дуже високий, то шкільному курсі математики він ще дуже низький. Його підвищення (в розумних межах) призведе до підвищенню інформаційної цінності досліджуваних знань, і до різкого скорочення часу з їхньої усвоение.

Слід підкреслити особливо, що тільки цьому шляху можна позбутися горезвісної перевантаження учнів, бо загальними поняттями сучасний шкільний курс математики, як не перевантажений, але вочевидь не догружен.

Проблема розвитку самостійності мислення які у процесі навчання математиці є гострої, не разрешённой проблемою методики математики.

Аналіз характеру розумової діяльності учнів в різних уроках, у різних класах показав, що лише 15−20% навчального часу витрачається на самостійну роботу, що старшими клас, тим самостійних робіт меньше.

Створюється ненормальне становище: із віком учні, звісно, стають більш здатними до самостійної роботі, а їм надають при цьому дедалі менше времени.

Якщо числі тренувальних вправ переважають однотипні, при рішенні яких учень лише отриманням відповіді звіряння його із готовим відповіддю, то такі вправи не направляють зусилля учня на дозвіл інших нешаблонных завдань, із чим йому доведеться зустрічатися в жизни.

Знання учні будуть міцними, якщо вони придбано не однієї пам’яттю, не заучені механічно, а є продуктом власних міркувань і закріпилися у його власній творчій діяльності над навчальним материалом.

Невипадково Леонід Эйлер думав, що, крім описи результатів своїх досліджень, збагатили науку, йому потрібно задля спільної користі щиросердно викласти ще й процес пошуки істини із його її пошуками і затруднениями.

Дійові підручники математики мало, ніж може допомогти розвитку творчих почав: у яких по улучному вираженню професора Б. В Гнєденко, заховані все кінці, дана вже готова схема, знання представлені у статистичному стані, в завершених формах.

Під узагальненням усвідомимо поширення, какого-либо судження від частого поняття до спільного (наприклад, від «четырёхугольника» до «трапеції, ромба…»).

Судження отримані з аналогії, будуть проблематичними і підлягають подальшому дослідженню і доказательству.

Умовиводи за аналогією є неодмінною складовою творчого мислення, тому що цим шляхом думку людини виходить поза межі відомого, пролагая шлях до неизвестному.

Розумову розвиток учнів, які мають підготовлятися вже у період шкільного навчання на роль творчо мислячих активних діячів, не може бути повноцінною, якщо їх навчать у шкільництві спеціально застосуванню прийому аналогии.

Просте застосування аналогії дає вправу подібне, однопорядкове з вихідним. Від неї слід відрізняти складання завдання узагальненням, коли нове завдання перебувають у тому чи іншому відношенні складніше исходной.

Процес узагальнення полягає в застосуванні аналогії, але з зводиться повністю до ней.

Застосування узагальнення пов’язані з перетворенням думок, з розумовою експериментуванням; вона є одне з важливих коштів самонавчання, тобто, самостійного розширення й поглиблення наявних знаний.

Досягнення глибокого засвоєння нового поняття, способу розв’язання не можна обходитися завданнями рівня труднощі, Україна ж має запропонувати обобщённую завдання, а ще краще дати учням можливість самим узагальнити решённую завдання, щоб потім вирішити таку, видозмінюючи, коли потрібно колишній способ.

У практиці навчання загальне класне завдання розраховане на середнього учня, а розширення пізнавальних здібностей сильніших учнів необхідні додаткові завдання щодо самостійного узагальнення і рішенню складених задач.

Якщо, скажімо готову завдання, вирішують учні переважно однаковою послідовністю міркувань, те з узагальненням вже справляється не всякий. Результат узагальнення залежить й не так від суми знань, приблизно однаковою всім учнів класу, як від вміння комбінувати, пов’язувати ці знання по-новому, зазирати далі звичайних пределов.

Характер вправ, виконуваних у п’ятому класі, повинен позначиться і характері контрольних і перевірочних робіт; чому навчають, те й слід проверять.

Будь-яка математична завдання невичерпна у зв’язках із іншими завданнями; після ухвалення рішення завдання майже можна знайти предмет роздуми, знайти декілька напрямків, у яких вдається узагальнити завдання, і знайти потім рішення створених в такий спосіб нових проблем.

Час й зусилля, витрачені узагальнення знань, окупаються тією великою економією мислення, у майбутньому, які досягаються завдяки однаковим методам засвоєння материала.

Глава II. Узагальнююче повторення по геометрії у вісім класі (з прикладу темы:

" Чотирикутники ").

§ 1. Значення повторения.

Одне з найважливіших питань, сприяють подальшого підвищення успішності, досягненню глибоких і міцних знань в учнів є питання повторенні раніше пройденого материала.

Без міцного збереження придбаних знань, без вміння відтворити в необхідний момент, раніше пройдений матеріал, вивчення нового матеріалу завжди поєднане з великими труднощами не дає належного эффекта.

" Навчання не можна довести до грунтовності без максимально частих і особливо майстерно поставлених повторень і вправ " , — говорив Каменский.

Викладати математику, не повторюючи повсякденно кожному уроці раніше пройдений матеріал, це що означає — передати, переказати учням певну суму різних законів, теорем, формул тощо. п., цілком не переймаючись тим, наскільки міцно і свідомо освоїли цей матеріал наші вихованці; це що означає не дати дітям глибоких і міцних знань. Працювати то це, по улучному вираженню Ушинського, уподібнитися «п'яному візнику з нічого поганого увязанной поклажею: він усе жене вперед, не озираючись тому, і привозить додому порожню віз, хвастаючи лише. що зробив велику дорогу » .

Раніше пройдений матеріал повинен служити фундаментом, який спирається вивчення нового матеріалу, який у часи чергу, повинен збагачувати і розширювати раніше вивчені понятия.

" Старе має підпирати нове, а нове збагачувати старе " .

Правильно організоване повторення допомагає учневі побачити у колишньому щось нове; допомагає встановити логічні зв’язок між знову досліджуваним матеріалом, та раніше вивченим; збагачує пам’ять учня; розширює його кругозір; наводить знання учня до системи; дисциплінує учня; привчає у ньому вміння знаходити який буде необхідний відповіді поставлений питання матеріал; виховує в учня почуття ответственности.

У зв’язку з цим особливо важливе значення набувають вопросы:

Що повторювати? Як повторювати? Коли повторять?

Велику серйозну помилку допускає той вчитель, який спонукає учня повторювати матеріал у порядку, коли він вивчався. Повторення у разі зводиться і механічному відтворення у пам’яті пройденого материала.

