Числа у просторі

Числа в пространстве

Павел Полуян От автора:

На недавньої міжнародної математичної конференції «Багатомірний комплексний аналіз «(International Conference «Multidimensional Complex Analysis », Krasnoyarsk, Russia, August 5−10, 2002) я представив внепрограммный доповідь «Чи є гипердействительные вересня квантово-релятивистской всесвіту? «Доповідь був присвячений великої темі «Нестандартний аналіз некласичного руху », першому плані висувалися математичні і методологічні аспекти цієї проблеми, пов’язані з обгрунтуванням нестандартній моделі аналізу А. Робинсона і підвищення поля дійсних чисел.

Предлагаемая тут робота адресована насамперед фізикам, — математичні аспекти винесені за дужки, а фізичне зміст конкретизовано. Автор рекомендує заинтересовавшимся читачам звернутися до електронних версіям «Нестандартний аналіз некласичного руху. Чи є гипердействительные вересня квантово-релятивистской всесвіту? », «Час і хронометрика. Ареальные безлічі «, представлені на російською та англійською мовами з Інтернету (на сервері Красноярського державного університету internet і навіть на internet internet.

Пользуясь випадком, автор дякує математиків і фізиків, які висловили у розмовах і з e-mail свої критичні і конструктивні коментар до поставленої проблеме.

I. Перетворення 4-мерного простору-часу в квартернионное время-пространство.

Один з наукових текстів Вольфганга Паулі починається примітною фразою: «Введемо, звісно ж, речові координати Xk для простору й мниму координату X4 = iCt на час, і розглянемо перетворення Лоренца… «(В.Паулі. Праці з квантової теорії. М.: «Наука », 1977, у статті «До математичної теорії матриць Дірака », п. 5 «Перетворення Лоренца хвильових функцій Дірака », з. 233.). Словесний оборот «як зазвичай «можна розцінити як дотепної інтелектуальної провокації, подразумевающей, що зазначену процедуру можна зробити і «незвичним «шляхом. Як? Неважко сказати: спробуємо на час залишити речовинну координату, а 3 просторові координати уявімо як удавані. Тоді 4-мерный псевдоевклидовый континуум Минковского перетвориться на якесь незвичне розмаїття, яку ми далі називатимемо «квартернионное час-простір » .

Появление тут терміна «квартернион «зрозуміло: четвірку чисел, виражають координати, — одне речовинне і трьох мнимих — легко явити у ролі квартерниона. Проте квартернионы — це алгебраїчні числа, а 4-х мірне простір-час — це континуум. Якщо, це вони мають чи достатні підстави у тому, щоб ставити в відповідність? До цього питання ми повернемося трохи згодом, а поки розцінюватимемо квартернионное час-простір як певну суто логічний конструкцію, — таку можна розглянути загалом і проаналізувати у дрібницях. Принагідно зауважимо, що у сучасної науці термін «простір «не пов’язується однозначно тільки з мірою відстані, і ніщо корисно нам скласти 4-мерное псевдоевклидово простір індексу 3, де на кількох вісях відкладається міра в розмірності [t]. Але оскільки час — це фізичний параметр, який відбиває найважливіший аспект реальності, то нашій цій статті цікавитиме під час першого черга формально-математические властивості отриманої конструкції, та її фізична интерпретация.

То, що алгебра квартернионов некоммутативна — відразу ж потрапити викликає думку: отриманий в такий спосіб абстрактний об'єкт причетний безпосередньо до квантово-механическим особливостям фізичного світу. Але ми не станемо забігати наперед, розглядатимемо квартернионное час-простір таким чином, коли б ми нічого було невідомо про існування квантової механіки. Інакше кажучи, постараємося поки зберегти недоторканним класичні ставлення до перебігу часу й протяжності пространства.

Итак, маємо собі 4-мерное розмаїття, де речовинна вісь — чисте час, а через три інші - це просторові координати, перетворені на удавані тимчасові осі. При побудові 4-мерного псевдоевклидового континууму Минковского чотири координати були виражені лише у мері [x], що досягалося з допомогою множення тимчасової координати на коефіцієнт З — швидкість світла [м/с]. Тож у нашому квартернионном время-пространстве одноразмерность виходить аналогічним шляхом: удавані просторові координати мали бути зацікавленими помножені на якийсь коефіцієнт P. S з размерностью [с/м]. Можна було б сказати, що це «зворотна швидкість світла », але ці негаразд. Зворотний швидкість світла 1/C, як реальна фізична величина може бути потрібним коефіцієнтом, оскільки шкала зворотних швидкостей нерівномірна. У класичному поданні швидкість — цей показник, де у чисельнику відрізок відстані, а знаменнику період — часу, як незалежної перемінної. Тоді для «зворотної швидкості «, де чисельник і знаменник змінюються місцями, разом із зверненням розмірності і його нерівномірна шкала величин: 1[м/с]=1[с/м], 2[м/с]=½[с/м], 3[м/с]=1/3[с/м], 4[м/с]=¼[м/с] тощо. Складається враження, що у на цій причині квартернионное час-простір не то, можливо аналогом 4-мерного континууму. Проте вихід із безвиході легко знайти, окрім коефіцієнт P. S «зворотної швидкістю «- це просто якийсь коефіцієнт з размерностью [с/м].

Здесь ми їх від математики повинні звернутися до фізики. Якщо коефіцієнт З в псевдоевклидовом континуумі Минковского — це цілком конкретна фізична величина, швидкість світла, має у різних системах відліку конкретне чисельна значення, то нашому квартернионном время-пространстве коефіцієнт P. S також має бути іншим як певної фізичної величиною — константою, відмінній в суті своїй від швидкості світла, але має розмірність [с/м] - зворотний розмірності швидкості. На роль такий константи можна висунути комбінацію констант h/e2, де h — стала Планка, а e — заряд електрона. Відомо, що ця комбінація констант поруч із З входить у вираз безрозмірною постійної тонкої структури 1/a = ?C/e2 = 137,0306… (тут? — стала Планка, поділена на два «p «- h/2p). Гадаю, що так це і є: квартернионное час-простір — це математичне вираз реального аспекти микрофизической реальності, де константа S=h/e2 з размерностью [с/м] так само важлива, як важлива швидкість світла для глобального 4-мерного континууму Минковского.

