Основы фінансових обчислень

Основы фінансових обчислень

Олег Лытнев Одним з найважливіших властивостей грошових потоків був частиною їхнього розподіленість у часі. При аналізі щодо короткострокових періодів (до 1 року) за умов стабільної економіки дане властивість надає щодо незначне вплив, яким часто нехтують. Визначаючи обсяг реалізації підприємством, просто складають суми виручки кожний з місяців звітного року. Аналогічно надходять із іншими грошовими потоками, що позвляет оперувати їх підсумковими значеннями. Однак якщо більш тривалих періодів чи умовах сильної інфляції виникає серйозні проблеми забезпечення зіставності даних. Одна й та номінальна сума грошей, отримана підприємством з інтервалом один і більше рік, таких умов матиме йому неоднакову цінність. Вочевидь, що 1 млн. карбованців на початку 1992 року було набагато вагомішими мільйона «зразка» 1993 і більше пізніх років. Зазвичай, у разі виробляють коригування звітних даних із урахуванням інфляції. Та не зводиться лише обліку інфляції. Однією з основних принципів фінансового менеджменту є визнання тимчасової цінності грошей, тобто залежності їхню реальну вартість від величини проміжку часу, що залишається до їх отримання чи витрати. У фундаменті економічної теорії дане властивість називається позитивним тимчасовим перевагою.

Наряду з інфляційним знецінюванням грошей є ще принаймні три найважливіші причини даного економічного феномена. По-перше, «сьогоднішні» гроші завжди будуть цінніший «завтрашніх» ризик неотримання останніх, і це ризик буде тим більша, що більше проміжок часу, що відокремлює одержувача грошей що від цього «завтра». По-друге, маючи грошима «сьогодні», економічний суб'єкт може вкласти в якесь дохідне підприємство й нам заробити прибуток, тоді як одержувач майбутніх грошей позбавлений такої можливості. Прощаючись із грошима «сьогодні» визначений період (скажімо, даючи їх в борг озер місяцем), власник як піддає себе ризику їхнє неповернення, але несе реальні економічні збитки у вигляді неотриманих доходів від інвестування. З іншого боку знижується його платоспроможність, оскільки будь-які зобов’язання, одержувані їм замість грошей, мають нижчу ліквідність, ніж «живі» гроші. Тобто в кредитора зростає ризик втрати ліквідності, і це третя причина позитивного тимчасового переваги. Природно, більшість власників грошей незгодні безплатно приймати на себе настільки суттєві додаткові ризики. Тому, предоствляя кредит, вони встановлюють такі умови його повернення, котрі за їхньої думки повністю відшкодують їм усе моральні риси і матеріальні незручності, що охоплюють людини, розлучається (нехай і тимчасово) з грошовими знаками.

Количественной мірою величини цього відшкодування є відсоткову ставку. З її допомогою може визначатися як майбутня вартість «сьогоднішніх» грошей (наприклад, якщо їх збираються позичити), і справжня (сучасна, поточна чи наведена) вартість «завтрашніх» грошей — наприклад, тих, якими обіцяють розплатитися за рік після поставки товарів надання послуг. У першому випадку говорять про операції нарощення, тому майбутню вартість грошей часто називають наращенной. У другий випадок виконується дисконтирование чи приведення майбутньої вартості до її сучасною величині (поточному моменту) — звідси термін дисконтована, наведена чи поточна вартість. Операції нарощення грошей по відсоткової ставці простішими і зрозумілі, оскільки із нею вони зіштовхуються досить часто беручи або створюючи певний гроші в борг. Проте задля фінансового менеджменту значно більше важливе значення має дисконтирование грошових потоків, наведення майбутньої вартості до сучасного моменту часу задля забезпечення порівнянності величини розподілених за часом платежів. У принципі так, дисконтирование — це нарощення «навпаки», проте до фінансових розрахунків важливі деталі, тому необхідно більш докладно розглянути як пряму, і зворотний завдання відсоткових обчислень. Перш ніж вивчати стосовно грошових потоків, слід засвоїти найбільш елементарні операції з одиничними сумами (разовими платежами).

