Основні методи інтегрування

Основні методи інтегрування

1. Таблиця основних інтегралів

метод інтегрування функція Щоб успішно застосовувати інтегральне числення під час розв’язування задач, необхідно насамперед оволодіти технікою знаходження невизначених інтегралів від елементарних функцій. Одним з основних моментів успішного оволодіння технікою інтегрування елементарних функцій є досконале знання таблиці основних інтегралів. Ця таблиця є сукупністю формул, які треба знати напам’ять, і складена за таблицею похідних з використанням властивості інваріантності формули інтегрування. Справедливість формул таблиці можна перевірити диференціюванням.

Нехай u=u(x) — довільна функція, що на проміжку Х має неперервну похідну u/(x). Тоді на цьому проміжку справедливі такі формули:

.

.

(-1).

або (u0).

(a>0, a1), при а=е .

.

.

де соsu0, тобто в будь-якому інтервалі, що не містить точок виду, n Z.

де sinu0, тобто в будь-якому інтервалі, що не містить точок виду u=n, n Z.

або .

або .

або .

або, в інтервалі u (-a,a).

.

.

якщо під коренем знаходиться u2-a2, то |u|>|a|.

.

.

.

Ця таблиця має такий вигляд і у випадку, якщо u = x, тобто u є незалежною змінною інтегрування.

Зупинимося детальніше на деяких формулах.

За формулою маємо. Функція визначена і неперервна х(-, 0) (0,).

Якщо х>0, то однією з первісних є F(x)=lnx, оскільки. Отже, для х>0 .

Якщо х<0, то однією з первісних для є F(x)=ln(-x), оскільки. Отже, для х<0 .

Об'єднуючи ці два випадки, одержуємо формулу Або

.

За формулою з п. 13 маємо. Щоб переконатися у справедливості цієї формули, знайдемо похідну від правої частини

.

За формулою з п. 17 маємо. Доведемо її справедливість. Для цього перетворимо підінтегральну функцію

.

Оскільки

dx=d (x-a)=d (x+a), маємо

Інтеграли називаються табличними, за їх допомогою можна знаходити й інші інтеграли, і мета існуючих методів інтегрування полягає в тому, щоб звести шуканий інтеграл до табличного. У подальшому рамки наведеної таблиці інтегралів розширятимуться.

Основні методи інтегрування

Інтегрувати функції значно складніше, ніж диференціювати. При диференціюванні функції безпосередньо застосовуються основні формули диференціювання. При інтегруванні функцій безпосередньо застосувати основні формули можливо лише в окремих випадках.

Як правило, підінтегральну функцію доводиться перетворювати для зведення інтеграла до табличного.

Ми розглянемо зараз основні методи інтегрування, які спрощують зведення підінтегральної функції до такого вигляду, що дає змогу застосувати безпосереднє інтегрування, тобто обчислювати інтеграл за допомогою таблиці інтегралів і основних властивостей невизначених інтегралів.

2. Метод розкладання на суму

Цей метод грунтується на розкладанні підінтегральної функції в лінійну комбінацію більш простих функцій і застосування властивості лінійності інтеграла:

.

Приклади.

1. Знайти інтеграл .

Застосовуючи властивість лінійності невизначеного інтеграла, маємо

.

^{Використовуючи формули основних інтегралів, знаходимо}

;

;

;

;

.

Таким чином,

.

Всі довільні сталі підсумовуємо, результат позначаємо однією літерою, тому і остаточно отримуємо

. .

У правильності отриманого результату легко переконатись диференціюванням.

2. Знайти інтеграл .

Інтеграл табличний. Тому можна перейти до безпосереднього інтегрування. За формулою з п. 12, де а=4, одержуємо

.

3. Знайти інтеграл .

Інтеграл не табличний, тому перетворимо підінтегральну функцію. Оскільки, то інтеграл можна записати у вигляді

.

Застосовуючи властивість з п. 4, маємо

.

Одержали два табличних інтеграла і за формулами знаходимо

.

Знайти інтеграл .

За формулою знаходимо. Тоді

Знайти інтеграл .

Тут підносити до 14 степеня недоцільно, й оскільки, то за формулою з п. 3, в якій u=6x-5, маємо

.

Знайти інтеграл .

При обчисленні подібних інтегралів доцільно користуватися тригонометричними формулами розкладу добутку в суму. Тут

а .

Тоді за формулою з п. 7 і властивістю з п. 4 маємо Обчислити інтеграл .

Оскільки, то За формулою з п. 3,

.

За формулою з п. 12, де а=3, маємо

.

Тоді, де С=С1+С2.

Отже бачимо, що для інтегрування не достатньо просто знати формули і вміти їх застосовувати, а ще необхідний досвід, який послідовно здобувається в процесі розв’язання прикладів.