Приняв цю трактування, ми цим перекидаємо логічний місток між квантової і релятивістської фізикою, виявляючи — поки що тільки формально-математически — глибоку зв’язок між глобальної просторово-часової картиною світу і микрофизической квантової реальністю. Отже, логічний сенс безрозмірною постійної тонкої структури виявляється у тому, що вона показує відповідність між континуумом Минковского і квартернионным время-пространством. Гадаю, що Вольфганг Паулі, який наполягав на теоретичному обгрунтуванні фізичного статусу цього загадкового числа 137,0306…, мав на оці щось подобное.

Однако формальних аргументів не досить. Ми повинні розкрити і фізичну суть виявленого відповідності, тобто зв’язок між граничной швидкістю прямолінійного поступального руху З і константою P. S, смисл якої доки зрозумілий. S=h/e2 — це комбінація емпіричних констант з размерностью [с/м], ми включили їх у якусь математичну структуру, але від рівня цього вона має сенс стане яснее.

В класичній фізиці швидкість є кількісної мірою поступального руху, пов’язує між собою просторові і тимчасові параметри руху як прямолінійного поступального переміщення. Якщо константа P. S включається нами в квартернионное час-простір, вона також має розумітись як вираз якогось аспекти руху, де просторові і тимчасові характеристики якось пов’язані між собою. Понад те, найважливішим властивістю континууму Минковского є перетворення Лоренца, що призводять до того що, що закон складання швидкостей під час переходу від однієї системи відліку в іншу дає граничне значення для прямолінійного поступального переміщення. Логічно припустити, що у квартернионном время-пространстве також виявиться аналог перетворень Лоренца, що дозволить трактувати константу P. S як інваріанту і краю в додаванні якихось величин. Так, по крайнього заходу, має виглядати залежить від двовимірному разі, де на кількох комплексної площині псевдоевклидовым чином зв’язуються одна тимчасова і жодна просторова осі. Для континууму Минковского мнимої буде тимчасова вісь — iCt, а квартернионного время-пространства — просторова iSx. У двовимірному разі справа полегшується тим, що ми залишаємо за рамками розгляду некоммутативность (з іншого боку, можна знайти, що некоммутативность зв’язана прямо з наявністю ще двох мнимих просторових координат).

Поскольку швидкість світла З — це некласична обмеження на максимальну швидкість (швидкість поширення сигналу на відстань може бути безкінечною), відповідно, константа P. S теж дозволяє відношенню ?t/?x приймати нескінченні значення. Проте P. S — це межа для «зворотної швидкості «, а збільшення ?t/?x одночасно означає зменшення відносини ?x/?t, що дозволяє припустити: «нульова швидкість «так само недосяжна, як і бесконечная.

Тем щонайменше, у разі спрощеного двумерного, комплексного уявлення квартернионного время-пространства, все-таки, поки що залишається незрозумілим: що з величини повинні тут складатися, і який у разі фізичний сенс «системи відліку »? На опікується цими питаннями нам тут і доведеться ответить.

Поскольку P. S — це своєрідний коефіцієнт пропорційності між мірою часу t[с] і мірою відстані x[м], то константа P. S як параметр висловлює якийсь аспект руху, але, бо поступального прямолінійного переміщення кількісної мірою є класичне поняття швидкості V[м/с] і його некласичний межа З, це нове константа P. S мусить бути некласичним межею якийсь цілком класичної заходи руху, яка тим щонайменше не є поступальним переміщенням. Ми припустимо, що шуканої формою руху є обертання. *.

* Є й микрофизические передумови, у тому, щоб пов’язати зазначену величину саме з обертанням. Приміром, у фізиці елементарних частинок експериментально визначено існування про изотопических перетворень, що цілком аналогічні звичайним вращениям. Вернер Гейзенберг, перераховуючи основні групи симетрії, поруч із групою Лоренца поміщає особливу групу — це «група, досліджена Паулі і Гюши, яка відповідає за своєю структурою групі тривимірних просторових обертань — вона їй ізоморфна, — і поводиться у появі квантового числа, яке емпірично було відкрито у елементарних частинок й отримало назву «изоспин ». («Квантова теорія й будову матерії «, в кн. В. Гейзенберг, «Та фізика і філософія. Частина і ціле. », М.: «Наука », 1990, з. 103.) У цьому, співвідношення, що з изотопической інваріантності дотримуються з точністю до поправок, величина яких визначається константою e2/?C. У навчальної літературі відзначається, що «изотопическая инвариантность означає особливу симетрію сильних взаємодій, не пов’язану зі спільними властивостями простору й часу. Хоча изотопическая инвариантность досить добре встановлено експериментально, пов’язані з ним властивості симетрії логічно не випливають із існуючої теорії і природа цих властивостей симетрії доки вияснена ». («Изотопический спін », в кн. «Фізичний енциклопедичний словник », М., 1962, т. 2, з. 143.).

II. Обертання ніж формою руху, нередуцируемая до прямолинейному.

Итак, нам здається, що специфічної формою руху, що у квартернионном время-пространстве поводитиметься аналогічно звичайній поступальної швидкості, є обертання. У принципі так, інших варіантів ми просто немає, адже ми досліджуємо рух як певна ставлення між тимчасовим і просторовим вимірами, яких стосунків може бути лише 2: x/t і t/x. Отже, ми ставимо двояку завдання: показати, що обертання — це фундаментальна форма руху, рівноправна прямолінійною поступальним, І що кількісної мірою його [с/м].