Процентная ставка показує ступінь інтенсивності зміни вартості грошей у часі. Абсолютна величина цього зміни називається відсотком, вимірюється у грошових одиницях (наприклад, рублях) і позначається I. Якщо позначити майбутню суму P. S, а сучасну (чи початкову) P, то I = P. S — P. Відсоткову ставку і є відносної величиною, вимірюється в десяткових дробах чи %, і визначається розподілом відсотків по початкову суму:

(1).

Можно помітити, що формула розрахунку відсоткової ставки ідентична розрахунку статистичного показника «темп приросту». Справді, якщо абсолютна сума відсотка (I) є приріст сучасної величини, то ставлення цього приросту до найсучаснішою величині і буде темпом приросту перовначальной суми. Нарощення початкової суми по відсоткової ставці називається декурсивным методом нарахування відсотків.

Кроме відсоткової існує облікову ставку d (іншу назву — ставка дисконту), розмір якої визначається за такою формулою:

, (2).

где D — сума дисконту.

Сравнивая формули (2) і (3) можна побачити, сума відсотків I й розмір дисконту D визначаються однаковим чином — як відмінність між майбутньої та сучасного вартостями. Проте, сенс, вкладений у ці терміни є неоднаковим. тоді як першому випадку йдеться про приросту поточної вартості, свого роду «націнки», то у другому визначається зниження майбутньої вартості, «знижка» з її величини. (Diskont у перекладі німецького означає «знижка»). Не дивно, що його областю застосування облікової ставки є дисконтирование, процес, зворотний стосовно нарахуванню відсотків. Проте, іноді вона використовують і для нарощення. І тут говорять про антисипативных відсотках.

При допомоги розглянутих вище ставок можуть нараховуватися як прості і складні відсотки. При нарахуванні простих відсотків нарощення початкової суми відбувається у арифметичній прогресії, а при нарахуванні складних відсотків — в геометричній. Спочатку докладніше розглянемо операції з простими відсотками.

Начисление простих декурсивных і антисипативных відсотків проводиться у разі різним формулам:

декурсивные відсотки: (3).

антисипативные відсотки: , (4).

где n — тривалість позички, вимірювана літній.

Для спрощення обчислень другі сомножители в формулах (3) і (4) називаються множителями нарощення простих відсотків: (1 + ni) — множник нарощення декурсивных відсотків, 1 / (1 — nd) — множник нарощення антисипативных відсотків.

Например, позичка у розмірі млн. рублів видається терміном на 0,5 року під 30% річних. У разі декурсивных відсотків нарощена сума (Si) дорівнюватиме 1,15 млн. рублів (1 * (1 + 0,5 * 0,3), а сума нарахованих відсотків (I) — 0,15 млн. рублів (1,15 — 1). Якщо ж нараховувати відсотки за антисипативному методу, то нарощена величина (Sd) становитиме 1,176 млн. рублів (1 * (1 / (1 — 0,5 * 0,3), а сума відсотків (D) 0,176 млн. рублів. Нарощення по антисипативному методу завжди відбувається швидшими темпами, аніж за використанні відсоткової ставки. Тому банки використовують його нарахування відсотків з видаваним ними позичкам у періоди високої інфляції. Проте в нього є значний недолік: з формули (4), при n = 1 / d, знаменник дробу звертається до нуль і вираз утрачає будь-який сенс.

Вообще, нарахування відсотків із використанням ставки, настановленим виконання прямо протилежної операції - дисконтування — має відтінок певної «неприродності» і часом породжує плутанину (аналогічну тій, яка може виникнути у роздрібного торговця, коли він переплутає правила визначення знижок і націнок за свої товари). З позиції математики ніякої складності тут немає, перетворивши (1), (2) і (4), отримуємо:

(5).

