Визначені та невласні інтеграли (реферат)

мал. 1.

Перпендикуляри до осі 0х, проведені із точок ділення до перети­ну із кривою у = f (х), розділяють усю площу трапеції на n вузьких криволінійних трапецій. Замінімо кожну із цих трапецій прямокутника з основою $${\mathit{}}_k$$ та висотою $$f({}_k)$$, де $$x_{k-1}<={}_k<=x_k$$. Площа кожного такого прямокутника дорівнює $$f({}_k){\mathit{}}_k\text{.}$$.

Сума площ усіх таких прямокутників буде дорівнювати.

$$f({}_1){\mathit{}}_1+f({}_2){\mathit{}}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+f({}_n){\mathit{}}_n=\underset{k=1}{\overset{n}{}}f({}_k){\mathit{}}_k$$.

Таким чином, площа S криволінійної трапеції наближено дорівнює цій сумі, тобто.

$$s=\underset{k=1}{\overset{n}{}}f(){\mathit{}}_k$$.

Ця формула буде тим точнішою, чим менше величина $${\mathit{}}_k$$ .

Щоб одержати точну формулу для обчислення площі S криволінійної трапеції, треба в цій формулі перейти до границі, коли $${\mathit{}}_k->0\text{.}$$ Тоді.

$$S=\underset{\text{max}{\mathit{}}_k->0}{\text{lim}}\underset{k=1}{\overset{n}{}}f({}_k){\mathit{}}_k$$ (1).

2. Обчислення шляху, який пройшла точка. Нехай потрібно визначити шлях S, який пройшла матеріальна точка, що рухається в одному напрямі із змінною швидкістю V (t) за час від t0 до T.

Поділимо проміжок часу T-t0 на n частин: …,/p>

Позначимо через $${}_k$$ довільний момент часу із проміжку, а значення швидкості у цій точці позначимо $$V_k=f({}_k,)$$ $$k=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n$$ .

Точка, що рухається з постійною швидкістю Vk на проміжку часу проходить за цей час шлях $$V_k{\mathit{}}_k,$$ а за час T — t0 вона пройде шлях.

$$V_1{\mathit{}}_1+V_2{\mathit{}}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+V_n{\mathit{}}_n=\underset{k=1}{\overset{n}{}}{V}_k{\mathit{}}_{k}f({}_k){\mathit{}}_k\frac{1}{2}$$.

Будемо вважати, що шлях S, пройдений точкою, наближено дорівнює цій сумі. Коли ->0, тоді змінна швидкість на проміжку мало відрізняється від постійної Vk. Тому дійсне значення шляху, пройденого точкою за час T — t0 буде дорівнювати границі цієї суми при max -> 0, тобто.

$$S=\underset{\text{max}{\mathit{}}_k->0}{\text{lim}}\underset{k=1}{\overset{n}{}}f({}_k){\mathit{}}_k$$ (2).

До аналогічної суми зводиться задача про роботу змінної сили, що направлена по прямій лінії - траєкторії руху точки, до якої прикладена ця сила та інші задачі.

1.2. Означення визначеного інтеграла та його зміст Нехай функція f (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб'ємо цей відрізок на n частин точками ділення, а = х0 < x1 < x2 < … < хn = b.

У кожному проміжку [xk-1, xk] довжиною = хkхk-1 оберемо довільну точку $${}_k$$ і обчислимо відповідне значення функції $$f({}_k),k=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n\text{.}$$ .

Побудуємо суму $$\underset{k=1}{\overset{n}{}}f({}_k){\mathit{}}_k,$$ яку називають інтегральною сумою для функції f (х) на відрізку [а, b].

Означення 1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при $$\text{max}{\mathit{}}_k->0$$, незалежна від способу ділення відрізка [а, b] на частини та добору точок $${}_k$$, то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f (х) на відрізку [а, b] і позначається.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}$$.

Математично це означення можна записати так:

$$\underset{b}{\overset{a}{}}f(x)\text{dx}=\underset{\text{max}{\mathit{}}_k->0}{\text{lim}}\underset{k=1}{\overset{n}{}}f({}_k){\mathit{}}_k$$ (3).