Ушинський виховував проти механічного повторення. «Немає жодної потреби повторювати вивчений у порядку, що не він був пройдено, а навпаки, ще корисніше повторення випадкові, сводящие вивчений на нові комбінації «, — говорив он.

Повторення пройденого матеріалу має стати необходимейшим елементом в викладанні математики, органічної і невід'ємною частиною кожного урока.

§ 2. Види повторения.

У зв’язку з цим ми розрізняємо такі види повторення раніше пройденого материала:

1. Повторення на початку навчального года.

2. Поточне повторення всього, раніше пройденого: а) повторення пройденого у зв’язку з вивченням нового матеріалу (супутні повторення); б) повторення пройденого поза в зв’язку зі новим материалом.

3. Tематичеcкoе повторення (узагальнююче і систематизирующее повторення закінчених тим гаслам і розділів программы).

4. Заключне повторення (организуемое при закінченні проходження великого розділу програми або наприкінці навчального года).

Мета і час повторення тісно пов’язані Шекспір і взаємозумовлені й у свою чергу визначають методи лікування й прийоми повторения.

При плануванні повторення необхідно відібрати матеріал, встановити послідовність та палестинці час повторення, розподілити відібраний матеріал по уроків, встановити форми та фізичні методи реалізації повторення, зрозуміло, слід і властивість памяти.

Найвища вимога до організації повторення мають виходити з цілей повторення, специфіки математики як навчального предмета, її методов.

Першу вимогу до організації повторення, що виходять із мети клієнта, визначення часу: коли повторювати? Він повинен здійснюватися по принципу: «Вчити нове, повторюючи, і повторювати, вивчаючи нове «(У. П. Вахтеров).

Не означає, проте, що не можна спеціально відводити уроки для повторення, скажімо, для таких питань програми, які важко пов’язати з цим поточним материалом.

План повторення і вибір тим для повторення вчитель має складати в кожному окремому разі виходячи з загальних теоретичних міркувань з огляду на те, як засвоєно учням матеріал відповідних разделов.

До сказаного додамо справжнє, то характер уроку у зв’язку з переходом учнів із одного класу на другий значно змінюється. У старших класах істотно перебудовується закріплення і повторення навчального матеріалу. Збільшується обсяг фактичного матеріалами, що виноситься на закріплення і повторення; поурочне закріплення часом переходить і тематичне чи переростає в узагальнююче повторення, збільшується частка самостійності учнів при закріпленні і повторении.

Друге вимогу до організації повторення має відповідати питанням: Що повторювати? З висловлювань класиків педагогіки, можна висунути такі становища у доборі навчального матеріалу з різного виду повторения:

1. Не слід повторювати всіх раніше пройдене. Потрібно вибрати для повторення найважливіші і питання поняття, навколо яких гуртується навчальний материал.

2. Виокремлювати для повторення такі теми і питання, котрі за труднощі своєї недостатньо міцно усваиваются.

3. Виокремлювати для повторення треба те, що необхідно узагальнити, поглибити і систематизировать.

4. Не слід повторювати всі у однаковою мірою. Повторювати грунтовно треба головне й тяжке. При відборі матеріалу для повторення необхідно враховувати ступінь його зв’язки Польщі з знову досліджуваним материалом.

Третє вимогу до організації повторення математики має відповідати питанням, як повторювати, т. е. висвітлити ті методи лікування й прийоми, якими має здійснюватися повторення. Методи і прийоми повторення повинні перебувати у тісного зв’язку з видами повторения.

При повторенні необхідно застосовувати різні прийоми та художні засоби, зробити повторення цікавим шляхом внесення, як і повторюваний матеріал, і у методи вивчення деяких елементів новизни. Тільки розмаїтість методів повторення може усунути ті протиріччя, що виникає через відсутність бажання частина учнів повторювати те, що ними засвоєно однажды.

Різні види повторення тісно взаємодіють; від своєчасного і успішного проведення однієї з видів повторення, наприклад, тематичного чи поточного, залежить тривалість і успішність повторення іншого виду — заключного повторення чи повторення наприкінці року. Перейдём до короткої характеристиці видів повторения.

1. Повторення пройденого на початку года.

При повторенні на початку учбового року у план має висуватися повторення тим, мають прямий зв’язок зі новим навчальним матеріалом. Нові знання, об'єкти, куплені на уроці, повинні спиратися на міцний фундамент вже усвоенных.

При повторенні початку року необхідно поруч із повторенням тим, тісно що з новим матеріалом, й інші розділи, які доки прилягають до знову досліджуваному матеріалу. Тут слід поєднувати обидва завдання: провести загальне повторення гаразд огляду основних запитань із матеріалу минулих років і більше глибоко повторити питання, безпосередньо пов’язані з черговою матеріалом за програмою навчального года.

Саме повторення слід проводити як і класі, і вдома. При вирішенні питання, який матеріал може бути повторений у п’ятому класі і який залишено учням для самостійного повторення вдома, слід з особливості матеріалу. Найбільш важкий матеріал повторили у п’ятому класі, а менш важкий дали додому для самостійної работы.

2. Поточне повторення пройденного.

Поточне повторення у процесі вивчення нового матеріалу — дуже важлива річ у системі повторення. Вона допомагає встановлювати органічну зв’язок між новим матеріалом, та раніше пройденным.

Поточне повторення може здійснюватися у через відкликання вивченням нового матеріалу. І тут повторюється матеріал, природно увязывающийся з новим матеріалом. Повторення тут входить складовою і невід'ємною частиною в знову изучаемый материал.

Під керуванням вчителя учні на уроці відтворюють раніше вивчений ними необхідний матеріал. Внаслідок цього доказ нової теореми сприймається учнями легко, а подальша робота вчителя — відтворення доведеного і вправи, щоб забезпечити вторинне осмислення теореми і її закрепление.

У другий випадок усі зв’язки з новим матеріалом, коли повторюваний матеріал не знаходить природною ув’язування з і його доводиться повторювати на спеціальних уроках.

При поточному повторенні і питання вправи можуть бути запропоновані учням із різних розділів программы.

Поточне повторення ввозяться процесі розбору вправ, входить у домашнє завдання. Вона може бути проведено як на початку чи кінці уроку, і під час опитування учащихся.

