Загальні поняття про систему координат Гаусса-Крюгера

Довгий час людство шукало простішу систему координат, ніж географічна, для визначення положення точки, яка закріплена на фізичній поверхні Землі. В 1637 р. французький математик Р. Декарт опублікував свою книгу ''Геометрія'', в якій приведена структура системи прямокутних координат. Дану систему називають декартовою системою координат (рис.7).

Рис. 7. Система прямокутних координат

В математиці прийнято за вісь x горизонтальну лінію, а за вісь у вертикальну лінію, які перетинаються під прямим кутом. Точку перетину осей приймають за нуль. Таким чином створено чотири четверті і їх рахунок ведуть проти годинникової стрілки, починаючи від позитивного кінця осі X. Дана система прямокутних координат може доцільно використовуватися на порівняно малих ділянках місцевості, коли їх приймають за площину. Це буде своя місцева система координат. Координати точок, які обчислені відносно різних їх початків, тобто в різних системах не можуть бути використані для складання точних планів і топографічних карт на великі ділянки, якщо попередньо не встановити зв’язок між цими системами. Якщо питання стоїть про великі ділянки місцевості або всієї земної кулі, то зручно використати одну загальну систему координат. Тут постає питання, як врахувати кривизну земної поверхні? Теорію прямокутних координат для визначення положення точок на земній поверхні розробив в 1825 — 1830 рр. відомий німецький вчений — геодезист К. Гаусс. Методику практичного використання цієї теорії розробив і запропонував німецький геодезист Л. Крюгер в 1912 р. Ось чому дану систему координат називають системою координат Гаусса — Крюгера. Суть даної системи прямокутних координат Гаусса — Крюгера полягає в наступному. Поверхню еліпсоїда ділять на частини шляхом проведенням меридіанів через 6° починаючи з початкового меридіану, який проходить через обсерваторію м. Грінвіча. Перша зона обмежена меридіанами 0° і 6°, друга — 6°-12° і т.д., тобто рахунок виконують із заходу на схід. Таких зон на земній кулі буде 60. Щоб отримати плоске зображення зони, то необхідно уявити, що земну кулю розмістили в циліндр необхідної величини та на внутрішню його поверхню проектують зони розгорнуті на площині, а після цього розрізають за твірною циліндр і розгортають його на площині (рис.8).

Після цього відбитки зон на площині будуть мати вигляд приведений на рис. Якщо з'єднати північний і південний полюси в кожній зоні, то ми отримаємо їх осьові меридіани, які будуть перпендикулярні до лінії екватору Ці лінії приймають за осі плоских прямокутних координат в системі Гаусса — Крюгера.

Осьовий меридіан приймають за вісь абсцис і позначають буквою X, лінію екватора приймають за вісь ординат і позначають буквою у. За початок координат приймають точку перетину осей і позначають буквою 0. Таким чином в кожній зоні буде своя система прямокутних координат. Координати абсцис точок відраховуються від їх початку до північного і південного полюсів та можуть змінюватися до 10 000 км. На північ від екватора вони додатні, а на південь — від'ємні. Ординати у відраховуються від осьового меридіану вправо (на схід) і мають додатній знак та вліво (на захід) — від'ємний знак. Територія нашої держави розташована в північній частині земної кулі, а тому абсциси будуть додатними. Для того, щоб ординати кожної зони були теж додатними, то початок ординати приймають за 500 км. Тобто, перетин абсцис і ординат в кожній зоні прийняті (x=0; у=500 км). Відомо, що точка земної поверхні може займати положення як на заході зони від осьового меридіану, так і на сході. Ширина зони між точками, А і В за лінією екватора дорівнює 670 км, а довжина меридіану зони від південного полюсу до північного становить 20 000 км (рис. 9). Тоді довжина меридіану від екватору до будь-якого полюса становить 10 000 км. В градусній мірі південна чи північна півкулі становлять 90°. Дуга меридіану в 1° становить в середньому 10 000 км: 90 =111,1 км. На цій основі дуга меридіану в 1' становить 111,1 км: 60 = 1850 м, а дуга в 1″ становить 31 м.

Найбільш віддалена точка на екваторі від осьового меридіану зони до її границі становить 3°, або у=111,1 км х 3 = 333,3 км. Таким чином ордината у зони може бути найменшою 500 км — 333,3 км =166,7 км, або найбільшою 500 км + 333,3 км = 833,3 км (рис. 10). Такі ординати називаються перетвореними.