3. Метод підстановки або заміни змінної інтегрування

У багатьох випадках введення нової змінної інтегрування дозволяє звести знаходження шуканого інтеграла до табличного, тобто перейти до безпосереднього інтегрування. Такий метод називається методом підстановки, або заміни змінної.

Теорема (про інтегрування за допомогою підстановки). Нехай F(x) первісна функції f(x) на проміжку Х, тобто

а функція х=(t) визначена і диференційована на проміжку Т, множиною значень якої є проміжок Х. Тоді справджується рівність

.

Доведення. Згідно з правилом диференціювання складеної функції, маємо:

а ця рівність на підставі першої властивості невизначеного інтеграла і доводить теорему.

Нехай інтеграл не є табличним. Тоді для його знаходження доведена теорема застосовується одним з таких двох способів.

1. Припустимо, що від підінтегральної функції f(x) можна відокремити функцію таку, що підінтегральний вираз запишеться у вигляді

.

Тоді за теоремою маємо

.

Якщо інтеграл у правій частині зводиться до табличного, то для нього можна записати первісну G(t) або G((x)) і тоді

.

При цьому може бути зручним формалізований запис:

.

Або запис у формі введення функції під знак диференціала

.

Тут диференційована функція (х) є змінною інтегрування.

2. При знаходженні невизначеного інтеграла користуються підстановкою x=(t), де функція (t) є диференційованою t T, /(t)0 t T і має обернену функцію t=-1(x).

Таким чином, приходимо до попередньої підстановки.

При цьому формалізований запис буде таким:

Отже, при інтегруванні заміною змінної виконуються підстановки двох видів: t=(х) і х=(t). Підстановки треба підбирати так, щоб одержані після перетворень нові інтеграли зі змінною інтегрування t були табличними. І після їх знаходження від введеної змінної інтегрування t потрібно перейти до заданої змінної інтегрування х.

Розглянемо приклади.

1. Знайти .

Розв’язання. Скористаємося формалізованим записом:

.

Або Тобто, якщо в чисельнику маємо похідну знаменника, то однією з первісних є логарифм модуля знаменника.

Наприклад:

оскільки (sinx)/=cosx, то ;

оскільки (1+х2)/=2х, то .

2. Знайти .

Розв’язання. По-перше, можна застосувати підстановку t=x2, звідки dt=2xdx, .

Підставимо в інтеграл і матимемо Повернемося до попередньої змінної х

.

По-друге, можна ввести функцію під знак диференціала, тобто записати

xdx=.

Тоді на підставі властивості інваріантності маємо

.

3. Знайти .

Розв’язання. Якщо підінтегральний вираз помножити -2, а -½ винести за знак інтеграла, то в чисельнику матимемо повний диференціал підкореневого виразу і за третьою формулою таблиці одержимо:

.

Або

4. Знайти .

Розв’язання. Покладемо t=ex, х=lnt. Звідси. Отже,

.

Повертаючись до змінної х, остаточно маємо I=2ln(1+ex) —x+C.

5. Знайти інтеграл x[-a,a].

Розв’язання. Застосуємо тригонометричну підстановку х=asint,. Функція x=asint монотонна і має неперервну похідну x[-a,a]. При цьому, коли t змінюється від до, змінна х змінюється від —а до а. Далі маємо dx=acostdt. Отже,

.

Знов одержали не табличний інтеграл.

Перетворимо його. Оскільки, то

.

Тут

а

де .

Для повернення до змінної х, з рівності х=asint, знаходимо

(cost0, t).

Тоді

.

Підставивши, остаточно отримуємо

.

Формалізований запис у даному випадку такий

4. Метод інтегрування частинами

Цей метод базується на використанні формули диференціювання добутку двох функцій.

Теорема (про формулу інтегрування частинами). Нехай функції u(x) і v(x) такі, що хХ існують u/(x) і v/(x). Крім того, функція u/(x)v(x) має первісну на Х, тобто існує. Тоді функція u(x)v/(x) також має первісну на Х і справджується формула

хХ.

Доведення.

Із рівності

дістаємо

.

Первісною функції на проміжку Х є функція u(x)v(x). Функція має первісну за умовою теореми. Отже, і функція u(x)v/(x) як різниця інтегрованих функцій має первісну. Інтегруючи обидві частини цієї тотожності, дістаємо потрібну формулу. Оскільки v/(x)dx=dv, u/(x)dx=du, то її можна переписати у вигляді

.

Ця формула і називається формулою інтегрування частинами невизначеного інтеграла.