Відмітимо, що числа, а та b називають нижньою та верхньою межами, відповідно.

Згідно з цим означенням рівності (1) та (2) тепер можна за­писати у вигляді.

$$S=\underset{b}{\overset{a}{}}f(x)\text{dx},$$ $$S=\underset{t_0}{\overset{T}{}}f(t)\text{dt},$$ (4).

тобто площа криволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою із змінною швидкістю V = f (t) виражаються визначеним інтегралом. Перевірка існування скінченної границі інтегральної суми для кожної функції утруднена. Але такої перевірки робити не треба тому, що використовують таку відому теорему.

Теорема 1. Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а, b] або обмежена і має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція f (х) інтегрована на [a, b].

1.3. Основні властивості визначеного інтеграла.

Із означення (3) визначеного інтеграла та основних теорем про граниш випливають слідуючі властивості.

1 Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто якщо, А — стала, то.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}Af(x)\text{dx}=A\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}$$.

2 Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кіль­кості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку, тобто.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}\left[f_1(x)\pm f_2(x)\pm \text{.}\text{.}\text{.}\pm f_m(x)\right]\text{dx}=\underset{a}{\overset{b}{}}{f}_1(x)\text{dx}\pm \underset{a}{\overset{b}{}}{f}_2(x)\text{dx}\pm \text{.}\text{.}\text{.}\pm \underset{a}{\overset{b}{}}{f}_m(x)\text{dx}$$.

3 Якщо поміняти місцями межи інтегрування, то визначений інтеграл змінює свій знак на протилежний, тобто.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=-\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}$$.

4 Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, тобто.

$$\underset{a}{\overset{a}{}}f(s)\text{dx}=0$$.

для будь-якої функції f (х).

5 Якщо f (х) $$$$ $$$$ (х), х $$$$ [а, b], то $$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}<=\underset{a}{\overset{b}{}}(x)\text{dx}$$.

6 Якщо m та M — найбільше та найменше значення функції f (х) на відрізку [a, b], то.

$$m(b-a)<=\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}<=M(b-a)$$.

7 $$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=f()(b-a),$$ де $$a<<b$$.

8 $$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=\underset{a}{\overset{c}{}}f(x)\text{dx}=\underset{c}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}-$$ $$a<c<b$$.

1.4. Обчислення визначених інтегралів Раніше ми навчились знаходити невизначені інтеграли. Тому для обчислення визначених інтегралів доцільно встановити зв’язок між ними.

2.1. Зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають інтегралом із змінною верхньою межею.

Щоб мати звичне позначення, змінну верхню межу позначимо через х, а змінну інтегрування — t. Одержимо інтеграл.

$$\underset{a}{\overset{x}{}}f(t)\text{dt},$$ який є функцієюх, тобто Ф (х) = $$\underset{a}{\overset{x}{}}f(t)\text{dt}$$.

Теорема 2. Якщо f (х) неперервна функція, то похідна ви­значеного інтеграла від неперервної функції по змінній верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї верхньої межі, тобто.

$${Ф}^{\text{'}}(x){\left(\underset{a}{\overset{x}{}}f(t)\text{dt}\right)}^{}=f(x)$$ (5).

Доведення. Надамо аргументу х приріст тоді функція Ф (х) одержить приріст, який згідно з властивістю 8 визначеного інтеграла можна записати у вигляді.

$$\mathit{}(x)=Ф(x+\mathit{})-Ф(x)=\underset{a}{\overset{x}{}}f(t)\text{dt}+\underset{x}{\overset{x+\mathit{}}{}}f(t)\text{dt}=\underset{x}{\overset{x+\mathit{}}{}}f(t)\text{dt}$$.

До останнього інтеграла застосуємо властивість 7, тоді.

$$\mathit{}(x)=f()(x+\mathit{}-x)=f()\mathit{},$$ де $$<x<x+\mathit{},$$.