Рис. 10. Зональна система координат

На практиці може трапитися так, що точки розташовані на одній лінії паралельної екватору і на однаковій віддалі від осьових меридіанів зон. Це говорить про те, що ординати будуть однаковими для цих точок. Для того, щоб кожна точка земної поверхні мала тільки свою адресу, то перед дійсною ординатою будь-якої точки приписують номер зони. Наприклад, y = 9612,00 км. Це свідчить про те, що точка знаходиться в 9 зоні і на сході від осьового меридіану. Точка M земної поверхні має прямокутні координати xM = 6083,00 км;yM = 17 357,00 км. За даними прямокутних координат точка характеризується наступним чином. Точка M знаходиться в північній півкулі на віддалі 6083 км від лінії екватора, в 17 зоні і на захід від осьового меридіану. Сітка прямокутних координат нанесена на всіх топографічних картах. Горизонтальні лінії сітки проведені _араллельно лінії екватора, а вертикальні - _араллельно осьовому меридіану зони. Дану сітку ще називають кілометровою тому, що вона проведена через ціле число кілометрів. Для кожного масштабу топографічних карт прийняті свої розміри сторін квадратів кілометрових сіток.

3. Розрахунок математичної основи карти масштабу 1:50 000.

L-39−31-Б

Аркуш карти масштабу 1:50 000 одержують шляхом ділення аркуша карти масштабу 1:100 000 на 4 частини. Кожна частина позначається великими літерами А, Б, В, Г.

1.Номенклатура аркуша карти масштабу 1: 50 000 складається з номенклатури аркуша карти масштабу 1:100 000 і літери аркуша карти масштабу 1:50 000 L-39−31-Б. Де пояс карти 1:1 000 000 — L-39-ма колона, ряд-L.

Розміри аркуша карти за широтою 10 і за довготою 15.

2. Географічні координати кутових (вузлових) точок аркуша карти.

Так як аркуш карти має номенклатуру L-39−31-Б, то географічні координати вузлових точок визначають за такою послідовністю:

Аркуш карти М 1:100 000 з номенклатурою L-39−31 отримують діленням аркуша карти L-39 масштабу 1:1 000 000 на 144 частини. Кожна частина нумерується від 1 до 144.

Номенклатура аркуша карти М 1:100 000 складається з номенклатури аркуша карти М1:1 000 000 (L-39) і номеру аркуша карти (31), L-39−31.

Розміри аркуша карти:

• · за широтою: 4: 12кв.=20
• · за довготою: 6: 12кв.=30
• 48 48
• 4
• 6

рис. 12.

Аркуш карти масштабу 1:50 000 одержують шляхом поділу аркуша карти масштабу 1:100 000 на 4 частини. Кожна частина позначається великими літерами А, Б, В, Г.

Номенклатура аркуша карти масштабу 1: 50 000 складається з номенклатури аркуша карти масштабу 1:100 000 і літери аркуша карти масштабу 1:50 000.

Номенклатура карти М 1:50 000, що дана в курсовій роботі L-39−31-Б.

Розміри аркуша карти:

• · за широтою 20: 2 = 10
• · за довготою 30: 2 = 15

А Б В Г10.

Рис. 13.

Таким чином географічні координати кутових (вузлових) точок аркуша карти будуть такими:

т.1 географічна широта (ц) =4720.

географічна довгота (л) =5115.

т.2 географічна широта (ц) =4720.

географічна довгота (л) =5130.

т.3 географічна широта (ц) =4710.

географічна довгота (л) =5115.

т.4 географічна широта (ц) =4710.

географічна довгота (л) =5130.

5115 5130.

5115 5130.

Рис. 14.

• 3. Номер зони, в якій знаходиться даний аркуш карти, визначається за формулою, в якій від номеру колони віднімається число 30 (за правилом), тобто :
• 39- 30 = 9 — географічна зона

Визначаємо довготи західної і східної рамки аркуша карти: Визначаємо довготу 1 географічної зони:

лист 1:1 000 000 за довготою =6.

Визначаємо східну довготу:

9 (зона) Ч600=5400 _х. Довготи Визначаємо західну довготу:

• 5400 — 600=4800 зах. Довготи.
• 4. Знаходимо довготи рамок аркуша карти М 1:50 000 з номенклатурою

L-39−31-Б (західну та східну):

л=5115- західна довгота;

л=5130- східна довгота.

5. Визначаємо довготу осьового меридіану:

Осьовий меридіан — середній меридіан шестиградусної зони визначається за формулою: L₀= 6 n -3= 6 9 -3= 5100.

L₀ довгота осьового меридіана.

n номер координатної зони.

9 обчислена зона Множимо на 6 за правилом, віднімаємо 3 за правилом.

Кожна шестиградусна зона має різницю довгот 6, осьовий меридіан заходиться всередині шестиградусної зони. Тому віднімаємо 3.

Осьовий меридіан.

Рис. 15.

• 7. Визначаємо різницю довгот: _{1, 2} (розмір аркуша карти по довготі).
• 1 _{, 2} різниця довгот;

L₀ довгота осьового меридіану; (5100).