Поточне повторення доповнюється супутнім повторенням, яке не можна суворо планувати великий період. Супутнє повторення не вносять у календарні плани, йому не виділяється спеціальне час, але є органічною частиною кожного уроку. Супутнє повторення залежить від матеріалу, залучуваного з вивчення чергового питання, від можливості налагодити зв’язки між нове і старим, стану знань які у цей час. Успіх супутнього повторення значною мірою обумовлюється досвідом та винахідливістю вчителя. Супутнім повторенням вчитель у процесі роботи усуває неточності знання, нагадує коротенько давно пройдене, вказує їх зв’язку з новым.

3. Тематичну повторение.

У процесі роботи над математичним матеріалом особливо великого значення набуває повторення кожної закінченою теми чи цілого розділу курса.

При тематичному повторенні систематизуються знання учнів на тему на завершальному етапі її проходження або ж після деякого перерыва.

Для тематичного повторення виділяються спеціальні уроки, у яких концентрується і узагальнюється матеріал однієї який-небудь темы.

У процесі роботи над темою питання, запропоновані учням в кожному поділу, слід знову переглянути; залишити найважливіші і відкинути менші. Узагальнюючий характер питань при тематичному повторенні відображається і їх кількості. Вчителю доводиться основний матеріал теми охопити в меншої кількості вопросов.

Повторення на уроці проводиться шляхом розмови із широкою залученням які у цю розмову. Після цього учні отримують завдання повторити певну цю тему і виконуються наперед, що проведена контрольна работа.

Контрольна робота з темі повинна мати її основні питання. По виконанні контрольної роботи проводиться розбір характерних помилок, і організується повторення їхнього устранения.

При тематичному повторенні корисно скласти запитальник, та був логічний план на тему і завершити роботу упорядкуванням підсумкових схем. Таблиця чи схема ощадливо і наочно демонструє загальне для понять, які входять у цю тему, їх взаємозв'язок у логічній последовательности.

Процес складання таблиць тільки в випадках, добір і запис прикладів після аналізу готової таблиці за іншими випадках є це й формами письмових вправ при узагальнюючому і систематизирующем повторении.

Послідовне вивчення різних особливих випадків за умови повторення дуже корисно закінчити їх класифікацією, що дозволить учням ясніше розрізнити окремі випадки і групувати їх за певному признаку.

4. Заключне повторение.

Повторення, проводящееся на завершальному етапі вивчення основних питань курсу математики що здійснюється на логічного через відкликання вивченням навчального матеріалу у цій поділу чи курсу загалом, називатимемо заключним повторением.

Цілі тематичного повторення і заключного повторення аналогічні, матеріал повторення (відбір істотного) дуже близький, а прийоми повторення часом совпадают.

Заключне повторення навчального матеріалу переслідує цели:

1. Огляд основних понять, провідних ідей курсу відповідного навчального предмета; нагадування можливо великих рисах пройденого шляху, еволюції понять, їх розвитку, їхніх теоретичних і практичних приложений.

2. Поглиблення й за можливості розширення знань учнів по основним питанням курсу у процесі повторения.

3. Деякій перебудови й іншого підходи до раніше изученному матеріалу, приєднання до повторному матеріалу нових знань, що допускаються програмою, з метою його углубления.

§ 3. Зміст й методику узагальнюючого повторення з прикладу темы:

«Четырехугольники».

Рішенням як з найважливіших завдань загальноосвітньої та фахової школи є посилення прикладної спрямованості навчання. У цьому важливо виробити у учнів вміння під час вирішення конкретних питань поступово переорієнтовуватися під суттєві властивості об'єктів і явищ. Великі змогу формування такої вміння є щодо теми «Четырёхугольники » .

Запропонований матеріал представляє великі змогу організації різних форм колективної учебно-познавательской діяльності учнів, формування диалектико-материалистического світогляду, закладає фундамент для розвинена вміння застосовувати геометричні знання під час вирішення питань жизненно-практического і виробничого характера.

Як провідною ідеї беремо ідею чіткого розмежування властивостей і ознак паралелограма та її приватних видов.

Насамперед необхідно домогтися, щоб учні навчилися розрізняти поняття «властивість постаті «і «ознака постаті «. Якщо дано, що постать паралелограм, і з цього посилання доводять деякі співвідношення між елементами аналізованої постаті, то кожне з цих співвідношень називається властивістю постаті, яку йдеться в умови теоремы.

Наприклад, теорема: «У паралелограма супротивники рівні, протилежні кути рівні «, коротко то, можливо записано так:

Дано: АВСД — параллелограмм.

Довести: 1) АВ = СД; АТ = ВС.

2) (А = (З; (У = (Д.

І з співвідношень (1), (2) укладання теореми дає властивість параллелограмма.

У теоремі ж «Якщо діагоналі четырёхугольника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник — паралелограм «вказані співвідношень між елементами деякого чотирикутника (АО=ОС, ВО=ОД) і доводиться, що з їхнього виконання чотирикутник буде належати до класу паралелограмів (буде параллелограммом). І тут умови (АО=ОС, ВО=ОД) називають ознаками паралелограма, т. до. за її виконанні ми можемо сміливо стверджувати, що чотирикутник, для якого виконуються цих умов, обов’язково буде параллелограммом (теорема).

Більше глибокого і усвідомленого засвоєння понять «властивість «і «ознака «можна домогтися, якщо зв’язати його з поняттями «необхідна умова », «достатня умова », «необхідну й достатню умова » .

Повідомляємо школярам, будь-яка теорема то, можливо записана як А? В, де, А — умова теореми (що дано), а У — висновок теореми (що потрібно доказать).

Якщо доведено теорему А? В, то, А для У (щойно є Бо відразу ж буде підписаний і У), а У — необхідне А, з, А незмінно (необхідно) слід В.

Ще більш переконливе обгрунтування того, чому умова У вважається необхідним А, можна надати, якщо познайомити учнів з аналогічним запитанням про плани теорем та зв’язку з-поміж них. Записуємо схему:

(1) А? В В? А (2).

(3) немає А? немає У немає У? немає А (4).

Повідомляємо, що й твердження (1) назвати прямим, то твердження (2) буде нього зворотним, твердження (3) — протилежним прямому, а (4)—противоположно зворотному. Далі доводиться, що з справедливості затвердження (1) слід справедливість затвердження (4) [(1)?(4)] і навпаки, т. е. (4)?(1).

Повідомляється, що й (1)?(4), то затвердження називаються еквівалентними. Аналогічно еквівалентні затвердження (2) і (3) [(2)?(3)].

Словами формулу (1)?(4) можна розшифрувати так: коли з умови, А слід (випливає) умова У, то без в немає й О (з немає у немає А), іншими словами У необхідне, А (без Не стане актуальним і А).

А далі повідомляємо, що необхідна умова дає властивість, і якщо умова як необхідно, а й досить, то отримуємо признак.