Згідно з означенням похідної маємо.

$${Ф}^{\text{'}}(x)=\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{\mathit{}(x)}{\mathit{}}=\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{f()\mathit{}}{\mathit{}}=\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}f()=f(x),$$.

що й треба було довести.

Теорема 3. Визначений інтеграл від неперервної функції дорівнює різниці значень будь-якої її первісної для верхньої та нижньої меж інтегрування, тобто якщо F (x) є первісна функції f (х), то має місце рівність ь.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=F(b)-F(a),$$ (6).

яка називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Доведення. Нехай F (x) деяка первісна функції f (х). За теоремою 2 $$\underset{a}{\overset{x}{}}f(t)\text{dt}$$ також первісна для f (х). Але дві первісні функції f (х) відрізняються лише на постійний доданок С. Тому.

$$\underset{a}{\overset{x}{}}f(t)\text{dt}=F(x)+C$$ (7).

Ця рівність (7) при відповідному обранні С буде тотожністю, тобто має місце для усіх х.

Для визначення С візьмемо у формулі (7) х = а. Тоді.

$$\underset{a}{\overset{a}{}}f(t)\text{dt}=F(a)+C=>0=F(a)+C=>C=-F(a)$$.

Отже,.

$$\underset{a}{\overset{x}{}}f(x)\text{dt}=F(x)-F(a)$$.

Якщо у цій рівності покласти х = b, то одержимо.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(t)\text{dt}=F(b)-F(a)$$.

Змінюючи змінну інтегрування t на х, одержимо формулу (6), що й треба було довести.

Відмітимо, що різницю $$F(b)-F(a)$$ позначають часто так:

F (x) $$\begin{array}{c}{|}^a\\ {|}_b\end{array}$$, тобто F (x) $$\begin{array}{c}{|}^a\\ {|}_b\end{array}$$ = $$F(b)-F(a)$$.

Тому формулу Ньютона-Лейбніца (6) можна записати у вигляді.

$$\begin{array}{c}\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=F(x)\\ \begin{array}{c}{|}^a\\ {|}_b\end{array}\end{array}$$.

Ця формула вказує не тільки на зв’язок визначеного інтеграла з невизначеним, але й спосіб обчислення $$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}\text{.}$$ .

Приклад 1. Обчислити $$\underset{-1}{\overset{2}{}}3x^2\text{dx}\text{.}$$.

Розв’язування.

$$\begin{array}{c}\underset{-1}{\overset{2}{}}3x^2\text{dx}=3\underset{-1}{\overset{2}{}}{x}^2\text{dx}=3\frac{x^3}{3}\\ \begin{array}{c}|2\\ |-1\end{array}=x^3\begin{array}{c}|2\\ |-1\end{array}=2^3-(-1)=8+1=9\end{array}$$.

2.2. Інтегрування частинами Якщо проінтегрувати обидві частини рівності.

d[u (x) · v (x)] = v (x)du (x) + u (x)dv (x).

в межах від, а до b, то одержимо.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}d[u(x)v(x)]=\underset{a}{\overset{b}{}}v(x)\text{du}(x)+\underset{a}{\overset{b}{}}u(x)\text{dv}(x)=>u\mathit{valignl}\begin{array}{c}|a\\ |b\end{array}=\underset{a}{\overset{b}{}}\text{vdu}+\underset{a}{\overset{b}{}}\text{udv}$$.

Звідси одержуємо важливу формулу інтегрування частинами визначеного інтеграла.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}\text{udv}=u\mathit{valignl}\begin{array}{c}|a\\ |b\end{array}-\underset{a}{\overset{b}{}}\text{vdu}$$ (8).

Приклад 2. Обчислити інтеграл $$\underset{0}{\overset{2}{}}$$ xcosxdx.