L_зах.д довгота західної рамки аркуша карти; (5115).

L_сх.д довгота східної рамки аркуша карти; (5130).

• 1 = L_зах.д— L₀ = 5115−5100= 015
• 2 = L_сх.д— L₀= 5130−5100= 030

L_ср = (015+030): 2 = 022 30.

Знаки при обчислюванні не враховуємо.

L_ср треба для того, щоб визначити прямокутні координати за допомогою таблиць Гаусса.

По L_ср ми вносимо поправки за кривизну Землі.

Рис. 16Схема розміщення суміжних аркушів

8. Складаємо таблицю зональних прямокутних координат вузлових точок.

Табл.1.

Визначаємо Умовну Ординату кутових точок:

Точка 1. У₁ = 500 000 м + 18 895,7= 518 895,7 м Точка 2. У₂ = 500 000 м +37 791,4= 537 791,4 м Точка 3. У₃ = 500 000м +18 955,1= 518 955,1 м Точка 4. У₄ =500 000м +37 910,2 = 537 910,2 м Якщо дійсна ордината (У_і) при її визначенні має знак «мінус», то при визначенні умовної ординати (У) від 500 000 м ми віднімаємо дійсну ординату.(величину беремо з таблиці 1).

Якщо дійсна ордината (У_і) при її визначенні має знак «плюс «, то при визначенні умовної ординати (У) до 500 000 м ми додаємо дійсну ординату.

В таблицю записуємо ще число 9 перед визначеною умовною ординатою. Число 9, це номер зони, в якій знаходиться колона .

В таблицю, де записуємо дійсну ординату ставимо знак «мінус» в тому випадку, якщо різниця довгот буде отримана зі знаком «мінус».

Визначення розмірів рамок і площ трапеції топографічної карти В таблицях Гаусса є «Таблиці розмірів рамок і площ трапецій топографічних зйомок» різних масштабів. Всім картам властиві спотворення довжин, площ, кутів та форм об'єктів. Наявність спотворень веде до того, що масштаб карти буде величиною змінною. Зображення території на карті має спотворення, тому вносимо поправки використовуючи таблиці Гаусса.

Для побудови рамок в проекції Гаусса-Крюгера за координатами Х і У біля вершин кутів із «Таблиць Гаусса» виписують розміри рамок і площу даної трапеції. В таблицях знаходимо потрібний масштаб, в якому будемо будувати топографічну карту. Наприклад, масштаб 1: 50 000 (L-39−31-Б). Знаходимо потрібні координати точок південної та північної широти. Знаходимо широту точки 4700 (півн. ш) та широту 4750 (півд. ш) і навпроти цих величин в таблиці знаходимо довжину сторін трапеції топографічної карти.

Дані виписуються на схему, в якій прийняті такі позначення:

а — південна або північна основа трапеції.

сбічна сторона трапеції.

dдіагональ а_пн = 37,79 см с= 37,06 см Р=350,68.

а_пд = 37,91 см d= 52,97 см Величини а, с, d в таблиці виражені в сантиметрах, а площа Р — у квадратних кілометрах. Значення а, с, d і Р для заданої трапеції вибираються із таблиць Гаусса за відомими значеннями широт південної і північної рамок трапеції. Якщо а, с, і d використовуються для контролю правильності рамок трапеції, побудованої за координатами Гаусса-Крюгера, то обов’язково повинно враховуватися спотворення ліній у проекції, і значення а, с, і d, взяті із таблиці, повинні бути виправлені відповідно до поправок: а, с, d. Значення поправок розраховані і розміщені внизу кожної сторінки.

а, с, d довжини ліній з поправками.

а теоретичне значення, виносимо на малюнок трапеції довжини з поправками.

Потім треба зрівняти на основі отриманих результатів і побудувати рамки та сітки аркуша в проекції Гаусса — Крюгера.

L_ср = 022 30.

L_ср треба для того, щоб нанести прямокутні координати на топографічну карту.

9. Визначаємо поправки за кривизну Землі.

Визначені поправки (масштаб 1: 50 000).

а = 0,00 с = 0,00 d = 0,00.

Одержані значення поправок завжди додаються до довжин і сторін діагоналей, незалежно від знаку різниці довготи.

а = 0,00 + 37,79 = 37,79.

а = 0,00 + 37,91 = 37,91.

с = 0,00 + 37,06 = 37,06.

d = 0,00 + 52,97 = 52,97.

Величини а, с, d виражені в см, а Р км²

Таблиця 2. Розміри рамки трапеції :

Рис. 17 Схема позначення довжин рамок аркуша карти

Номенклатура L-39−31-Б складається з таких елементів:

L 39 номенклатура аркуша 1: 000 000.

31 номенклатура аркуша 1: 100 000.

Б номенклатура аркуша 1: 50 000.