В математиці ПОВОРОТ у просторі так само фундаментальна операція як паралельний перенесення. Доречно тут згадати Анрі Пуанкаре, який на наявність «прихованої аксіоми », що замаскована серед аксіом Евкліда як постулату про промальовуванню окружності циркулем. (А.Пуанкаре, «Про науці «, М.: «Наука », 1983.) Те, що поворачиваемая полупрямая рано чи пізно збігається з своїм продовженням логічно не пов’язані з аксіомами про статичних точках й немає прямих, Анрі Пуанкаре показує, що усунення цієї «аксіоми «може спричинить екзотичним теориям.

Тем щонайменше, реальний світ влаштований тож і евклидовы і неевклидовы геометрії спираються цей «емпіричний факт », який, як відомо, виявляється у конкретному ірраціональному числі p. (Кажучи образно, число p є своєрідним феноменологічної квантової константою, яка «чомусь «виникає у геометрії - в доти чисто теоретичному конструктивному построении.).

В той час у «класичній механіці обертання — це щось вторинне стосовно до прямолінійному поступальному руху, тобто обертання (рух щодо замкнутої траєкторії) редукується до нескінченно малим прямолінійним переміщенням, тому швидкість обертання традиційно вимірюється у тій самої мері [м/с], яка виражається і кількість оборотів за секунду. У цьому ЧАС аксіоматично береться як незалежної перемінної, хід часу у повному злагоді із ньютоновским визначенням — рівномірно і неминуче кує секунди (в заданої системі отсчета).

Так обертання стандартним чином трактується як щось, що легко можна зводити до загальним поняттям про прямолінійному переміщенні, причому редукція виглядає природно, і логічно несуперечливо. Цього було теоретичних і практичних потреб, проте розвиток некласичної фізики поставило нове завдання: коли ми в квантової механіці використовуємо феноменологически запроваджені параметри, такі як спін, цілком логічно було б знайти їм підстави у вихідних принципах класичної науки.

Такие підстави есть.

Рассмотрим сенс понятійного розрізнення інерціальних і неинерциальных систем. Зрозуміло, що обертова система — неинерциальна, відповідно, був би безглуздим визначення параметрів що просувалася инерциальной системи з відношення до обертовою. Тому ми будуємо шкалу відносних поступальних швидкостей, розглядаючи безліч виключно інерціальних систем. З іншого боку, обертання традиційно розуміють як щось, що визначно лише до яка покоїться системі, тобто до инерциальной. Інакше кажучи: инерциальная система НЕ ОБЕРТАЄТЬСЯ, оскільки як б очевидно, що ОБЕРТОВУ систему слід визначати стосовно ній. Але коли ми чинимо ТАК, то нічого немає дивного, у результаті математичних викладок ми маємо вже заздалегідь закладений передумови висновок: обертання редукується до нескінченно малим прямолінійним переміщенням. Відштовхуючись від розуміння не обертовою системи, можна вивести багато цікавого, але тільки поняття вращение.

Давайте, уточнимо — який хід думок, що призводить до стандартним висновків. Розглядається безліч обертових систем («коліс »), осі яких вмостилися вздовж однієї прямий. Припустимо, що у одиницю часу вони роблять якесь кратну число оборотів, а розташуємо так, що з двох сусідніх «коліс «число оборотів відрізняється на одиницю. Тоді можна взяти одна з «коліс «за нерухому систему відліку, — у обидва боки від цього розподіляться обертові системи, напрями обертань які мають протилежні, а перехід від «колеса» до «колесу» до кожної зі сторін буде спричинить рівномірному зміни їх швидкості обертання щодо обраної яка покоїться системи відліку. Зрозуміло, також, що ролі системи відліку брати будь-який з «коліс» — відносини з-поміж них сохраняются.

Здесь представлений весь поняттєвий набір, використовуваний визначення поступального (не обертального) руху: єдине час як не залежна змінна, швидкість точки в [м/с] (навкруг 1 оборот одиницю часу), довільний вибір системи відліку, необмежене зростання швидкостей щодо обраної.

.

Рис. 1.

Эта методологія аналізу як така виглядала логічною, єдина непослідовність — це використання инерциальной системи відліку для визначення неинерциального руху. Адже мислячи послідовно, то відносність обертання мала б виводитися з порівняння виключно таких систем, які самі мають ОБЕРТАННЯМ,, аналогічно як відносність поступальних прямолінійних швидкостей виводиться з порівняння інерціальних систем, — виявляється просто ЗМІНОЮ ВІДСТАНІ У ОДИНИЦЮ ЧАСУ. Проте він менш, класичний стандартний висновок не приводив до практичним помилок, теоретично був осмислений з допомогою залучення динамічних причин — прямолінійна траєкторія руху матеріальної точки викривляється зовнішньої силою, а обертання як такий представлено сумою нескінченно малих прямолінійних перемещений.

Поэтому напрошуються заперечення і виникають законні питання: чи є взагалі сенс казати про ОБЕРТАННІ ЯК ТАКОМУ? Адже «річ цілком очевидна »: лише що описаний класичний підхід — єдиний можливий у разі! Якщо навіть кінематика поступального руху не вимагає динаміки, випливає з цього, які можна описати обертання «саме собою «- тільки із кінематичних представлений?

Тем щонайменше, спробуємо це. Тим паче, що у некласичної релятивістської фізиці поняття сили вже замінено просторово-тимчасовими отношениями.

Условие завдання таке: ми повинні визначити обертання без залучення поняття нерухомій инерциальной системи відліку, щодо якої обертання вводиться стандартним образом.

Предлагаемый тут підхід здавалося б виглядає досить дивно — як можна говорити про обертанні, якщо ні абсолютної системи відліку — яка покоїться системи, щодо якої воно здійснюється? Гадаю, що наша підхід трохи більше абсурдний, ніж уявлення про поступальному русі, котрій виключений нерухомий фон. Гадаю, що звикнутися з новими визначенням обертання буде складніше, ніж відмовитися від світового эфира.