Розв’язування. Нехай u = x, dv = cosxdx, тоді знаходимо du = dx, $$v=\underset{}{\overset{}{}}\text{cos}\text{xdx}=\text{sin}x$$ (взята первісна без сталої С). Застосовуючи до заданого інтеграла формулу (8), одержимо.

$$\underset{0}{\overset{2}{}}x\text{cos}\text{xdx}=x\text{sin}\mathit{xalignl}\begin{array}{c}|2\\ |0\end{array}-\underset{0}{\overset{2}{}}\text{sin}\text{xdx}=2\text{sin}2-0\text{sin}0+\text{cos}\mathit{xalignl}\begin{array}{c}|2\\ |0\end{array}=\text{cos}2-\text{cos}0=0$$.

2.3. Заміна змінної у визначеному інтегралі.

Теорема 4. Нехай задано інтеграл $$$$, де f (х) неперервна на відрізку [а, b]. Зробимо підстановку х = $$$$ (t), а $$$$ t $$$$ ss, де $$$$ (t) неперервно диференційована функція на відрізку [ $$$$, ss].

Якщо: 1 при зміні t від $$$$ до ss змінна х змінюється від, а до b, тобто $$$$ (а)= а, $$$$ (ss) = b;

2 складна функція f[ $$$$ (t)] визначена і неперервна на відрізку [ $$$$, ss], тоді має місце рівність.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=\underset{}{\overset{}{}}f[(t)]{}^{\text{'}}(t)\text{dt}$$ (9).

Доведення. Нехай F (x) деяка первісна для функції f (х), тоб­то F'(X) = f (х). Розглянемо складну функцію F [ $$$$ (t)]. Застосовуючи правило диференціювання складної функції, одержимо.

$$\frac{\text{dF}\left[(t)\right]}{\text{dt}}=F_{}^{\text{'}}[(t)]{}^{\text{'}}(t)=f[(t)]{}^{\text{'}}(t)$$.

Це означає, що функція F[ $$$$ (t)] є первісною для функції $$f[(t)]{}^{\text{'}}(t)\text{.}$$.

Звідси, за формулою Ньютона-Лейбніца і рівностей $$$$ ($$$$) = a та (ss) = b, одержуємо.

$$\begin{array}{c}\underset{}{\overset{}{}}f[(t)]{}^{\text{'}}(t)\text{dt}=F[(t)]\\ \begin{array}{c}|\\ |\end{array}=F[()]-F[()]=F(b)-F(a)=\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx},\end{array}$$.

що й треба було довести.

Приклад 3. Обчислити $$\underset{0}{\overset{3}{}}x\sqrt{1+x}\text{dx}\text{.}$$ .

Розв’язування. Нехай t = $$\sqrt{1+x}$$, тоді t2 = 1 + х $$=>$$ х = t2 — 1, dx= 2tdt. Знайдемо межі інтегрування, використовуючи рівність $$t=\sqrt{1+x}\mathrm{:}$$.

$$t_{н}=\sqrt{1+0}=1-$$ $$t_{н}=\sqrt{1+3}=2\text{.}$$.

Отже,.

$$\underset{0}{\overset{3}{}}x\sqrt{1+x}\text{dx}=\underset{1}{\overset{2}{}}(t^2-1)2t^2\text{dt}=s\underset{0}{\overset{2}{}}(t^4-t^2)\text{dt}=$$.

$$\begin{array}{c}=2\left(\frac{t^5}{5}-\frac{t^3}{3}\right)\\ \begin{array}{c}{|}^2\\ {|}_1\end{array}=2\left(\frac{2^5}{5}-\frac{2^3}{3}\right)-2\left(\frac{1^5}{5}-\frac{1^3}{3}\right)=2\frac{\text{96}-\text{40}-3+5}{\text{15}}=\frac{\text{116}}{\text{15}}=7\frac{\text{11}}{\text{15}}\end{array}$$.

2.4. Методи наближеного обчислення Для деяких неперервних надінтегральних функцій f (х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе.

Крім того, у практичній діяльності часто досить знати лише наближене значення визначеного інтеграла і знаходити це набли­жене значення такими методами, які дозволяють використовувати сучасну обчислювальну техніку.

Тому математики багатьох країн розробляють ефективні методи наближеного обчислення визначеного інтеграла.