Інакше кажучи, щоб отримати властивість У якогось об'єкта А, досить довести теорему А? В, а аби переконатися, що аналізованих властивість У є ознакою, слід ще довести теорему В? А (обратную).

Разом з учнями згадуємо все властивості паралелограма і складаємо таблицу.

Дано: АВСД — параллелограмм.

Довести: 1) АВ || СД.

2) ЗС || АД.

3) АВ = СД.

4) ЗС = АД.

5) АТ = ОС.

6) ВО = ОД.

7) (А = (С.

8) (У = (Д.

9) (А + (У = 1800.

10) (З + (У = 1800.

11) (З + (Д = 1800.

12) (А + (Д = 1800.

Звернемо увагу попри те, що з умов 1−12 випливає з те, що АВСД — паралелограм, отже, всі вони є необхідною умовою здобуття права чотирикутник АВСД був параллелограммом. Легко переконатися, що з кожного з умов 1−12 годі було, що АВСД — паралелограм (наприклад, якщо дано, що АВ II СД, що маємо трапецію, бо ЗС || АД).

Отже, кожна з умов 1−12, взяте окремо, ознакою паралелограма перестав бути. Тепер почнемо комбінувати властивості дві (Скільки комбінацій буде? Як порахувати все комбінації, щоб бути убеждённым, жодна не пропущена?). Переконуємося, що з комбінацій дають ознака паралелограма. Які з комбінацій дві дають відомі вже вам ознаки паралелограма? [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (5, 6)].

У той самий час то зрозуміло, що ні кожна гілка комбінацій дві дає ознака паралелограма. Наприклад, речей що АВ II СД і ЗС = АТ слід, що постать АВСД — равнобочная трапеція, а чи не параллелограмм.

Природно виникає запитання, скільки ж тільки ознак у паралелограма? Щоб відповісти це питання інколи доводиться перебрати всіх можливих комбінації та чи довести отриману теорему, або привести приклад, опровергающий її (контрпример). Зрозуміло, що цю роботу на уроці пророблена не може. Вона то, можливо дана як індивідуальних завдань додому добре успевающим учням, або ще краще, запропонована як колективної роботи кружковцам. Тут стають цікаві питання плануванні роботи, про розмежування праці під час вирішення цієї проблеми, про організації самоконтролю і взаимоконтроля, про підбитті остаточних итoгoв, т.e. питання, які під час організації будь-якої трудовий деятельности.

Далі аналогічну роботу можна навести зі з’ясовування ознак прямокутника і ромбу. Але цього роботі має передувати уточнення визначень прямокутника і ромбу. Справді, досить зажадати, аби в паралелограма був сам прямий кут, т. до. з умови (АВСД — паралелограм; ?А=900) слід, що? В=900, ?С=900, ?Д=900. Для доказу цього факту досить скористатися відомими властивостями кутів параллелограмма.

Аналогічно, легко довести теорему (АВСД — паралелограм, АВ=ВС?АВ=ВС=СД=АД), з яка повинна, що ромбом називається паралелограм, яка має дві суміжні боку равны.

Можна не змінювати звичні учням надлишкові визначення, але обов’язково підкреслити те що, що, аби переконатися, що аналізований паралелограм буде ромбом, досить перевірити рівність двох суміжних сторін, а аби переконатися, що він прямокутником, досить довести, що з його кутів прямой.

Після цього відзначаємо особливі властивості діагоналей прямокутника і ромбу і знову порушуємо питання, будуть ці умови як необхідними, а й достатніми, т. е. чи ці умови ознаками аналізованих постатей. Як це перевірити? Учні повинні зметикувати, що з відповіді поставлене запитання слід формулювати і довести теореми, зворотні до теоремам, выражающим властивості діагоналей прямокутника і ромба.

Запишемо з цих теорем.

Дано: АВСД — прямокутник. Довести: АС=ВД.

Протилежне до цієї теоремі твердження записується так:

Дано: в четырёхугольнике АВСД АС=ВД .

Довести: АВСД — прямоугольник.

Легко переконатися, що це твердження несправедливо. Наведіть приклади, що підтверджують цього факту. Учні може згадати, що діагоналі рівні у равнобочной трапеції, чи накреслити довільний чотирикутник із рівними діагоналями. Отже, ми переконуємося, що рівність діагоналей не виділяє прямокутник з класу чотирикутників (серед четырёхугольников із рівними діагоналями є договір які є прямоугольниками).

Тут вчитель знайомить учнів із кимось іще єдиним чином отримання тверджень, зворотних даному. Помічає, що умова прямий теореми може бути розбите на дві части.

Дано: 1) АВСД — параллелограмм.

2)?А=900.

Довести: АС = ВД.

Якщо тепер поміняти місцями висновок і другу частину умови, ми одержимо утверждение:

Дано: АВСД — параллелограмм.

АС=ВД.

Довести: ?А=900.

Це твердження легко довести. Доведіть самостоятельно.

Якщо учні не можуть, можна «навести «їх у думку, звернувши увагу, що? А + ?Д = 1800 (АВСД — паралелограм). Що залишилося тепер довести? (?А=?Д).

Аналогічну роботу проводимо з впровадження ознак ромбу, заснованих на виключно властивості його діагоналей. Згадуємо теорему про властивості діагоналей ромба.

Дано: АВСД — ромб.

Довести: 1) ВД | АС;

2) ?ВАС =?САД.

З цією теореми можна скласти дві обратные:

Теорему 1 Теорему 2.

Дано: ВД | АС Дано: ?ВАС = ?САД.

Довести: АВСД — ромб. Довести: АВСД — ромб.

Легко показати, що кожна з цих теорем несправедлива, привівши хоча би за одному «контрпримеру » ;

Цікавий питання. Але як можна видозмінити перший креслення що його можна било використовувати одночасно для «спростування «і теореми 1 і теореми 2 (Досить взяти АО=ОС і тоді ?AВД=?ДВС.

Використовуючи другий спосіб освіти зворотних теорем, з яким учні ознайомлені під час встановлення ознаки прямоугольника.

Имеем:

Пряма теорема: Дано:

АВСД -паралелограм, АВ = ВС.

Довести: ВД | АС.

Зворотний теорема:

Дано: АВСД -паралелограм, ВД | АС.

Довести: АВ=ВС.

Згадуючи уточнену визначення ромбу, даємо таке формулювання зворотної теореми: «Якщо параллелограмме діагоналі взаимоперпендикулярны, цей паралелограм — ромб ». Схема аналітичного міркування при знаходженні докази цієї теоремы.