Выберем в основі обертову систему, яка ОБЕРТАЄТЬСЯ щодо інший системи відліку, що також ОБЕРТАЄТЬСЯ. Ми, як було зазначено, не маємо права як би там не було вводити особливу систему, що має обертання відсутня. У цьому, ми маємо як поняття абсолютного простору, але немає й абсолютної часу, єдиного всім таких систем. Тобто ми можемо вже заздалегідь думати число обертів за секунду. Відповідно: чи є параметр t незалежної перемінної - це ще проблематично. Понад те, проблема ця виявляється складніша, ніж для випадку прямолінійного движения.

Суть у тому, що у класичної механіці уявлення про перебіг часу вводилося апріорі, оскільки наявність періодичних процесів, дозволяють визначати хід слідства, всім була очевидною. Ісаак Ньютон у своїй визначенні абсолютного часу легко абстрагувався від конкретних періодичних процесів і ввів хід часу, як такою, — котрі мають допомогою періодичних процесів можуть лише фіксувати його з тим чи іншого ступенем точності. Ця обставина потім дозволило Альберту Ейнштейну відкинути абстракцію абсолютного часу на підставі, що час без вимірювання просто більше не мислиме. Еталоном для виміру часу виявився інваріант швидкості світла — цілком конкретної швидкості, яка має особливим інваріантним властивістю. Істотно те, що З — це саме поступальна прямолінійна скорость.

Однако за умов нашої завдання немає підходящого конкретного еталона, зате є періодичний процес як такої, адже обертання — це модель будь-якого періодичного процесу. Тобто обертання САМО ПО СОБІ - це періодичний процес у чистому вигляді, причому мірою її даної системи відліку вже є задана, стала одиниця простору — довжина траєкторії обертання, окружності, радиуса.

Теперь уявімо безліч однакових обертових систем («коліс »), які характеризуються однаковими заходами [м], осі яких розміщені на прямий, перпендикулярно до неї. Наше розгляд суто класичне, адже хочемо вивести класичну характеристику обертання (що її в некласичне разі псевдоевклидовой площині виявиться як гранична константа P. S), тому немає нічого надзвичайного, що захід відстані буде спільної всіх систем (радіус «колеса »). Це в нашому випадку відіграватиме таку ж роль, як і час для безлічі інерціальних систем. «Одночасність «тут виступати, як «синхронізація «- становище, коли радіуси «коліс «лежать на загальної прямий, через точки якій відбуваються оси.

Вот це безліч обертових систем, розташованих на прямий тож усе вони крутяться одночасно — тобто їх радіуси лягають в одну пряму одночасно («складання «прямий з одиничних відрізків — і є «одночасність »). Абсолютно усі вони обертаються, але поки ми поспіль не можемо визначити частоту їх обертання, оскільки НЕМАЄ ЗАХОДИ ЧАСУ, щодо якої було поставити частоту. Інакше кажучи, з традиційною точки зору обертове «колесо », обраний за систему відліку, може мати будь-яку швидкість обертання, зате щодо обраної обертання інший то, можливо суворо визначений. Зрозуміло, що припустимою залишиться зворотна операція: визначення обертання системи відліку щодо тієї, чиє обертання вимірювалося первоначально.

.

Рис. 2.

Мы хіба що відзначили, що в моделі немає заходи часу. Зате є інша міра — один повний обіг та довжина одиничного радіуса, який цю оборот робить. Зафіксувати оборот системі відліку не буде важко: адже одна система може визначати свій власний обертання щодо інший. нехай у обраної моделі моментом відліку для деякою обертовою системи є мить синхронізації, коли «збігаються «(«сходяться », «лежать навпаки одне одного », «мітяться однієї оцінкою «і т.п.) точки закінчення радіусів сусідніх із ній «коліс », вони виявилися на базової прямий. Якщо обертання продовжиться, ці точки рано чи пізно знову повинні збігатися. (Вислів «рано чи пізно «показує, що жоден певної частоти обертання [обертів в секунду] - наперед поставити не вправі, задається лише необхідність майбутнього совпадения.).

Первое ж збіг «міток », що буде зафіксовано у обраної системі відліку, означає, що систему зробила один оборот. Такий поворот означає: «пройдено міра відстані «. Для системи відліку і є її період. Байдуже, що сусідня система у цей час могла зробити як завгодно багато оборотів, важливо, що «мітки «збіглися — тобто радіус системи відліку знову лежить базової прямий. Тепер кількістю цих оборотів можна вимірювати і обертання будь-який інший системі. Легко усвідомити, що у цій моделі незалежної перемінної є число оборотів: «метри накручуються «цілком як і неминуче і постійно, як течуть секунди часу у класичної моделі поступального руху. Тепер у системі відліку легко вимірювати швидкість обертання будь-який інший системи обертання: досить вважати число оборотів, зроблених на наших «годиннику «(система відліку — «срелка» і сусідня, обрана за «циферблат») доти, як з вимірюваною системою відліку виник момент синхронізації. Ця кількість оборотів буде кількістю доларів часу — умовних секунд, адже часу, класичного, поточного саме собою, але немає. Маю тільки відлік оборотів власної стрілки — обертовою системи, зробила один свій власний оборот, дійшовши до позначки на циферблаті - на сусідньому «колесі «. Так йде «накручування «умовних метрів — довжини окружності, постійної в даної системи для заданого радіуса (Не випадково називаємо обертову систему «колесо », оскільки визначення обертання тут то, можливо лише локальным.).