Соблюдая це основна умова, можна одержувати еквівалентні результати, нараховуючи відсотки як у формулі (3), і за такою формулою (4).

Антисипативным методом нарахування відсотків зазвичай мають суто технічних цілях, в частковості, визначення суми, дисконтирование якій із заданим облікової ставки і терміну, дасть шуканий результат. Наступного параграфі розглядатимуться конкретні приклади виникнення таких ситуацій.

Как правило, відсоткові ставки встановлюються у річному обчисленні, тому вони називаються річними. Особливістю простих відсотків і те, що частота процесів нарощення протягом року впливає результат. Тобто, немає ніякої різниці нараховувати 30% річних 1 на рік чи нарахувати 2 разу по 15% річних. Проста ставка 30% річних за одного нарахуванні на року називається еквівалентній простий ставці 15% річних при нарахуванні 1 разів у півроку. Дане властивість пояснюється лише тим, що нарощення за простою відсоткової ставці є арифметичну прогресію з цим членом a1 = P і різницею d = (P * і).

P, P + (P * і), P + 2 * (P * і), P + 3 * (P * і), …, P + (k — 1) * (P * і).

Наращенная сума P. S є ніщо інше, як останній k-й член цієї прогресії (P.S = ak = P + n * P * і), термін позички n дорівнює k — 1. Тому, якщо збільшити n і водночас пропорційно зменшити і, то величина кожного члена погрессии, зокрема і останнього, залишиться незмінною.

Однако тривалість позички (або інший фінансової операції, що з нарахуванням відсотків) n необов’язково має дорівнювати року й цілому числу років. Навпаки, прості відсотки найчастіше використовують при короткострокових (тривалістю менше року) операціях. І тут виникають проблеми визначення тривалості позички і тривалості року у днях. Якщо позначити тривалість року у днях буквою K (цей показник називається тимчасова база), а кількість днів користування ссудой t, то використане в формулах (3) і (4) позначення кількості повних років n можна буде потрапити висловити як t/K. Підставивши цей вислів в (3) і (4), одержимо:

для декурсивных відсотків: (6).

для антисипативных відсотків: , (7).

В різних випадках можуть бути різні способи підрахунку числа днів, у року (угоду з підрахунку днів). Рік може прийматися рівним 365 чи 360 дням (12 повних місяців по 30 днів, у кожному). Проблема погіршується наявністю високосні років. Наприклад, позначення ACT/360 (actual over 360) свідчить про те, що тривалість року приймається рівної 360 дням. Але запитання, бо як у своїй визначається тривалість позички? Наприклад, якщо кредит видається 10 березня з терміном повернення 17 червня нинішнього ж року, як слід його тривалість — за календарем чи виходячи з того, що кожен місяць дорівнює 30 дням? Безумовно, у кожному випадку може бути обраний свій оригінальний спосіб підрахунку числа днів, проте, попри практиці вироблені деякі загальні принципи, знання яких може допомогти зорієнтуватися у будь-якій конкретної історичної ситуації.

Если тимчасова база (K) приймається рівної 365 (366) дням, то відсотки називаються точними. Якщо тимчасова база дорівнює 360 дням, то говорять про комерційних чи звичайних відсотках. Натомість підрахунок тривалості позички то, можливо чи наближеним, коли походять від тривалості року у 360 днів, чи точним — за календарем чи з спеціальної таблиці номерів днів на рік. Визначаючи наближену тривалість позички, спочатку підраховують число повних місяців і множать його за 30. Потім додають число днів, у неповних місяцях. Спільним для всіх способів підрахунку є правило: день видачі і повернення кредиту вважаються протягом дня (назвемо його граничний день). У наведеному вище умовному прикладі точна тривалість позички становитиме календареві 99 днів (21 день була в березні + 30 днів, у квітні + 31 день була в травні + 16 днів, у червні + 1 граничний день). Той-таки результат отримають, якщо використовувати таблицю номерів днів на рік (10 березня має порядковий номер 69, а 17 червня — 168). Якщо ж використовувати наближений спосіб підрахунку, то тривалість позички становитиме 98 днів (21 + 2 * 30 + 16 + 1).