АВСД — ромб.

АВСД — паралелограм АВ=ВС.

(АВО = (СВО (АОВ = (СОВ.

(ВД | АС.

АТ = ОС ВО — загальна (АОВ = (СОВ.

(.

АВСД — паралелограм ВД | АС.

Аналогічно формулюємо другий ознака ромбу: «Якщо параллелограмме діагональ ділить кут навпіл, цей паралелограм — ромб ». Аналітичне міркування проводиться аналогично.

Схематичне запис доказательства.

АВСД — паралелограм? АТ II ЗС? (?1 = ?3, ?1 = ?2) ?

??2 = ?3? (АВ=BС, АВСД — паралелограм)? АВСД — ромб.

Узагальнюючи отримані результати, корисно звернути увагу школярів на те що, що рівність діагоналей не виділяє прямокутник з багатьох всіх чотирикутників, але виділяє його з багатьох паралелограмів, і запропонувати їм самостійно сформулювати аналогічні затвердження (їх 2!) для ромба.

Для перевірки того, володіють чи учні ознаками паралелограма, ставимо їх таку проблему:

Як сформулювати ознаки прямокутника і ромбу, засновані на властивості їх діагоналей, що вони виділяли прямокутник і ромб з безлічі всіх чотирикутників? Підказка, якщо учні не справляються: умова АВСД — паралелограм, яким вимогою щодо його діагоналей можна заменить.

Отримуємо признаки:

1. Якщо чотирикутнику діагоналі рівні й точкою їх перетину діляться навпіл, цей чотирикутник — параллелограмм.

2. Якщо чотирикутнику діагоналі взаимноперпендикулярны і діляться точкою перетину навпіл, цей чотирикутник — параллелограмм.

3. Ознака формулюємо аналогично.

Переходячи до з’ясування ознак квадрата, підкреслюємо, що квадрат є як приватним випадком прямокутника, і ромбу і отже має усіма властивостями прямокутника та всіма властивостями ромбу. Ставиться проблема: виділити комбінації властивостей діагоналей, які виділяли квадрат з багатьох прямокутників, з багатьох ромбів, їх безлічі паралелограмів, з багатьох четырехугольников.

Якщо учні осмислили розглянутий матеріал ознаки прямокутника і ромбу, всі вони легко у відповідь на ці запитання і сформулюють такі ознаки квадрата:

Квадратом является:

Прямокутник з взаимно-перпендикулярными диагоналями,.

Прямокутник, яка має діагональ ділить кут пополам.

Ромб із рівними диагоналями.

Паралелограм, яка має діагоналі рівні й взаимно-перпендикулярны.

Паралелограм, яка має діагоналі рваны і поділяють кут пополам.

Чотирикутник, яка має діагоналі рівні, взаимно-перпендикулярны і у точці перетину діляться пополам.

Після цього можна можливість перейти до рішенню завдань, що потребує вивчених признаков.

Щоб належно до системи матеріалу на тему «Паралелограм та її види» дуже хороша завдання: «Визначити вид чотирикутника, який вийде, якщо послідовно з'єднати відрізками прямих середини сторін довільного четырехугольника».

Після докази факту, який отримав чотирикутник буде параллелограммом, порушується питання: «Яким може бути вихідний чотирикутник, щоб виявився прямокутником, ромбом, квадратом?».

2) Накреслимо довільний четырехугольник.

3) Знайдемо середини сторін і зобразимо схематично на кресленні рівність отрезков.

4) З'єднаємо послідовно отримані точки E, F, M, N.

Питання: який чотирикутник получился?

У різних учнів відповідь буде різним: паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат. Учитель звертає увагу, що прямокутник, ромб, квадрат — приватні види паралелограма, тому всім доведеться доводити, що чотирикутник EFMN — параллелограмм.

Дано: АЕ = ЕB, BF=FC, СМ=МД, ДN=NА.

Довести: EFMN — параллелограмм.

Проводиться анализ:

Питання: А, щоб довести, що EFMN — паралелограм, що досить доказать?

Відповідь; паралельність прямих EF і MN, і навіть ЕN і MF.

Питання: Як можна довести? (чи, а то й відповідають: Використовуючи який ознака паралельності прямих це доказать?).

Відповідь: Перший ознака паралельності прямих т.к. за іншими ознаках беруть участь кути, а умови завдання про кутках щось сказано.

Питання: У першому ознаці паралельності прямих говоряться про три прямих. Де взяти третю прямую?

Відповідь: Поєднати точки Проте й З. Одержимо два трикутника — АВС і АДС.

Питання: Яке співвідношення відомо у тих трикутниках? Або: Чим є ЕF і MN в (АВС і (АДС?

Відповідь; ЕF є середньої лінією (АВС, бо АЕ = FВ і ВГ = FC, а MN є середньої лінією (АДС, т.к. РМ = МД і ДN = NА.

Питання: Який ознака середньої лінії ми знаем?

Відповідь: Середня лінія паралельна основанию.

Питання: Який можна зробити про ЕF і MN?

Відповідь: ЕF || АС і МN || АС. Отже, за першим ознакою паралельності прямих слід, що ЕF || MN.

Аналогічно доводиться, що ЕN || FM.

Проведемо так званий «погляд тому» і спробуємо знайти інше рішення, раціональніше і короткое.

Питання: Як можна довести, що чотирикутник EFMN — параллелограмм?

Або: Яким ознакою паралелограма можна скористатися, щоб довести, що чотирикутник EFMN — параллелограмм?

Відповідь: Скористатися ознакою паралелограма, який полягає у цьому, що у чотирикутнику супротивники попарно паралельні й рівні, цей чотирикутник — паралелограм. Отже, потрібно довести, що EF || MN і EF = MN.

Питання: Паралельність прямих EF і MN доводиться оскільки це були зроблено вище. Як довести рівність ЕF і МN? чи: Яке властивість середньої лінії ми знаем?

Відповідь: Оскільки ЕF — середня лінія (АВС, то ЕF дорівнює половині підстави АС; MN середня лінія АДС і М дорівнює половині підстави АС. Отже ЕF = MN.

Таке рішення є раціональним і коротким.

Тепер потрібно записати вирішення завдання. І тому вже синтез.

АЕ = ЄВ ЕF || AC.

BF = FC EF = ½ AC EF || MN (EFMN — парал-.

РМ = МД MN || AC EF = MN лелограмм.

ДN = NA MN = ½ AC.