Казалось б, ми можемо злічити, що мітка, з якою настало збіг — це мітка на колесі, яке «насправді «спочиває, тобто його радіус все час збігаються з базової прямий. Але, досить нам це припустити, як схема руйнується: тоді ж все наше базова пряма, утворена збігаються радіусами, повинна обертатися навколо такого «спочиваючого колеса «- разом з усіма лежать у ньому «колесами «і банківською системою відліку в додачу! Инерциальной системі з нашого моделі місця немає, сама базова пряма — це загальна всім нерухома система відліку, а щось виникає з умови «синхронізації «(аналогічно у «класичній моделі поступального руху з’являється загальна, єдина всім інерціальних систем вісь абсолютного часу). Отже нам, справді, вдалося позбутися інерціальних (не обертових) систем, вдалося віднайти модель, коли випадає розглядати обертання лише стосовно обертань. Так з’ясовується, що у класичної стандартної моделі насправді порівнювалися не обертання, а миттєві швидкості точок кінців радіусів, кожна з яких вже заздалегідь задавалася як прямолінійна поступальна, щодо спільної них нерухомій системи отсчета.

Таким чином, у тому, щоб було порівнювати між собою ТІЛЬКИ ЯКІ ПРАЦЮЮТЬ системи, ми повинні розташовувати їх вісях обертання перпендикулярних до базової прямий, з якою збігаються обертові радіуси. У іншому разі, вимірюючи відносне обертання, ми завжди муситимемо вважати систему відліку инерциальной, а результаті отримувати визначення миттєвою поступальної швидкості. Якщо ми фізиці хочемо проводити чітке різницю між инерциальными і обертовими системами відліку, інший схеми порівнювати обертань, ніж хіба що запропонована, не можна придумати. Понад те, стандартна схема, де можна вводити спокій обертовою системи відліку, непридатна ще й тому, що у ній хід часу — базовий періодичний процес — вводиться аксіоматично. Мовчазно передбачається, що цей процес не входить у безліч аналізованих обертань. Легко здогадатися, що така базовий періодичний процесс-вращение — це важливий елемент того ортогонального безлічі обертань, яке ми сьогодні рассматриваем.

Что ж ми матимемо, тоді як нашого уявної експерименту будуватимемо шкалу відносних обертань? Ми повинні прийти на висновках, що одиницю часу, отсчитываемую «часами-колесом », треба визначати, з того — скільки вже разів було зафіксоване збіг точок на годиннику. Чим більший оборотів буде зазначено за нашими «годинах «досі, коли збіг станеться — тим великої ваги для швидкості обертання буде зафиксировано.

Допустим, що на момент фіксації збіги міток з що вимірюється колесом було отсчитано N оборотів «власного часу », тоді измеряемому колесу буде приписана міра обертання в N секунд за оборот. Якщо згадати, що оборот — це «накручування метрів », то мірою виміру швидкості обертання стане [с/м]. Що буде відбуватися, під час переходу від однієї системи відліку до інший? Тепер «годинами «для нової виборчої системи відліку стає та, яка була системою відліку. Так само, як у класичній моделі визначення прямолінійних поступальних швидкостей здійснюється перехід із системи відліку до системи, чия швидкість измеряется.

.

Рис. 3.

Легко вважати, яким чином складатися обертання. Припустимо, для простоти, що систему відліку B зафіксувала збіг «міток «з вимірюваною системою З протягом двох власних обороту, за 2 умовні секунди, — тоді вимірюваною системі приписана швидкість 2[с/м]. Щоразу, по «годинах «відраховується два обороту, як яка вимірюється система зробить один. (Образно висловлюючись, довжина «діб «системи З — один її оборот — це 2 обороту стрілки на наших годиннику, де системи A і B — це циферблат і годинна стрілка. Зрозуміло, чому люди вимірюють час Землі саме ТАК.).

Теперь нехай яка вимірюється система, стала нової системою відліку, так само зафіксує ті ж самі швидкість обертання нової системи D. Але це, що в початкової системі відліку B швидкість цієї останньої буде виміряти вже як 4 обороту до першого збіги міток! Тобто 2[с/м]+2[с/м]=4[с/м] - в повній відповідності до арифметичним законом складання швидкостей. Фокус у цьому, що власна умовна секунда у системі З вимірюється стосовно B, яка, звісно, доти збіги вже встигла дійти одного висновку власний оборот. Однак у такому «фокусі «немає нічого надзвичайного, адже ніякого абсолютного часу немає, є лише власні обертів — умовні секунди — які виникають через визначення збігів міток системи відліку з знаками тієї, щодо якої почався відлік оборотов.

А тепер відзначимо головну особливість нашої моделі. Якщо ми будуємо відносність обертань за аналогією з относительностью для поступального руху, ми повинні припустити, дві системи обертання, A і B, які порівнювалися спочатку, повинні приписати одна одній рівні швидкості обертання. Але випускаємо ми цього начебто немає: говоримо лише про збігу міток, що дозволяє системі B зафіксувати свій повний оборот. Якщо мислити за аналогією, B повинна тоді приписати системі A також лише одне оборот, але ми ніколи почали із те, що заявили: цю систему A може «насправді «зробити й більше число, головне — щоб мітки збіглися. З іншого боку, читач, напевно, вже звернув увагу, що вимірюваною системі відразу приписав швидкість 2[с/м], але, якщо мислити за аналогією, ми мала б розглянути системи A, B і З, те щоб обертання A і З щодо центральної системи відліку B були поодинокі і рівні між собой.

Вспомним, як ми вимірюємо відносні швидкості для поступального руху: якщо швидкість точки B щодо системи відліку A задається одиничної, а системі B є точка З, рушійна з одиничної швидкістю, то симетрія така, що щодо точки B швидкості A і З равны.

A · B· · З ®.

Рис. 4.

Да, вони рівні по модулю, але ПРОТИЛЕЖНО СПРЯМОВАНІ. Тоді аналогом цього симетричного випадку з нашого моделі стане наступна ситуация:

.

Рис. 5.