Наиболее часто трапляються такі комбінації тимчасової бази й тривалості позички (цифри в дужках позначають відповідно величину t і K):

Точные відсотки з точним числом днів (365/365).

Обыкновенные (комерційні) відсотки із точною тривалістю позички (365/360).

Обыкновенные (комерційні) відсотки з наближеною тривалістю позички (360/360).

Различия у засобах підрахунку днів можуть несуттєвими, однак за великих сумах операцій та високих відсоткових ставках вони досягають дуже пристойних розмірів. Припустимо, що позичка в 10 млн. рублів видана 1 травня з поверненням 31 грудня цього року під 45% річних (проста відсоткову ставку). Визначимо наращенную суму цього кредиту за кожному із трьох способів. Табличное значення точної тривалості позички одно 244 дня (365 — 121), наближена тривалість — 241 день (6 * 30 + 30 + 30 + 1).

10 * (1 + 0,45 * 244/365) = 13,008 млн. рублів.

10 * (1 + 0,45 * 244/360) = 13,05 млн. рублів.

10 * (1 + 0,45 * 241/360) = 13,013 млн. рублей Разница між найбільшої і найменшої величинами (13,05 — 13,008) означає, що боржник буде змушений спілкуватися заплатити додатково 42 тис. рублів лише те, що погодився (або звернув увагу) застосування 2 способу нарахування відсотків.

Обратной завданням стосовно нарахуванню відсотків є розрахунок сучасної вартості майбутніх грошових надходжень (платежів) чи дисконтирование. У результаті дисконтування відомою майбутньої вартості P. S і заданим значенням відсоткової (облікової) ставки і тривалості операції перебуває початкова (сучасна, наведена чи поточна) вартість P. Залежно від цього, який саме ставка — проста відсоткова чи проста облікова — застосовується для дисконтування, розрізняють два види: математичне дисконтирование і банківський облік.

Метод банківського обліку отримав свою назву від однойменної фінансової операції, в ході якого комерційний банк викуповує у власника (враховує) простий чи перекладний вексель за ціною нижчою номіналу до закінчення зазначеного у цьому документі терміну його погашення. Різниця між номіналом і викупної ціною утворює прибуток банку таку операцію і називається дисконт (D). Для визначення розміру викупної ціни (отже, та незначною сумою дисконту) застосовується дисконтирование методом банківського обліку. У цьому використовується проста облікову ставку d. Викупна ціна (сучасна вартість) векселі визначається за такою формулою:

(8).

где t — термін, що залишається до погашення векселі, в днях. Другий множене цього висловлювання (1 — (t / k) * d) називається дисконтным множником банківського обліку за простими відсоткам. Зазвичай, при банківському обліку застосовуються звичайні відсотки із точною тривалістю позички (2 варіант). Наприклад, власник векселі номіналом 25 тис. рублів звернувся до банк з пропозицією врахувати його з 60 днів до терміну погашення. банк згоден виконати цю операцію з простий облікової ставки 35% річних. Викупна ціна векселі становитиме:

P = 25 000 * (1 — 60/360 * 0,35) = 23 541,7 крб.,.

а сума дисконту дорівнюватиме.

D = P. S — P = 25 000 — 23 541,7 = 1458,3 крб.

При математичному дисконтировании використовується проста відсоткову ставку і. Розрахунки виконуються за такою формулою:

(9).

Выражение 1 / (1 + (t / k) * і) називається дисконтным множником математичного дисконтування за простими відсоткам.

Этот метод застосовують у решти (крім банківського обліку) випадках, коли виникла потреба визначити сучасну величину суми, яка буде отримана у майбутньому. Наприклад, покупець зобов’язується оплатити постачальнику вартість закуплених товарів через 90 днів після постачання сумі 1 млн. рублів. Рівень простий відсоткової ставки становить 30% річних (звичайні відсотки). Отже поточна вартість товарів дорівнюватиме:

P = 1 / (1 + 90 / 360 * 0,3) = 0,93 млн. рублів.