У класі є учні, які швидко знайдуть розв’язання цієї завдання. Для організації індивідуальної груповий діяльності сильнішим учням можна надати додаткові задания:

Який вид повинен мати вихідний чотирикутник, щоб був а) прямокутником? б) ромбом? в) квадратом?

І тут доцільно підійти до розподілу диференційовано: найсильнішим запропонувати варіант в), середнім — варіант б), іншим — а).

Пропонуючи учням завдання з надлишкової й неповної інформацією, ми виховуємо у яких готовність до практичної діяльності. Розглядаючи вишукане розв’язання тій чи іншій математичної завдання, ми сприяємо естетичному вихованню школьников.

Мені хочеться навести кілька прикладів завдань, що утворилися з розгляду шарнірної моделі четырехугольника.

Переконавшись разом із школярами в рухливості цієї моделі (не жорстко скріпленої в вершинах) вчитель спонукає їх висновку, що чотири дані боку не визначають чотирикутник однозначно,.

Потім перед учнями формується сама задача.

Завдання 1. Є модель шарнирного чотирикутника зі сторонами певній довжини. Яким способами можна надати «жёсткость» даної моделі чотирикутника, якщо його вершини неможливо знайти закріплені? Відповідь обосновать.

У результаті обговорення це завдання пропонуються різні варіанти її рішення, які перевіряються досвідченими шляхами, наприклад, скріпити дві вершини чотирикутника планкою по-діагоналі, з'єднати планкою середини дві протилежні сторін тощо. д.

Переконавшись на досвіді в розумності зроблених пропозицій, учнів дійдуть необхідності обгрунтувати той або іній спосіб «наведення жорсткості». З допомогою вчителя вони дійдуть можливості провести це обгрунтування, переформулювати завдання вигляді відповідної завдання на побудова. Ролі по заданим елементам можна побудувати єдину постать, її модель буде жёсткой.

Можливість відомості конкретного завдання, певній на моделі, до рішенню абстрактної геометричній завдання на побудова реалізує жодну з найважливіших виховують функцій геометричних завдань: зв’язок навчання математиці з життям, тобто. показує реальне походження математичних абстракций.

З огляду на «властивість жорсткості» трикутника перше із вищезгаданих рішень обгрунтовується не так важко. Проте обгрунтування другого шляху виконання завдання менш очевидно. Виникає вже суто геометрична абстрактна задача.

Завдання 2. Побудувати 4-х косинець АВСД, знаючи довжину його сторін і довжину відрізка MN, поєднує середини сторін АВ і ДС.

Припустимо, що цей 4-х косинець АВСД побудований (рис. За). Виконаємо паралельний перенесення (ДN) боку ТАК і || перенесення (CN) боку СВ, тепер з точки виходять 3 відрізка А1N, MN, NВ1 відомої длины.

Неважко показати, що вищу точку М є серединою АВ1. У насправді, довжини відрізків АА1 і ВВ1 рівні ½ДС, не бажаючи відтинки || ДС.

Тому чотирикутник А1АВ1 В є параллелограммом. Крапка М — середина його діагоналі АВ. Тому М належить діагоналі А1В1 і є її серединой.

Отже, в (NA1B1 відомі боку NA1, В1N і заключённая з-поміж них медіана. А, щоб побудувати цей трикутник, відзначимо точку N1, симетрично щодо М. Вочевидь, |АN| = |В1N|.

Трикутник N1NA1 можна побудувати за трьома відомим сторонам: |NA1| = |ТАК|, |A1N1| = |В1N| = |CB| і |NM1| = 2|NM|.

Тепер побудуємо шуканий чотирикутник. Ділимо відрізок N1N точкою М на два конгруентних відрізка, будуємо точку В1, симметричную А1 щодо М. По трьох сторін побудуємо трикутники А1МА і МВВ1. Перенісши відрізок А1А на вектор А1N, а відрізок ВВ1 на вектор В1N, подучим чотири вершини шуканого 4-х косинця АВСД. Неважко показати одиничність рішення задачи.

Посиленню розвивають функцій завдання сприяє наступна постановка задач-аналогов, під час вирішення якої використовуються некоторый (один і хоча б) прийом, заснований на застосуванні певного методу. Оскільки паралельний перенесення елементів фигуры (АС) призводить до побудові допоміжного чотирикутника СВВ1Д1 з дуже цікавими свойствами.

Наприклад, 4-х косинець ДД1В1В — паралелограм, боку якого конгруэнтны діагоналям 4-х косинця АВСД, в кути конгруэнтны кутами між цими діагоналями; довжини діагоналей ДД1В1 В ще більше довжин відрізків, що з'єднують середини протилежних сторін АВСД; відстані від точки З до вершин цього паралелограма рівні відповідно длинам сторін 4-х косинця АВСД і т.д.

Багато у тих властивостей дозволяють вирішити свої завдання, аналогічні вихідної, створюють умови поширення певного прийому аж на клас завдань, сприяючи, т.а., формування в учнів здібностей до великого узагальнення (через анализ).

Такі, наприклад, такі задачи:

Завдання 3. У чотирикутнику АВСД відомі довжина відрізка М, поєднує середини сторін АВ і СД, довжина діагоналі АС і довжини сторін АВ, ВР і АД.

Чи є дана постать жесткой?

Завдання 4. Побудувати трапецію АВСД за даними діагоналям АС, ВД, боці АТ й відрізу МN, що з'єднує середини її оснований.

Розгляд цієї прикладу показує, як досить можна використовувати навчальні, розвиваючі і виховують функції завдань у тому єдності. У насправді, працюючи над з завдань використовуються різні властивості геометричних постатей, активно працює метод паралельного перенесення і достойний прийом побудови допоміжної то з дуже цікавими властивостями, тісно пов’язані зі властивостями заданої (шуканої) постаті (реалізуються різні розвиваючі функції), завдання легко моделюється (дотекает досвідчені рішення), збуджує інтерес школярів (реалізуються виховують функції). Завдання така, що може служити джерелом різноманітних аналогічних завдань, чимало з яких як засвідчило досвід, успішно складаються самими школярами, що сприяє формування в них творчої активности.

Досвід свідчить, що успішність у реалізації виховують функцій математичних завдань багато чому визначається пробудженням у учнів інтересу до цієї завданню, виникненням вони стійкою потреби у її рішенні, наявністю інтересу самого процесу вирішення завдань з урахуванням останнього часто порушується і формується інтерес учнів до вивчення самої математики суміжних навчальних дисциплін, інтерес до вченню в целом.