Найбільш часто використовують три методи — метод прямо­кутників, метод трапецій та метод парабол (метод Сімпсона).

Якщо відрізок інтегрування [а, b] поділити на n рівних частин довжиною $$\mathit{}=\frac{b-a}{n}$$ і позначити через $${}_k$$ середню точку відрізку $$[x_{k-1},x_k]$$ визначений інтеграл можна обчислити за фор­мулою.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}\frac{b-a}{n}[f({}_1)+f({}_2)+\text{.}\text{.}\text{.}+f({}_n)],$$ (10).

яку називають формулою прямокутників. Чим більше буде n, тим менше буде крок $$\mathit{}=\frac{b-a}{n}$$ і права частина (10) буде давати більш точне значення інтеграла.

Якщо поділити відрізок інтегрування точками ділення, а = х0 < x­1 < х2 < … < хk < … < хn-1 < хk = b.

на n рівних частин довжиною $$\mathit{}=\frac{b-a}{n}$$ i позначити значення функції в точках ділення f (хk), тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}\frac{b-a}{n}\left[\frac{f(a)+f(b)}{2}+\underset{k=1}{\overset{n-1}{}}f(x_k)\right],$$ (11).

яку називають формулою трапецій. Легко бачити, що при зростанні n крок $$\mathit{}=\frac{b-a}{n}$$ зменшується, тому значення інтеграла буде більш точним.

Якщо відрізок інтегрування [а, b] поділити на парну кількість рівних частин (тобто n = 2m) i позначити уk = f (xk), де xk = а + $$$$ х· k — точки ділення, k = 0, 1, …, 2m, тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою.

$$\begin{array}{c}\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}\frac{b-a}{2m}\\ y_0+y_{2m}+2(y_2+y_4+\text{.}\text{.}\text{.}+y_{2m-2})+\\ +4(y_1+y_3+\text{.}\text{.}\text{.}+y_{2m-1})\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left[\right]\end{array}\\ \end{array}$$ (12).

яку називають формулою Сімпсона. Ця формула дає більш точне значення визначеного інтеграла тому, що для її доведення вико­ристовується метод парабол, за яким на кожному відрізку [xk-1, xk] три значення функції f (х) входять до інтегральної суми.

4. Застосування визначених інтегралів.

4.1. Обчислення площ.

Якщо на відрізку [а, b] функція f (х) $$$$ 0, то згідно з форму­лою (4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 1, можна знайти за формулою.

$$S=\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}$$.

Якщо на відрізку [a, b] функція f (х) $$$$ 0, то криволінійна тра­пеція, обмежена кривою f (х), відрізком [а, b] та прямими х = а і х = b, буде розташована нижче осі 0х. Визначений інтеграл $$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}$$ у цьому випадку буде $$$$ 0. Але площа є невід'ємною величиною, тому площу криволінійної трапеції, розташованої нижче осі 0х, треба знаходити за формулою.

$$S=|\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}|$$ або $$S=-\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx},$$ (f (x) $$$$ 0).

Якщо f (х) на відрізку [а, b] декілька разів змінює свій знак, то інтеграл по відрізку [а, b] треба розбити на суму інтегралів по част­кових відрізках. Інтеграл буде додат­ним на тих відрізках, де f (х) $$$$ 0 та від'ємним там, де f (х)<0. Інтеграл по відрізку [а, b] дає різницю площ, що лежать вище та нижче осі 0х (дивись Малюнок 2).

Щоб одержати суму площ (без врахування розташування відносно осі 0х) треба знайти суму абсолют­них величин інтегралів по часткових.

Мал. 2.

відрізках або обчислити інтеграл від абсолютного значення функції, тобто.

$$S=\underset{a}{\overset{b}{}}|f(x)|\text{dx}$$.

Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом.

$$x^2+\frac{{н}^2}{4}=1\text{.}$$.

Розв’язування. Із аналітичної гео­метрії відомо, що цей еліпс має вигляд такий, як на Малюнку 3.

