Комп"ютеризовані системи цифрової обробки сигналів

[Введите текст]

Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка Кафедра АСУ

Лабораторна робота з дисципліни:

«Комп'ютеризовані системи цифрової обробки сигналів»

на тему: Ряд Фур'є

Львів — 2015

Мета: Вивчити спектри найпростіших сигналів.

Теоретичні відомості:

В ряд Фур'є можуть бути розкладені періодичні сигнали. При цьому вони представляються у вигляді суми гармонічних функцій або комплексних експонент з частотами, що утворюють арифметичну прогресію. Для того щоб такий розклад існував, фрагмент сигналу довжиною в один період повинен задовольняти умови Дирихлє:

Не повинно бути розривів другого роду (з відгалуженнями функцій, що уходять в нескінченність);

Число розривів першого роду (скачків) повинно бути скінченним;

Число екстремумів повинно бути скінченним (в якості приклада функції, яка на останньому інтервалі має нескінченне число екстремумів, можна привести sin (1/x) в околі нуля).

В залежності від конкретної форми базисних функцій розрізняють декілька форм запису ряду Фур'є.

Синусно-косинусна форма:

В цьому варіанті ряд Фур'є має наступний вигляд:

(2.1)

Тут — кругова частота, що відповідає періоду повторення сигналу рівному T. Частоти, що входять до формули і кратні круговій частоті, називаються гармоніки та нумеруються в залежності від індексу k; частота називається k — ою гармонікою сигналу. Коефіцієнти ряду та розраховуються за формулами:

.

Константа розраховується за загальною формулою для. Заради цієї загальності і введена трохи дивна на перший погляд форма запису постійного доданку (з діленням на два). Сам же доданок представляє собою середнє значення сигналу на періоді:

.

Зауваження: Межі інтегрування не обов’язково повинні бути такими, як в наведених вище формулах (від до). Інтегрування може виконуватися за будь-яким інтервалом довжиною Т — результат від цього не зміниться. Конкретні межі вибираються для зручності обчислення; наприклад, може здатися зручніше виконати інтегрування від 0 до Т чи відТ до 0.

Якщо є парною функцією, то всі будуть рівними нулю і в формулі ряду Фур'є будуть присутні тільки косинусні складові. Якщо ж є непарною функцією, нулю будуть дорівнювати, навпаки, косинусні коефіцієнти і в формулі залишаться тільки синусні складові.

Дійсна форма:

Деяка незручність синусно-косинусної форми ряду Фур'є полягає в тому, що для кожного значення індексу додавання (тобто для кожної гармоніки з частотою) в формулах фігурують два доданки — синус і косинус. Скориставшись формулами тригонометричних перетворень, суму цих двох доданків можна трансформувати в косинус тієї ж частоти з іншою амплітудою та деякою початковою фазою:

(2.2)

Якщо є парною функцією фази можуть приймати тільки значення 0 та, а якщо — функція непарна, то можливі значення для фази рівні .

Комплексна форма:

Дана форма представлення ряду Фур'є найбільш часто використовується в радіотехніці. Вона одержується з дійсної форми представлення косинуса у вигляді напівсуми комплексних експонент (таке представлення витікає з формули Ейлера :

.

Застосувавши дане перетворення до дійсної форми ряду Фур'є, отримаємо суми комплексних експонент з додатними та від'ємними показниками:

.

А тепер будемо трактувати експоненти зі знаком «мінус» в показнику як члени ряду з від'ємними номерами. В рамках цього ж загального підходу постійна складова стане членом ряду з нульовим номером. В результаті отримаємо комплексну форму запису ряду Фур'є:

(2.3)

Комплексні коефіцієнти ряду пов’язані з амплітудами і фазами, що фігурують в дійсній формі запису ряду Фур'є (2.2), наступними неважкими співвідношеннями:

.

Неважко виглядають і формули зв’язку з коефіцієнтами та синусно-косинусної форми ряду Фур'є (2.1):

.

Звідси зразу ж слідує формула безпосереднього розрахунку коефіцієнтів ряду Фур'є в комплексній формі:

(2.4)

Якщо є парною функцією, коефіцієнти ряду будуть тільки дійсними, а якщо — функція непарна, коефіцієнти ряду виявляться тільки уявними.

Сукупність амплітуд гармонік ряду Фур'є часто називають амплітудним спектром, а сукупність їх фаз — фазовим спектром. Ці поняття не слід плутати з амплітуднота фазочастотними характеристиками, які відносяться не до сигналів, а до кіл.

Якщо аналізує мий сигнал є дійсним, то його амплітудний та фазовий спектри володіють симетрією:

,

Завдання

1. Аппроксимувати стандартний прямокутний сигнал з частотою, що дорівнює номеру в групі (15), рядом Фур'є з кількістю гармонік:

а) 2 гармоніки;

б) 4 гармоніки;

в) 8 гармоніки;

2. Проробити ті самі перетворення зі стандартним трикутним сигналом.

3. Проробити ті самі перетворення зі стандартним синусоїдальним сигналом

4. В протоколі привести отримані графіки та математичні залежності.

5. Зробити висновки по проробленій роботі.