Применив до цих умов метод банківського обліку, одержимо:

P = 1 * (1 — 90 / 360 * 0,3) = 0,925 млн. рублів.

Второй варіант виявляється вигіднішим для кредитора. Слід пам’ятати, що якихось жорстких вимог вибору того чи іншого методу виконання фінансових розрахунків немає. Ніхто неспроможна заборонити учасникам фінансової операції вибрати у цій ситуації метод математичного дисконтування чи банківського обліку. Існує, мабуть, єдина закономірність — банками, зазвичай, вибирається метод, вигідніший для кредитора (інвестора).

Основной областю застосування простих відсоткової і облікової ставок є короткострокові фінансові операції, тривалість яких менше 1 року. Обчислення з простими ставками не враховують можливість реінвестування нарахованих відсотків, оскільки нарощення і дисконтирование виробляються щодо незмінною вихідної суми P чи P. S. На відміну від нього складні ставки відсотків враховують можливість реінвестування відсотків, позаяк у цьому випадку нарощення виробляється за такою формулою не арифметичній, а геометричній прогресії, першим членом якої є початкова сума P, а знаменник дорівнює (1 + і).

P, P * (1 + і), P * (1 + i)2, P * (1 + i)3, …, P * (1 + i) n,.

где число років позички n менше ніж членів прогресії k на 1 (n = k — 1).

Наращенная вартість (останнього члена прогресії) перебувають розслідування щодо формулі:

(10),.

где (1 + і) n — множник нарощення декурсивных складних відсотків.

С позицій фінансового менеджменту використання складних відсотків є кращим, т.к. визнання можливості власника будь-якої миті інвестувати свої гроші для одержання доходу є наріжним каменем всієї фінансової теорії. З використанням простих відсотків ця можливість часто вже не враховується, тож результати обчислень виходять менш коректними. Проте при короткострокових фінансові операції як і широко застосовуються обчислення простих відсотків. Деякі математики вважають — це прикрим пережитком, які залишилися відтоді, коли в фінансистів був б під руками калькуляторів і вони змушені були вдаватися до простішим, хоча й такий точним способам розрахунку. Звісно ж можливим і трохи інакше пояснення цього факту. При тривалості операцій менш 1 року (n < 1) нарахування простих відсотків забезпечує отримання результатів навіть вигідніших для кредитора, ніж використання складних відсотків. Вище вже відзначалася закономірність вибору банками саме таких, вигідніших для кредитора способів. Тож було б наївно недооцінювати обчислювальні потужності сучасних банків та інтелектуальний потенціал їхніх працівників, вважаючи, що вони використовують грубих методів розрахунків тільки з їхньої низької трудомісткості. Важко уявити банкіра, хоча на секунду забуває про власну вигоду.

Сама собою складна відсоткову ставку і нічим не відрізняється від простий і розраховується за той самий формулі (1). Складна облікову ставку визначається по формулі (2). Як у разі простих відсотків можливо застосування складної облікової ставки для нарахування відсотків (антисипативный метод):

, (11).

где 1 / (1 — d)^n — множник нарощення складних антисипативных відсотків.

Однако практичне застосування такого способу нарощення відсотків дуже обмежений і він ставиться до швидше розряду фінансової екзотики.