Относительно обертовою системи B обертальні швидкості систем A і З будуть поодинокі, але протилежно спрямовані: адже синхронність збігів міток не свідчить про спрямованості обертання! Виникає проблема: нехай у A і З швидкості протилежно спрямовані, але у що ж бік тоді крутиться «колесо «B? Питання надзвичайно цікавий. Виходить, що «колесу «можна приписати обертання у бік! Це нашу модель повністю аналогічної класичною схемою відносності поступального руху. У класичною схемою системі відліку приписувався спокій — нуль поступальної швидкості. Нульова швидкість саме собою, безвідносно чого або. Аналогом цього «абсолютного самого собою спокою «з нашого моделі виявляється невизначеність напрями обертання. Саме невизначеність, адже визначеність настає тільки тоді ми, коли вводиться четверта система обертання D, тепер до виконання правила арифметичного складання швидкостей обертання система B матиме напрям обертання ж бік, як і З і D. Легко переконатися, що ця невизначеність виникатиме щоразу, коли ми переходимо на нову систему отсчета.

Смысл такий невизначеності легко зрозуміти: система ОБЕРТАЄТЬСЯ, але напрями обертань змінюються залежно від задаваемой системи відносин. Так само для інерціальних систем змінюються місцями політичний спочинок і рух, залежно від цього, що вважається системою отсчета.)*.

Например, у разі, коли швидкості З (щодо B) і D (щодо З) визначаються по модулю як 2[с/м], перехід із системи B до системи З призводить до з того що швидкість B щодо З також стане рівної 2[м/с], але з відношенню до D протилежно спрямованої. Проте, адже раніше ми спокійно ставили спрямованість обертання З (ж бік, як і D), нині її напрям обертання виявляється невизначеним. Гадаю, такі висновки зовсім на свідчить про порочність і суперечливості аналізованої моделі, навпаки вони вказують, як у базі цілком класичних уявлень ми бачимо підстави для уявлень, які у некласичної фізиці. (А класична інтерпретація то, можливо, зокрема, пов’язані з поданням систем Проте й З в ролі перетинів тору, який загалом випадку бути обертовим. У зв’язку з цим, нагадаю, що ми тут розглядаємо плаский случай.).

Осталось сказати трохи. Як ясно, під час переходу від однієї системи відліку в іншу йде арифметичне складання величини [с/м] - величини швидкості, певної для обертання, понятого як фундаментальної форми руху, — іде у бік збільшення, тобто прямує до нескінченності. Так само і поступательные швидкості [м/с] у «класичній механіці може бути необмежено увеличиваемы числом переходів від однієї системи до подальшої. Проте з змісту ТАК ВИТЛУМАЧЕНОЇ швидкості обертання, збільшення кількості [с/м] - це зменшення числа оборотів, тобто ніщо інше, як уповільнення обертання. Якщо класична кінематика поступального руху на сучасної фізиці замінена релятивістської, де значення швидкості прямолінійного поширення сигналу виявилося обмежено верхнім межею З, то наша модель дозволяє так само послідовно запровадити псевдоевклидовый континуум, де з’являється константа P. S з размерностью [с/м], яка обмежує можливе уповільнення швидкості обертання. Перефразовуючи вищенаведені слова Вольфганга Паулі, можна сказати: «Введемо, звісно ж, речовинну координату t0 на час і незвичні удавані координати t1=iSx1, t2=jSx2 t3=kSx3 для вимірів простору, і розглянемо перетворення які скидаються перетворення Лоренца… «.

* Цікаво зазначити, що Дж.В.Нарликр теоретично конформной гравітації, розглядаючи на абсолютно порожній всесвіту самотню матеріальну точку (то є, нею немає системи відліку), дійшов висновку, що неї руху — це нуль швидкості, а невизначеність. (Дж.В.Нарликар, «Інерція і космологія теоретично відносності «, в рб. «Астрофізика, кванти і теорія відносності «, М.: «Світ », 1982, з. 504. Це збірник статей століттю А. Эйнштейна, випущений Італії - «Astrofisica e cosmologia, gravitazione, quanti e relativita », Firenze, 1979.).

III. Безперервний континуум і числові многообразия

В квартернионном время-пространстве з’являється властивість некоммутативности. Це змушує замислитися: а чи є отримана математична структура тим, що ми звичайно називаємо континуумом? Адже перед нами алгебра, а чи не геометрия.

Хочу нагадати, що ще у дев’ятнадцятому столітті Вільям Гамільтон сформулював перспективну завдання: є геометрія як наука про порожньому просторі, то — просто аналогії - можна якусь науку про «чистому часу ». Більше цього він припустив, що алгебра — і є така наука, просто ми вловлюємо у ній приховану тимчасову специфіку, не розуміємо — як НА САМІСІНЬКОМУ ДІЛІ в алгебраїчних рівняннях втілюються внутрішні властивості ЧАСУ. Відкриття некоммутативной алгебри Гамільтоном в результаті його спроб змоделювати час у «Теорії алгебраїчних пар чисел », і залишається лише дивуватися інтуїції цього великого математика.

Тем щонайменше, перехід від безупинної континуальности до рядів чисел виглядає проблематично. Тут підспудно є і якась філософська пара-догма: якщо геометричні відносини сприймають як щось об'єктивно заданий метрикою навколишнього Універсума, то числа трактуються як продукт нашого розуму, схильного до абстракціям і комбінаториці. (По відомому афоризму Л. Кронекера: «Натуральні числа створив Бог, інші ж — справа рук людських » .) Якщо фізиків квантова переривчастість обгрунтована посиланнями на результати експериментів, то тут для математики ніяких «числових квантів «немає - будь-яка значуща величина нескінченно ділена. Числова дискретність розчиняється в безперервності, нескінченно мале звертається в нуль.

Странная ситуація: класичний математичний аналіз формувався з урахуванням класичної механіки, у сучасній фізиці така вже справа минулого, проте ми ще будуємо математичні моделі з урахуванням уявлень стандартного математичного аналізу та стандартного розуміння предела.