Апроксимація стандартного прямокутного сигналу (2)

Текст програми:

f=15;

fs=1000;

t=0:1/fs:1;

w=2*pi*f;

x=w*t;

y=square (x);

T=1;

a0=(1/T)*trapz (t, y);

a1 = (2/T) * trapz (t, y .* cos (x));

b1 = (2/T) * trapz (t, y .* sin (x));

a2 = (2/T) * trapz (t, y .* cos (2*x));

b2 = (2/T) * trapz (t, y .* sin (2*x));

s4 = a0+ a1*cos (x)+b1*sin (x) + a2*cos (2*x)+b2*sin (2*x);

plot (t, y,'black', t, s4,'r')

Отриманий графік:

фур'є ряд апроксимація гармоніка Рис. 1

Апроксимація стандартного синусоїдального сигналу (2)

Текст програми:

f=15;

fs=1000;

t=0:1/fs:1;

w=2*pi*f;

x=w*t;

y=sin (x);

T=1;

a0=(1/T)*trapz (t, y);

a1 = (2/T) * trapz (t, y .* cos (x));

a2 = (2/T) * trapz (t, y .* cos (2*x));

b1 = (2/T) * trapz (t, y .* sin (x));

b2 = (2/T) * trapz (t, y .* sin (2*x));

s4 = a0+ a1*cos (x)+b1*sin (x) + a2*cos (2*x)+b2*sin (2*x);

plot (t, y,'black', t, s4,'r')

Отриманий графік:

Рис. 2

Апроксимація стандартного трикутного сигналу (2)

Текст програми:

f=15;

fs=1000;

t=0:1/fs:1;

w=2*pi*f;

x=w*t;

y=sawtooth (x);

T=1;

a0=(1/T)*trapz (t, y);

a1 = (2/T) * trapz (t, y .* cos (x));

a2 = (2/T) * trapz (t, y .* cos (2*x));

b1 = (2/T) * trapz (t, y .* sin (x));

b2 = (2/T) * trapz (t, y .* sin (2*x));

s4 = a0+ a1*cos (x)+b1*sin (x) + a2*cos (2*x)+b2*sin (2*x);

plot (t, y,'black', t, s4,'r')

plot (t, y,'black', t, s4,'g')

Отриманий графік:

Рис. 3

4 гармоніки Апроксимація стандартного прямокутного сигналу (4)

Текст програми:

f=15;

fs=1000;

t=0:1/fs:1;

w=2*pi*f;

x=w*t;

y=square (x);

T=1;

a0=(1/T)*trapz (t, y);

a1 = (4/T) * trapz (t, y .* cos (x));

b1 = (4/T) * trapz (t, y .* sin (x));

a2 = (4/T) * trapz (t, y .* cos (2*x));

b2 = (4/T) * trapz (t, y .* sin (2*x));

s4 = a0+ a1*cos (x)+b1*sin (x) + a2*cos (2*x)+b2*sin (2*x);

plot (t, y,'black', t, s4,'r')

Отриманий графік:

Рис. 4

Апроксимація стандартного синусоїдального сигналу (4)

Текст програми:

f=15;

fs=1000;

t=0:1/fs:1;

w=2*pi*f;

x=w*t;

y=sin (x);

T=1;

a0=(1/T)*trapz (t, y);

a1 = (4/T) * trapz (t, y .* cos (x));

a2 = (4/T) * trapz (t, y .* cos (2*x));

b1 = (4/T) * trapz (t, y .* sin (x));

b2 = (4/T) * trapz (t, y .* sin (2*x));

s4 = a0+ a1*cos (x)+b1*sin (x) + a2*cos (2*x)+b2*sin (2*x);

plot (t, y,'black', t, s4,'r')

Отриманий графік:

Рис. 5

8 гармонік Апроксимація стандартного прямокутного сигналу (8)

Текст програми:

f=15;

fs=1000;

t=0:1/fs:1;

w=2*pi*f;

x=w*t;

y=square (x);

T=1;

a0=(1/T)*trapz (t, y);

a1 = (8/T) * trapz (t, y .* cos (x));

b1 = (8/T) * trapz (t, y .* sin (x));

a2 = (8/T) * trapz (t, y .* cos (2*x));

b2 = (8/T) * trapz (t, y .* sin (2*x));

s4 = a0+ a1*cos (x)+b1*sin (x) + a2*cos (2*x)+b2*sin (2*x);

plot (t, y,'black', t, s4,'r')

Отриманий графік:

Рис. 6

Апроксимація стандартного синусоїдального сигналу (8)

Текст програми:

f=15;

fs=1000;

t=0:1/fs:1;

w=2*pi*f;

x=w*t;

y=sin (x);

T=1;

a0=(1/T)*trapz (t, y);

a1 = (8/T) * trapz (t, y .* cos (x));

a2 = (8/T) * trapz (t, y .* cos (2*x));

b1 = (8/T) * trapz (t, y .* sin (x));

b2 = (8/T) * trapz (t, y .* sin (2*x));

s4 = a0+ a1*cos (x)+b1*sin (x) + a2*cos (2*x)+b2*sin (2*x);

plot (t, y,'black', t, s4,'r')

Отриманий графік:

Рис. 7

Апроксимація стандартного трикутного сигналу (8)

Текст програми:

f=15;

fs=1000;

t=0:1/fs:1;

w=2*pi*f;

x=w*t;

y=sawtooth (x);

T=1;

a0=(1/T)*trapz (t, y);

a1 = (8/T) * trapz (t, y .* cos (x));

a2 = (8/T) * trapz (t, y .* cos (2*x));

b1 = (8/T) * trapz (t, y .* sin (x));

b2 = (8/T) * trapz (t, y .* sin (2*x));

s4 = a0+ a1*cos (x)+b1*sin (x) + a2*cos (2*x)+b2*sin (2*x);

plot (t, y,'black', t, s4,'r')

plot (t, y,'black', t, s4,'g')

Отриманий графік:

Рис. 8

Висновок

На даній лабораторній роботі я навчилася будувати спектр найпростіших сигналів, на прикладі прямокутного, синусоїдального і трикутного, за допомогою ряду Фур'є. Побудувала графіки для кожного з цих сигналів відповідно до індивідуального завдання.