Аналіз нелінійного перетворення стаціонарного гауссівського випадкового процесу

1. Постановка задачі

математичний кореляційний одномірний відгук Задана нелінійна безінерційна система, характеристики якої не залежать від часу. Математичною моделлю системи є оператор, який називається амплітудною характеристикою системи. На вхід системи подається стаціонарний випадковий процес (вплив), що має гауссівський розподіл миттєвих значень з параметрами. Вихідним є процес, що називається відгуком системи (рис 1.1), який є стаціонарним випадковим процесом.

Рис 1.1.

Треба побудувати графіки можливих реалізацій вхідного та вихідного процесів, знайти одномірну функцію розподілу відгуку, його математичне сподівання, кореляційну функцію та проаналізувати отримані результати і зробити висновки.

2. Побудова графіків реалізацій вхідного та вихідного процесів

Оскільки система безінерційна, то миттєве значення вихідного процесу в довільний фіксований момент часу визначається значенням вхідного процесу в той же момент часу:

(2.1)

Визначимо діапазон практично можливих миттєвих значень вхідного процесу, для яких виконується умова:

(2.2)

Якщо вхідним є гауссівський стаціонарний випадковий процес, то для нього використовується правило «трьох «:

(2.3)

Згідно з (1.3) діапазон практично можливих значень:

(2.4)

Знайдемо діапазон практично можливих значень для заданих трьох значень математичного сподівання:

1) ;

2) ;

3) .

Вхідний процес отримаємо використовуючи таблицю чисел стандартної гауссівської випадкової величини. Для приведення стандартної гауссівської випадкової величини до випадкової гауссівської величини з необхідним математичним сподіванням і середньоквадратичним відхиленням використаємо формулу:

(2.5)

Для заданих трьох значень математичного сподівання розрахуємо 30 значень випадкової величини і розташуємо їх на вісі часу з кроком 0,1 секунда. Таким чином отримаємо три варіанти реалізації вхідного випадкового процесу.

Використовуючи відомий оператор системи, побудуємо графіки реалізацій вхідного () і вихідного () процесів.

1)

Діапазон можливих значень вихідного процесу:

2)

3. Розрахунок функції розподілу вхідного та вихідного процесів

За умовою вхідний процес є гауссівським випадковим процесом, тобто його функція розподілу визначається через функцію Лапласа за формулою:

(3.1)

Для заданих значень математично сподівання і середньоквадратичного відхилення знайдемо функції розподілу і побудуємо графіки:

1)

2)

3)

Знайдемо функцію розподілу вихідного процесу. Для заданої системи зворотною функцією є. Аналізуючи амплітудну характеристику системи (рис. 3.4) розглянемо два інтервали для :

1) При: .

2) При: ,

де

Тобто на цьому інтервалі функція розподілу має вигляд:

(3.2)

Остаточний вигляд для функції розподілу вихідного процесу:

(3.3)

Для заданих значень математичного сподівання і середньоквадратичного відхилення запишемо функції розподілу та побудуємо графіки:

1)

2)

3)

4. Розрахунок математичного сподівання вихідного процесу

Математичне сподівання вихідного процесу:

(4.1)

Для гауссівського вхідного процесу:

(4.2)

Підставивши (4.2) в (4.1) отримаємо:

. Введемо заміну:

. Тоді:

Для знаходження інтегралів скористаємося відомим співвідношенням:

(4.3)

Обчислимо значення математичного сподівання вихідного процесу для трьох значень математичного сподівання вхідного процесу:

5. Розрахунок кореляційної функції вихідного процесу

Для знаходження кореляційної функції вихідного процесу використаємо формулу:

(5.1)

де, а, за умовою.

Визначимо перші три коефіцієнта розкладу кореляційної функції в ряд. Для цього введемо заміну:

.

1)

Відомо, що. Тоді:

Використовуючи (4.3) отримаємо:

2)

Відомо, що. Тоді:

3)

Відомо, що. Тоді:

Наближені вирази для кореляційної функції та її графіки для трьох значень математичного сподівання:

1) :

:

2) :

Висновки

Розраховані практично можливі значення для вхідного і вихідного процесів для трьох значень математичного сподівання:

Отриманий загальний вираз для функції розподілу вихідного процесу:

Вираз для обчислення математичного сподівання вихідного процесу:

Визначені значення для математичного сподівання вихідного процесу для трьох значень математичного сподівання вхідного процесу:

Отримані вирази для перших трьох коефіцієнтів розкладу кореляційної функції вихідного процесу в ряд:

Наближені вирази для кореляційної функції вихідного процесу для трьох значень математичного сподівання вхідного процесу:

Література

1. Аналіз нелінійного перетворення стаціонарного гауссівського випадкового процесу. Методичні рекомендації до виконання курсової роботи з дисципліни «Теорія процесів та систем. Випадкові процеси» для студентів напрямку підготовки 50 803 — Акустотехніка / Уклад.: О. В. Гармаш, Т. А. Горовецька, О. І. Красильніков. — К.: ВЦ «Принт-центр», 2008. — 44 с.

2. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. — М.: Сов. Радио, 1982. — 624 с.

3. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей: Учебник. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с.

4. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. — М.: Сов. Радио, 1974. — 552 с.