Шукана площа S дорівнює 4S1, де S1 — площа заштрихованої частини еліпса, що розташована у першому квадранті. Отже,.

$$S=4\underset{0}{\overset{1}{}}\text{ydx}$$.

Із рівняння еліпса знаходимо у:

$$\frac{y^2}{4}=1=x^2=>y^2=4(1-x^2)=>y=\pm 2\sqrt{1-x^2}$$.

Мал. 3.

Для заштрихованої частини еліпса у $$$$ 0, тому $$y=2\sqrt{1-x^2}$$ і ми одержуємо.

$$S=4\underset{0}{\overset{1}{}}2\sqrt{1-x^2}\text{dx}=8\underset{0}{\overset{1}{}}\sqrt{1-x^2}\text{dx}$$ (1).

Заміна x = sin t дає: dx = cost · dtt = arcsin x,.

$$\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-{\text{sin}}^{2}t=}\text{cos}t-$$ $$t_{н}=\text{arcsin}0=0-$$ tB = arcsin1 = $$\frac{}{2}$$ .

Отже,.

$$\underset{0}{\overset{1}{}}\sqrt{1-x^2}\text{dx}=\underset{0}{\overset{/2}{}}\text{cos}t\text{cos}\text{tdt}=\underset{0}{\overset{/2}{}}\frac{1+\text{cos}2t}{2}\text{dt}=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{/2}{}}\text{dt}+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{/2}{}}\text{cos}2\text{tdt}=$$.

$$\begin{array}{c}=\frac{1}{2}\left(t+\frac{\text{sin}2t}{2}\right)\\ \begin{array}{c}{|}^{/2}\\ {|}_0\end{array}=\frac{1}{2}\left(\frac{}{2}+\frac{\text{sin}}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(0+\frac{\text{sin}0}{2}\right)=\frac{}{4}\end{array}$$.

За формулою (13) одержимо S = 8 · $$\frac{}{4}=2$$ (квадратних одиниць).

Якщо треба обчислити площу фігури, обмеженої кривими y = f1(х), y=f2(х) та прямими х = а, х = b (дивись, наприклад, Малюнок 4), то при f1(х) $$$$ f2(х) її можна знайти за формулою.

$$S=\underset{a}{\overset{b}{}}[f_1(x)-f_2(x)]\text{dx}$$ (14).

Мал. 4.

Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями.

$$y=\sqrt{x}$$ та $$y=x^2$$.

Розв’язування. Спочатку зобразимо фігуру, площу якої треба знайти (Мал. 5). Знайдемо точку перетину цих парабол. Ко­ординати точок перетину задовольняють обом рівнянням, тому.

$$\sqrt{x}=x^2=>x=x^4=>x^4-x-0=>x_1=\mathrm{0,}{x}_2=1$$.

Мал. 5.

Отже, площа заштрихованої фігури буде.

$$\begin{array}{c}S=\underset{0}{\overset{1}{}}\left[\sqrt{x}-x^2\right]\text{dx}=\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}-\frac{x^3}{3}\right)\\ \begin{array}{c}{|}^1\\ {|}_0\end{array}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\end{array}$$.

(квадратних одиниць).

4.2. Обчислення довжини дуги кривої.

Нехай крива на площині має рівняння у = f (х). Треба знайти довжину дуги AB цієї кривої, обмежену прямими х = а та х = b (дивись малюнок 6).

Візьмемо на AB точки А, М1, М2, …, Мn-1, В з абсцисами a, х1, х2, …, хn-1, b, відповідно, та проведемо хорди.

AM1,M1M2,…, Mk-1,Mk,…, Mn-1B,.

довжини яких позначимо.

$${\mathit{}}_1,{\mathit{}}_2,\text{.}\text{.}\text{.},{\mathit{}}_n$$.

Одержимо ламану лінію, вписану в дугу AB. Довжиною ламаної буде.

$$l_n=\underset{k=1}{\overset{n}{}}{\mathit{}}_k$$.

Мал. 6.