Ричард Фейнман у своїй книжці «Характер фізичних законів «пише: «Теорія, за якою простір безупинно, як на мене зрадливої, вона призводить до нескінченно великим величинам та інших труднощам. З іншого боку, вона дає відповіді питання, ніж визначаються розміри всіх частинок. Я сильно підозрюю, що прості уявлення геометрії, розповсюджені дуже маленькі ділянки простору, неправильні. «(Richard Feynman, The Character of Physical Law. Російський переклад: Р.Фейнман. Характер фізичних законів. М.: «Світ », 1968, з. 184.).

А он яке примітна судження висловлено у відомій книзі Д. Гильберта і П. Барнайся: «Насправді ми зовсім не від зобов’язані вважати, що математичне просторово-часове уявлення про рух є фізично осмисленим й у випадках довільно малих просторових і тимчасових інтервалів. Понад те, маємо всі підстави вважати, що, прагнучи поводитися з досить простими поняттями, ця математична модель екстраполює факти, узяті з певній галузі досвіду, саме в галузі рухів у межах того порядку величин, який ще доступний нашому спостереженню… Приблизно так, як із необмеженому просторовому роздрібненні вода перестає бути водою, при необмеженому роздрібненні руху також виникає щось таке, що чи може бути охарактеризоване як рух «(Гільберт Д., Барнайс П., «Підстави математики. Логічні обчислення і формалізація арифметики », М., «Наука », 1979, з. 41.).

Прошу вибачення на таку велике цитування, воно знадобилося, аби окреслити передумови важливою проблемы:

1. Існує принципове розходження між сучасними фізичними уявлення про рух і класичними поняттями анализа.

2. Припустима думка про «математичну модель », підходить описи мікро руху на межах «недоступного спостереженню порядку величин » .

Однако — НА САМІСІНЬКОМУ ДІЛІ - мова потрібно поводитися щодо МОДЕЛІ, і про ПОБУДОВІ. Йдеться тому, щоб всередині самої логіки класичної математики знайти підстави для її подальшого розвитку теории.

Сейчас прийнята ідеологія, яку можна назвати модельним конструктивізмом: математика сприймається як постачальник абстрактних конструкцій для теоретичного моделювання результатів фізичних спостережень. Як сказав Бертран Рассел: «Математична концепція дає абстрактну логічний схему, під яку можна підігнати підходящими маніпуляціями емпіричний матеріал… «(Б.Рассел «Введення ЄІАС у математичну філософію », М.: «Гнозис », 1996.с. 101). Тепер математика — це мову Логосу, Об'єктивного Духа, а символічна мова науки для описи реальності. Відповідно до цьому, конструюються дедалі більш абстрактні схеми, математичні концепції фізиків-теоретиків йдуть віддаляються і далі від очевидною зрозумілості, властивої «математичним початкам натуральної філософії «. Складається враження, що абстрактні об'єкти виступають на ролі допотопних слонів і черепах, з допомогою яких древні «моделювали «Вселенную…

Но реальне розвиток науки йде інакше — назвав би був цей шлях ЛОГОГЕНЕЗОМ. Тобто нові сутності «не измышляются », а природною логіці теорії знаходяться підстави, здатні розвинутися до повноцінного математичну науку, яка претендує на ІСТИННІСТЬ. Якщо цей філософський підхід, слід можу погодитися з Фейнманом — класичний аналіз НЕ ВІДПОВІДАЄ РЕАЛЬНОСТІ, але не оскільки він хибний, тому, що у підставах доки виявлено логічні можливості, дозволяють привести математичну теорію в відповідність до фізичними данными.

Однако чи можна перекинути логічний місток між континуумом і кількістю? Автор не є професійним математиком, не стверджує, що класичний аналіз, створений Ньютоном і Лейбніцем, необхідно доповнити нестандартним аналізом, у якому використовуються гипердействительные актуально нескінченно малі числа. Логічний правомірність нестандартній моделі аналізу засвідчив у 60-ті роки уже минулого століття Абрахам Робінсон, але досі залишається питання: «Чи є гипердействительные вересня квантово-релятивистской всесвіту? «Інакше кажучи, можемо ми розширювати полі дійсних чисел лише оскільки придумали нові абстрактні об'єкти, чи треба пошукати для цього якісь предметні основания?

Мы хіба що розглянули квартернионное час-простір, що становить додаткову пару зі звичайним 4-мерным псевдоевклидовым континуумом Минковского. Ми як безрозмірна одиниця стає коефіцієнтом пропорційності, що зв’язують речовинну і мниму осі, як розщеплюється на дві розмірні константи, — проте математичний статус такого розщеплення залишається цілком незрозумілим. Чи є це відбитком властивостей Унивесума чи це тільки особливість довільного формального построения?

Произошла дивна річ: звичайна числова вісь нами стандартно мислиться чимось, де на кількох одному кінці нуль, але в іншому — нескінченність. Десь «біля «нуля маячить одиниця. Тепер раптом одиниця якось розсунулася, звільнивши місце для розмірних величин, у своїй нескінченність і нуль зімкнулися. Останнє слід пояснить.

Для фіксації руху ми можемо використати лише 2 фундаментальних параметра — одиниці часу t[с] та простору x[м]. У цьому очевидно, що й ставлення має точне кількісне вираження у будь-якому разі: коли ми співвідносимо x/t чи t/x. Стандартне визначення спокою — це 0[м/с], але водночас і ?[с/м], які зазвичай до уваги береться через незрозумілості і непотрібності такого кількісного висловлювання. Проте ще Готфрід Ляйбніц під час створення математичного аналізу неодноразово розмірковував з цього питанням. Він: «Спочинок може розглядатися як нескінченно мала швидкість чи як нескінченно велика повільність «(Г.В.Лейбниц. Твори з чотирьох томів. Т. 1. М.: «Думка «з. 205. Див. також т. 3, з. 199.).

У Лейбніца є ще один характерний міркування: він ототожнює нульову швидкість руху навкруг з безкінечною швидкістю, коли «кожна точка окружності повинна завжди перебувати у тому ж місці «(Саме там: Т. 3, з. 290). Тобто логічно ототожнюються як 0[м/с] і ?[с/м] (відповідно ?[м/с] і 0[с/м]), але й 0[с/м] і ?[с/м] при циклічний русі. Тобто шкала величин, де лежать значення швидкості обертань опиняється немовби замкнутой.