Чинники, які впливають формування у учнів стійкого інтересу до вирішення математичних завдань, дуже різні. До них, наприклад, належить доступність запропонованої завдання, зовнішня чи внутрішня цікавість завдання, усвідомлена можливість виявити у своїй творчу самостоятельность.

Глава III. Опис і вивести результати эксперимента.

Експеримент проводиться в СШ № 46 (гімназія № 4) під керівництвом Баязитовой Л. Ш. в 8б і 8 г.

Перед проведенням уроків по обобщающему повторення в обох класах було проведено самостійна роботу з метою впізнати їх рівень знаний.

Перевірочна самостійна работа.

Через точку перетину діагоналей паралелограма ABCD проведена пряма, яка перетинає боку AD і BC в точках Є. і F відповідно. Знайдіть боку паралелограма, якщо його периметр дорівнює 28 див, АЕ = 5 див, ВF = 3 див. [1. Биссектрисы кутів Проте й D паралелограма ABCD перетинаються в т. М лежачої за ЗС. Знайдіть боку паралелограма, якщо його периметр дорівнює 36 см.].

Знайдіть меншу бічну бік прямокутної трапеції, підстави якої рівні 10 див і шість див, та якщо з кутів 45о [2. Знайдіть бічну бік рівнобедреної трапеції, підстави якої рівні 12 див і шість див, та якщо з кутів 60о].

Самостійна показала, знання в учнів в обох класах розрізнені, вирішують завдання надто повільно. Оцінки по самостійної роботі низькі. (Це показано на графике.).

Після самостійної роботи, використовуючи таблицю теми: «Чотирикутники», яка приведено в методичному посібнику по геометрії (Гудвін і Гангнус ч.1). Перед учнями можна поставити низка запитань, яких учні не знайдуть в готової формі в підручнику, а повинні попрацювати головою, щоб дати их.

Наведемо деякі питання, поставлені нами перед учащимися:

Як із рівнобедреної трапеції отримати квадрат? Які додаткові умови необхідні этого?

Відповідь учнів: рівність бічних сторін збережеться. У рівнобедреної трапеції бічні боку зробимо перпендикулярними до підставах трапеції. Тоді одержимо прямокутник. Позаяк у квадраті суміжні боку рівні, то отриманому прямокутнику суміжні боку зробимо рівними, одержимо шуканий квадрат.

Як із паралелограма отримати квадрат?

Як трапецію перетворити на ромб?

Будучи параллелограммом, ромб має звичайні властивості. Перелічіть їх. Теж про квадрате.

Перелічіть, якими властивостями паралелограма має ромб? Квадрат? Прямокутник? І т.д.

Поруч із використанням зазначеної таблиці перед учнями були поставлені питання: що не четырехугольнике:

Діагональ ділить його за два рівних треугольника?

Діагоналі перетинаються лише у точці, й діляться пополам?

Діагоналі є биссектрисами внутрішніх углов?

Діагоналі взаємно перпендикулярны?

Діагоналі служать осями симметрии?

Учні повинні були як запитання, але кожен відповідь обгрунтувати, посилаючись на можливість вивчені теоремы.

Відповідь вважали малоцінним, коли він перераховував без системи окремі види чотирикутників, у яких діагоналі мають потрібним властивістю. Тож якщо питанням: «У яких четырехугольниках діагоналі перетинаючись діляться навпіл? «.

Учень відповідав: «Діагоналі, перетинаються лише у точці, діляться навпіл в параллелограмме, ромбі, квадраті «.

Не перебиваючи його давали можливість учневі висловитися, але з закінчення відповіді стояло: «Чи варто для відповіді поставлений питання перераховувати всі види чотирикутників? Чи не можна дати сповнений спокус і вичерпної відповіді, але в короткій формулюванні? «.

Якщо учень вагається з відповіддю ці запитання, проти нього ставилися додаткові питання: «Чи є прямокутник параллелограммом? Почему?».

Такі питання ставилися і ворожість до ромбу і квадрату.

Отже, чи можна стверджувати, що прямокутник, квадрат, ромб — є параллелограмм?

Після цього учням не становила труднощів дати ответ:

«Діагоналі, перетинаються і точкою перетину діляться навпіл в параллелограммах».

Якщо учнів давали відразу вичерпної відповіді і заодно стисло формі, ми давали додаткові питання з метою з’ясувати, наскільки свідомо засвоєно материал.

Тож якщо питанням: «У якій чотирикутнику діагональ ділить його за два рівних треугольника?».

Дотримувався відповідь: «Діагональ ділить чотирикутник однакові трикутника у разі, коли він паралелограм», то учневі ставився питання: «На прямокутнику, квадраті, ромбі діагональ не має тим самим свойством?».

«Прямокутник, квадрат, ромб — це паралелограми, але кожен із особливі властивості. Тому, говорячи про параллелограмме, саме сповідував і про них», — відповідав ученик.

Такі відповіді ми вважали найбільш вартісні, оскільки вони показують, що учень справді попрацював сам над даним йому завданням, що матеріал не зазубрив, а засвоїв сознательно.

Проте таких відповідей було замало. Тоді, у одному з класів (8б) провели узагальнююче повторення. На 8 г було пройдено тема «чотирикутники» і закріплена. Після цього було проведено контрольна работа.

Контрольна робота. (1ч.).

Діагоналі прямокутника АВСД перетинаються у точці Про. Знайдіть кут між діагоналями, якщо АВО = 30о [1. Діагоналі ромбу КМНР перетинаються в точці Про. Знайдіть кути трикутника ГЛЕВКА ГРУДКА, якщо кут МНР = 80о].

У параллелограмме КМНР проведена бісектриса кута МКР, яка перетинає бік МН у точці Є. а) Доведіть, що трикутник КМЕ рівнобедрений. б) Знайдіть бік КР, якщо МЕ = 10 див, а периметр паралелограма = 52 див. [2. З нашого боку ЗС паралелограма АВСД узята точка М отже АВ=ВМ. а) Доведіть, що ГАМ — бісектриса кута ВАД. б) Знайдіть периметр паралелограма, якщо СД=8 див, а РМ = 4 см].

Результати контрольної роботи можна показати диаграммой.

Проведене експеримент показує, що клас, у якому проведено узагальнююче повторення, легко працює із матеріалом, швидко вирішує завдання, зміг відповісти про всяк додаткове запитання, пояснити, що як вирішується, обгрунтувати свій ответ.

Ефективність узагальнюючого повторення помітна сразу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Надійне засвоєння знань є головним завданням процесу навчання, це надзвичайно складного процесу. Сюди входять сприйняття навчального матеріалу, його запам’ятовування і осмысливание, і навіть зокрема можливість використання цих знань у різних условиях.