Означення 1. Довжиною l дуги АВ називають границю, до якої прямує довжина вписаної ламаної, коли довжина її найбіль­шої частини прямує до нуля, тобто.

$$l=\underset{\text{max}{\mathit{}}_k->0}{\text{lim}}\underset{k=1}{\overset{n}{}}{\mathit{}}_k$$.

Теорема 1. Якщо на відрізку [а, b] функція f (х) та її похідна f'(x) неперервні, то довжина дуги кривої у = f (х), обмеже­ної прямими х = а та х = b, обчислюється за формулою.

$$l=\underset{a}{\overset{b}{}}\sqrt{1+\left[f^{\text{'}}(x{)}^2\right]}\text{dx}$$.

Доведення. Із Малюнка 6 бачимо, що за теоремою Піфагора.

$${\mathit{}}_k=\sqrt{({\mathit{}}_k{)}^2+({\mathit{}}_k{)}^2}=\sqrt{1+\frac{{\mathit{}}_k}{{\mathit{}}_k}}{\mathit{}}_k$$.

Згідно з теоремою Лагранжа маємо:

$$\frac{{\mathit{}}_k}{{\mathit{}}_k}=\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}=f^{\text{'}}({}_k),$$ де $$x_{k-1}<{}_k<x_k$$.

Тому $${\mathit{}}_k=\sqrt{1+{\left[f^{\text{'}}({}_k)\right]}^2}{\mathit{}}_k$$ і довжина вписаної ламаної буде.

За умовою теореми f'(х) неперервна, тому і функція $$\sqrt{1+{\left[f^{\text{'}}({}_k)\right]}^2}$$ також неперервна, а це означає, що існує скінченна границя.

$$l=\underset{\text{max}{\mathit{}}_k->0}{\text{lim}}\underset{k=1}{\overset{n}{}}\sqrt{1+{\left[f^{\text{'}}({}_k)\right]}^2}{\mathit{}}_k=\underset{a}{\overset{b}{}}\sqrt{1+{\left[f^{\text{'}}({}_k)\right]}^2}\text{dx},$$.

що й треба було довести.

Наслідок. Якщо дуга задана параметрична x = $$$$ (t), y = $$(t)$$, $$<=t<=$$, то її довжину знаходять за формулою.

$$l=\underset{}{\overset{}{}}|\stackrel{}{{\left[{}^{\text{'}}(t)\right]}^2}+{\left[{}^{\text{'}}(t)\right]}^2\text{dt}$$.

4.3. Обчислення об'єму та площі поверхні тіла обертання Нехай криволінійна трапеція, обмежена кривою у = f (х), від­різком [а, b] осі 0х та прямими х = a та x = b обертається нав­коло осі 0х (Мал. 7). Тоді об'єм тіла обертання можна знайти за формулою.

$$V=\underset{a}{\overset{b}{}}{f}^2(s)\text{dx},$$ (17).

а площу поверхні обертання за формулою.

$$S=2\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\sqrt{1+{\left[f^{\text{'}}(x)\right]}^2}\text{dx}$$ (18).

Приклад 3. Обчислити об'єм ку­лі радіуса R.

Мал. 7.

Розв’язування. Кулю можна розглядати як результат обертан­ня півкруга, обмеженого частиною кола х2 + у2 = R2, у $$$$ 0, навколо осі 0х.

Використовуючи рівність $$y=\sqrt{R^2-x^2,}$$ симетричність кола відносно осі 0у та формулу (17), одержимо об'єм V кулі.

$$\begin{array}{c}V=\underset{-R}{\overset{R}{}}{\left(\sqrt{R^2-x^2}\right)}^2\text{dx}=2\underset{0}{\overset{R}{}}(R^2-x^2)\text{dx}=2\left(R^{2}x-\frac{x^3}{3}\right)\\ \begin{array}{c}{|}^R\\ {|}_0\end{array}=\end{array}$$.

$$-2\left(R^3-\frac{R^3}{3}\right)=\frac{4}{3}{\mathit{}}^3$$ (кубічних одиниць).