Как зазначалось, найширше складні відсотки застосовуються під час аналізу довгострокових фінансових операцій (n > 1). На великому проміжку часу у повною мірою проявляється ефект реінвестування, нарахування «відсотків по відсотки». У зв’язку з цим — запитання виміру тривалості операції, і тривалості року у днях у разі складних відсотків стоїть менш гострий. Як правило, неповне кількість років висловлюють дробовим числом через кількість місяців (3/12 чи 7/12), не вдаючись у точніші підрахунки днів. Тож у формулі нарахування складних відсотків число років практично завжди позначається буквою n, а чи не вираженням t/K, як це заведено простих відсотків. Найбільш педантичні кредитори, приймаючи до уваги більшої ефективності простих відсотків по коротких відтинках часу, використовують змішаний нарахування відсотків на разі, коли час операції (позички) не дорівнює цілому числу років: складні відсотки нараховуються на період, обмірюваний цілими роками, а відсотки дробову частина терміну нараховуються за простою відсоткової ставці.

, (12).

где a — число повних років у складі тривалості операції,.

t — число днів, у відрізку часу, приходящемся на неповний рік,.

K -тимчасова база.

В цьому випадку знову виникла потреба виконання календарних обчислень по розглянутим вище правилам. Наприклад, позичка в 3 млн. рублів видається 1 січня 1997 року у 30 вересня 1999 року під 28% річних (відсоткову ставку). У разі нарахування складних відсотків за всі терміни користування грошима нарощена сума становитиме:

S = 3 * (1 + 0,28)^(2 + 9/12) = 5,915 млн. рублів.

Если ж використовувати змішаний спосіб (наприклад, комерційні відсотки з точним числом днів), одержимо:

S = 3 * (1 + 0,28)^2 * (1 + 272 / 360 * 0,28) = 6 млн. рублів.

Таким чином, педантичність кредитора у разі виявилася зовсім не від зайвої реклами і отримала винагороду додатковим доходом у сумі 85 тис. рублів.

Важной особливістю складних відсотків є залежність кінцевого результату від кількості нарахувань протягом року. Тут знову позначається вплив реінвестування нарахованих відсотків: база нарахування зростає з кожним новим нарахуванням, а чи не залишається незмінною, як у простих відсотків. Наприклад, якщо нараховувати 20% річних 1 на рік, то початкова сума 1 тис. рублів зросте під кінець року до 1,2 тис. рублів (1 * (1+ 0,2)). Якщо ж нараховувати по 10% кожних півроку, то майбутня вартість становитиме 1,21 тис. рублів (1 * (1 + 0,1) * (1 + 0,1)), при поквартальном нарахуванні по 5% вона зросте до 1,216 тис. рублів. У міру збільшення числа нарахувань (m) і тривалості операції ця різниця становитиме дуже збільшуватися. Якщо розділити суму нарахованих відсотків при щоквартальному нарощенні на початкову суму, вийде 21,6% (0,216 / 1 * 100), а чи не 20%. Отже складна ставка 20% при одноразовому нарощенні і 20% (в чотири рази по 5%) при поквартальном нарощенні призводять до різним результатам, тобто вони є еквівалентними. Цифра 20% відбиває не справжню (ефективну), а номінальну ставку. Ефективної відсотковою ставкою в є значення 21,6%. У фінансових розрахунках номінальну складну відсоткову ставку прийнято позначати буквою j. Формула нарощення по складним відсоткам при нарахуванні їх m разів на рік має вигляд:

, (13).

Например позичка розміром 5 млн. рублів видана на 2 року у номінальною складної відсоткової ставці 35% річних з нарахуванням відсотків 2 разу ніяк. Майбутня сума до кінця терміну позички становитиме:

S = 5 * (1 + 0,35 / 2)^(2 * 2) = 9,531 млн. рублів.

При одноразовому нарахуванні її величина становила б лише 9,113 млн. рублів (5 * (1 + 0,35)^2, зате при щомісячному нарахуванні повертати довелося вже 9,968 млн. рублів (5 * 1 + (0,35 / 12)^(12 * 2)).

При нарахуванні антисипативных складних відсотків, номінальна облікову ставку позначається буквою f, а формула нарощення набуває вигляду:

(14).

Выражение 1 / (1 — f / m)^mn множник нарощення за номінальною облікової ставки.