Другая особливість: ми будували модель відносних обертань, було зазначено, що реальна частота обертання може бути задана, вимірюється тільки відносне число оборотів, — але давайте тоді така «реальна частота «може бути будь-якою, як завгодно великий. Не простіше було б відразу розпочати з реальною одиничної частоти до одного оборот?

Синхронизация обертових систем виникала, коли всі обертові радіуси лягали однією базову пряму. Легко зрозуміти, що ми можемо приписувати обраної системі відліку обертання абсолютну частоту до одного оборот: тоді зменшення швидкості обертання щодо неї означає неможливість радіуса збігтися з базовою прямий. Інакше кажучи, зменшення частоти оборотів ми повинні відраховувати від нескінченності! Виходить, що говоримо тут про вирахуванні одиниць із ?. Тоді -1 постає маємо непросто як «щось вліво від нуля », а як одиниця, яку забрали від нескінченного множества…

Впрочем, філософствувати тут можна довго, а найпростіший вихід із цієї теоретичної ситуації такий: можна припустити, що числа та його алгебраїчні співвідношення — це буде непросто символічна мова для описи просторових відносин, що виникає через запровадження умовних заходів і уявних операцій з них, а настільки ж фундаментальна об'єктивна сутність, як і саме простір — протяжний континуум. Числа існують не тому що ми їх придумали для упорядкування даних досвіду, тому, що ми їх ВІДКРИЛИ — як і відкрили у свого часу на геометричній площині найпростіші співвідношень між точками і прямыми.

В висновок своєї статті я опишу математичний об'єкт, у якому втілюється то, навколо чого накручується ця проблематика.

Если ми на числової прямий відзначатимемо точки, відповідні ряду Фібоначчі, де кожне наступне є сумою попередніх (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 …), то межі - при устремлінні до області дедалі більших і великих чисел — ставлення «двох останніх «чисел Фібоначчі, як відомо, дає j. Це знамените ірраціональне число 1,61 803…, який задає «золоту пропорцію «- перетин, у якому менший відрізок належить більшого, як більший до сумі. Можна заявити, що рухаючись так «кроками чисел Фібоначчі» по числової прямий ми отримуємо в трансфинитной області актуально нескінченно великі «відтинки », ставлення між якими виражається ірраціональним числом j.

И навпаки, за бік зменшення довжин побудувати «в масштабах «ряд відрізків, відповідних «золотого перерізу » :

.

Рис. 6.

Поскольку ставлення більшого відрізка до сусіднього меншому = 1,6… (тобто більше одиниці), їхня загальна довжина убік зменшення матиме на прямий цілком певну граничну точку закінчення. У його околиці і буде «скучиваться «дедалі менші відтинки, які - у повній відповідності з безкінечною делимостью безперервного континууму — будь-коли перестануть ділитися. У цьому вся побудові гранична точка ніколи й нічого очікувати досягнуто, однак стверджувати, що у цій актуально нескінченно малої околиці біля граничною точки відбувається дивовижна річ: замість безперервного континууму утворюються ЧИСЛА, які йти до граничною точці як дедалі менші числа Фібоначчі. Позаяк ряд Фібоначчі починається 1, 1, 2, 3…, то ці числа (й формує відповідні їм актуально нескінченно малі гипердействительные довжини) благополучно надійдуть у точку предела.

Очевидно, тут граничний перехід розуміється дещо інакше, ніж у класичному аналізі. Але головне — ми залишаємося таки вступив у рамках теоретичних уявлень, ми измышляем абстракції, а й просто розширюємо кордону те, що вважається у математиці допустимым.

Заключение

Квартернионное час-простір перестав бути довільним формально-математическим побудовою, яке автор придумав, щоб поговорити абстрактні теми. Зміна сигнатури метрики простору-часу (—-+ замість ++±) використовує, наприклад, вищезгадана Дж.В.Нарликар, щоб довести в конформно-инвариантной теорії гравітації позитивний знак константи зв’язку ?=8pG/C4 (G — гравітаційна стала), і з погляду багатовимірного комплексного аналізу ідеться передусім про лише про 4-х мірних псевдоевклидовых континуумах індексів 1 і трьох.

Самым істотним моментом моєї роботи є підставою спроба об'єднання числового і просторового аспектів 4-мерного різноманіття на єдиній Универсуме. У статті немає математичних викладок, — зараз важливо зміна погляду, дивлячись з якої ми можемо зібрати потім у нової судової системи відомі вже формальні символи. Перш ніж писати рівняння, треба уявити — що хочемо ними висловити. Важко уявити квартернионное час-простір — якесь вмістилище, «наповнений «не геометричними точками, а вращательными моментами. Вигадливо виглядають фрактально-броуновские метання точки, яка має рухатися по безупинної траєкторії, «наштовхуючись «до кожної мить часу на обертальний момент. Константа P. S, визначальна мінімальний межа dt/dx, повинна, при формальному об'єднанні парних 4-мерных різноманіть, якимось чином через граничний 0-? перехід перетворюватися на З. Адже З — це швидкість електромагнітних хвиль, отже йдеться якесь конкретному фізичному процесі. Інакше кажучи, автор нині лише загалом представляти, яких результатам призведе розвиток запропонованого подхода…

Вводя квант дії h, Макс Планк трагічно переживав, що доводиться модифікувати формули з посиланнями експеримент. Можливо його переживання були небезпідставні, і квантування можна вивести теоретично — з логічних підстав? Гадаю, що справи у такий спосіб. Думка Альберта Ейнштейна у тому, що пристрій реального світу можна було зрозуміти суто математичним шляхом не здається мені надмірно смелой.

Список литературы

Для підготовки даної праці були використані матеріали із сайту internet.