Назва інтегрування частинами пояснюється тим, що формула не дає остаточного результату, а лише зводить задачу відшукання інтеграла до задачі відшукання іншого інтеграла, яка при вдалому виборі u і dv має виявитись простішою.

Якщо u і dv вибрані невдало, то замість спрощення задача ускладнюється. Для знаходження функції v за диференціалом dv можна брати будь-яку довільну сталу, оскільки в остаточний результат вона не входить. Справді

Щоб не проводити зайвих обчислень, можна завжди покласти с=0.

У деяких випадках формула інтегрування частинами є тільки допоміжною при відшуканні інтеграла, вона приводить до алгебраїчного рівняння відносно шуканого інтеграла.

Формулу інтегрування частинами інколи доводиться застосовувати декілька разів.

Розглянемо приклади.

.

Розв’язання. Введемо позначення u =x+1, dv =sinxdx. Тоді. Знайдемо u і v, які містяться в правій частині. З рівності dv=sinxdx знаходимо:, a du=dx.

Отже,

.

Нехай тепер u=sinx, du=xdx. Звідси. Отже,

.

У правій частині дістали невизначений інтеграл, який є складнішим, ніж заданий.

2. .

Розв’язання. Нехай. Тоді .

Отже,. Невизначений інтеграл також інтегруватимемо частинами.

Нехай u=lnx, dv=dx. Тоді, v=x.

Отже,

.

Остаточно дістаємо

.

Формалізований запис такий:

3. Знайти невизначений інтеграл

.

Нехай u=eax, dv=sinbxdx. Тоді, .

Отже,

.

Інтеграл у правій частині цієї нерівності теж знаходимо за частинами.

Нехай .

Тоді

.

Для шуканого інтеграла дістаємо

.

У лівій і у правій частині цієї рівності маємо той самий інтеграл, тобто відносно шуканого інтеграла одержали алгебраїчне рівняння. Розв’язуючи його, знаходимо

.

.

Розв’язання.

Останній інтеграл перенесемо в ліву частину

.

Остаточно маємо Ефективність використання формули інтегрування частинами залежить від уміння вибрати потрібні u і dv, що виробляється практикою.

Але можна вказати на деякі типи інтегралів, які зручно інтегрувати частинами.

1. Інтеграли виду, ,, де Р(х) — многочлен n-го степеня від х, а0, b0 — дійсні числа. У цих інтегралах за u слід взяти множник Р(х). Після застосування n разів формули інтегрування частинами ці інтеграли зводяться відповідно до інтегралів, , як у прикладі 1.

2. Інтеграли виду, ,, ,, де Р(х) — многочлен n-го степеня від х.

Тут за u слід брати множники lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

3. Інтеграли виду, а0, b0 — дійсні числа.

Після дворазового застосування формули інтегрування частинами у правій частині дістаємо заданий інтеграл. Це дає змогу знайти інтеграл як розв’язок рівняння.

Зауваження 1. В результаті знаходження інтегралів виду ми дістаємо функцію Q(x)eax, де Q(x) — многочлен того степеня, що і многочлен Р(х), а інтегралів виду, функцію виду Q(x)sinbx+R(x)cosbx, де Q(x) і R(x) — многочлени того степеня, що і многочлен Р(х).

Ця обставина дозволяє для знаходження інтегралів зазначеного типу застосовувати метод невизначених коефіцієнтів, суть якого можна зрозуміти на такому прикладі.

.

Розв’язання. Нехай

.

Продиференціюємо обидві частини цієї тотожності. Дістанемо Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях х у множників cos2x і sin2x.

x2cos2x 2A2=1;

x2sin2x -2A1=0;

xcos2x 2B2+2A1=3;

xsin2x 2A2−2B1=0;

cos2x B1+2C2=5;

sin2x B2−2C1=0.

Таким чином, одержали систему рівнянь відносно невизначених коефіцієнтів і, розв’язуючи її, знаходимо

.

Отже,

.

Зауваження 2. Зрозуміло, що при знаходженні деяких інтегралів необхідне застосування методу інтегрування частинами послідовно декілька разів. Але результат можна одержати швидше, якщо користуватись узагальненою формулою інтегрування частинами (або формулою кратного інтегрування частинами) де, .

У справедливості такої рівності неважко переконатись. При цьому, як правило, допускається, що похідні й інтеграли, які містяться в формулі, існують.

Застосування узагальнених формул інтегрування частинами особливо зручно при знаходженні інтегралів де Р(x) — многочлен степені n, а функція (х) така, що її легко інтегрувати послідовно n+1 разів. Наприклад, Застосуємо цю формулу для знаходження інтеграла

.

Тут n=3, k=2. Тоді Р3(х)=3х3−17, Р3/(х)=9х2, Р3//(х)=18х, Р3(3)(х)=18,

.