Дисконтирование по складним відсоткам він може виконуватися двома шляхами — математичне дисконтирование і банківський облік. Останній менш вигідний для кредитора, ніж облік за простою облікової ставки, тому використовуються дуже рідко. Що стосується однократного нарахування відсотків його формула має вигляд:

, (15).

где (1 -d)n — дисконтний множник банківського обліку по складної облікової ставки.

при m > 1 отримуємо.

, (16).

где f — номінальна складна облікову ставку,.

(1 — f / m) mn — дисконтний множник банківського обліку по складної номінальною облікової ставки.

Значительно ширше поширення має математичне дисконтирование по складної відсоткової ставці і. Для m = 1 отримуємо.

, (17).

где 1 / (1 + i) n — дисконтний множник математичного дисконтування по складної відсоткової ставці.

При кількаразовому нарахуванні відсотків на протягом року формула математичного дисконтування набуває вигляду:

, (18).

где j -номінальна складна відсоткову ставку,.

1 / (1 + j / m) mn — дисконтний множник математичного дисконтування по складної номінальною відсоткової ставці.

Например, потрібно визначити сучасну вартість платежу у вигляді 3 млн. рублів, який має вступити через 1,5 року, відсоткову ставку становить 40%:

при m = 1 P = 3 / (1 + 0,4)^1,5 = 1,811 млн. рублів.

при m = 2 (нарахування 1 разів у півріччя) P = (3 / (1 + 0,4 / 2)^(2 * 1,5) = 1,736 млн. рублів.

при m = 12 (щомісячне нарахування) P = (3 / (1 + 0,4 / 12)^(12 * 1,5) = 1,663 млн. рублів.

По збільшення числа нарахувань відсотків на протягом року (m) проежуток часу між двома суміжними нарахуваннями зменшується — при m = 1 цей відтинок дорівнює 1 року, а при m = 12 — лише 1 місяцю. Теоретично, можна уявити ситуацію, коли нарахування складних відсотків виробляється настільки часто, що загальне його число на рік прагне бесконечнности, тоді величина проміжку між окремими нарахуваннями наближатиметься нанівець, тобто нарахування стане практично безперервним. Така здавалося б гіпотетична ситуація має важливого значення для фінансів України й при побудові складних аналітичних моделей (наприклад розробки масштабних інвестиційних проектів) часто застосовують безперервні відсотки. Безперервна відсоткову ставку (очевидно, що при безупинному нарахуванні можна говорити лише про складних відсотках) позначається буквою δ, (читається «дельта»), часто цей показник називають «сила зростання». Формула нарощення по безупинної відсоткової ставці має вигляд:

, (19).

где e — підставу натурального логарифма (≈,2,71 828…),.

edn — множник нарощення безперервних відсотків.

Например, чому дорівнюватиме через 3 року сума 250 тис. рублів, якщо покласти її на банківський депозит під 15% річних, нарахованих безупинно?

S = 250 * e^(0,15 * 3) = 392,1 тис. рублів.

Для безперервних відсотків немає різниці між відсоткової і облікової ставками — сила зростання універсальний показником. Проте, поруч із постійної силою зростання можна використовувати змінна відсоткову ставку, розмір якої змінюється по заданому закону (математичної функції). У цьому вся разі можна будувати досить потужні имитационные моделі, проте математичний апарат розрахунку таких моделей досить складний і у теперішньому посібнику, як і і нарахування відсотків з перемінної безупинної відсоткової ставці.

Непрерывное дисконтирование з допомогою постійної сили зростання виконується за такою формулою:

, (20).

где 1 / edn — дисконтний множник дисконтування за силою зростання.

Например, у результаті запровадження інвестиційного проекту планується отримати через 2 року прибутку 15 млн. рублів. Чому дорівнюватиме наведена вартість цих грошей до умовах сьогодення, якщо сила зростання становить 22% річних?

P = 15 / e^(0,22 * 2) = 9,66 млн. рублів.

Список литературы

Для підготовки даної праці були використані матеріали із сайту internet.