1. Викладання математики неспроможна стояти належним чином, а знання учнів ні досить повними і міцними, тоді як роботі вчителя немає системи повторительно-обобщающих уроков.

Це психологічними особливостями процесу пізнання і властивостей пам’яті. Лише постійне у системі здійснюване включення нових знань у систему колишніх знань може забезпечити досить високу якість засвоєння предмета. Тільки після повторення можна приходити до логічним висновків. Без повторення неможливо, розкрити сутність речей і явищ, їхній розвиток. Недарма кажуть: «Повторення — мати учения».

2. Повторення математики необхідна як учнів із єдиною метою поглиблення, упрочнены і систематизації своїх знання, так самого вчителя у чётности вдосконалення методів навчання дітей і підняття ефективності своєї работы.

3. Повторення математики має систематично проводитися під час уроків, органічно поєднуючись із основним змістом урока.

При повідомленні нового матеріалу одночасно треба повторювати раніше изучаемый матеріал. Учні повинні відчувати потреба до повторень. Це досягається тим, що з вивченні нового матеріалу вчитель порівнює його, зіставляє з колишнім, встановлює аналогії з-поміж них, проводить узагальнення, поглиблення і систематизацию.

4. Перед початком учбового року чи чверті необхідно старанно спланувати матеріал для повторення, вказати види повторення, через яке він може проводиться, тобто. встановлюється, який матеріал буде проводиться паралельно вивчення нової теми і який на спеціально відведених уроках повторения.

5. Необхідно систематично практикувати поточне повторення. Необхідно врахувати і тематичне повторення після закінчення теми, заключне — по закінченні розділу, курсу загалом, де встановлено ширші логічні зв’язок між темами і розділами, підкреслюються ті основні провідні ідеї, які у основі даної навчальної дисциплины.

6. На підвищення інтересу й активності учнів за умови повторення необхідно застосовувати різні прийоми та методи роботи, урізноманітнити повторюваний матеріал, старий матеріал розглянути з точок зору, встановлювати дедалі нові логічні зв’язку, стимулювати самостійну роботу учащихся.

Тільки таким шляхом можна усунути то протиріччя, що виникає, з одного боку, через відсутність бажання в частини учнів повторювати то, що вони засвоєно якось, з другого необхідність повторювати із єдиною метою поглиблення, узагальнення і систематизації раніше вивченого материала.

7. Необхідна добре продумана теоретична та практично обгрунтованої системи повторення, що має забезпечити високу якість і міцність знань учнів. Лише цього разі викладач сягає тих цілей, що він переслідує повторением.

8. Необхідно старанно проаналізувати теорію і практику повторення для встановлення позитивних і негативних аспектів роботи навчальних закладів повторении.

Повторення навчального матеріалу жадає від вчителя творчої праці. Він має забезпечити чітку зв’язок між видами повторення, здійснити глибоко продуману систему повторения.

Опанувати мистецтвом організації повторення — таке завдання вчителя, від вирішення великою мірою залежить міцність знань учащихся.

БИБЛИОГРАФИЯ.

Аракелян О.А. «Деякі запитання повторення математики середньої школі» М. Учпедгиз, 1960.

Басова Л.А., Шубін М.А., Епштейн Л. А. Лекції і завдання математиці: з досвіду роботи літньої физико-математической школи Карелії. М. 1981.

Бєляєв Е.А., Кисельова Н. А., Перминов В. Я. Деякі особливості розвитку математичного знання. М. 1975.

Бескин М.М. «Методика геометрії». Підручник для педагогічних інститутів. Учпедгиз. 1947.

Бібліотека вчителя математики. Викладання геометрії в 6−8 класах. Збірник статей упорядник В.А. Гусєв. Москва «Просвітництво «1979.

Богоявленський Д.Н., Менчинская М. М. Психологія засвоєння знань у школі. М., 1959.

Глейзер. Історія математики школі (4−6 кл.). М. «Просвітництво», 1981.

Жуков Н.І. Філософські проблеми математики. Мінськ, 1977.

Кабанова-Меллер О.Н. Психологія формування знань і навиків. М. 1962.

Каррі Х.Б. Підстави математичної логіки. М. 1969.

Кедровский О.И. Методологічні проблеми розвитку математичного пізнання. Київ, 1977.

Кудрявцев Л. Д. Сучасна математика і її викладання. М. 1981.

Менчинская А.А. Психологічні питання навчання і призначає нові програми. «Радянська педагогіка», 1968.

Методика викладання математики середньої школи: Загальна методика /Ю.М. Колягин та інших. — М. Просвітництво, 1980.

Методика викладання математики. Упорядники: Р. С. Черкасов, А. А. Столяр.

Молодший В. М. Нариси з філософським питанням математики. М. 1969.

Моноезон Є.І. Методика й одержують результати вивчення знань учнів. «Радянська педагогіка», 1962.

Петров Ю.Н. Філософські проблеми математики. М. 1973.

Поба Д. Математика і правдоподібні міркування. М. 1975.

Перевірочні завдання щодо математиці учнів 5−8 і десяти класів середньої школи. М. «Просвітництво» 1992.

Реньи А. Діалоги про математиці. М. 1969.

Рузавин Г.І. Про природу математичного знання. М. 1968.

Славков З. Аспекти на математичні пізнання. Софія. 1971.

Срода Р.Б. «Повторення під час уроків математики ». Видавництво газети «Волга «Астрахань, 1950.

Шкільний факультатив з математики. Міжвузівський збірник. Видавництво Саратовського педагогічного інституту 1993.

Эрдниев П. М. Навчати математиці активно, творчо, ощадливо. «Народне освіту», 1962.

Эрдниев П.М. Порівняння і узагальнення під час навчання математиці, М. Учпедгиз, 1960.

Федоров І.Г. Деякі методологічних проблем математики. М. 1975.

———————————- Задачи.

1 2.

20 15 10 5.

8б 8 г Кол-во учащихся.

Равнобедренная трапеция.

Параллелограмм.

Ромб.

прямоугольник.

квадрат.

трапеция.

четырёхугольник Задачи.

1 2.

Было проведено узагальнююче повторення. 8б Немає проведено 8 г Кол-во учащихся В.

А С.

Д Д.

С А.

В О.

Д С.

А В.

В С.

Д А.

О.

А О.

В С.

Д А.

В С.

Д.

А Е.

В.

F.

С Д.

N.

M.

А Д.

N.

C.

А В1.

А1.

М.

N.

N.

Д А.

Д В1.

В М.

С.