Елементарні докази теорем Перрона і Маркова для 2x2 матриць (реферат)

Реферат на тему:

Елементарні докази теорем Перрона і Маркова для 2×2 матриць Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід'ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.

Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.

Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.

1. 1.Необхідні відомості з теорії матриць.

Матриця розмірів m x n — це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n стовпців. Позначається матриця так:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}& a_{m2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{mn}}\end{array}\right)$$.

Квадратною матрицею n-го порядку зветься матриця розміром n x n. Важливою числовою характеристикою матриці є її визначник, який позначається detA. Для 2×2 матриці $$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}\end{array}\right)$$ $$\text{det}A=a_{\text{11}}{a}_{\text{22}}-a_{\text{21}}{a}_{\text{12}}$$. Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо іх відповідні елементи однакові, що записують так: А=В.

З матрицями можна здійснювати такі операції:

1. 1.Множити на число.

Приклад: $$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -5& 6\end{array}\right),p=\frac{1}{2},\text{тоді}\text{pA}=\left(\begin{array}{cc}1& \frac{3}{2}\\ -\frac{5}{2}& 3\end{array}\right)$$.

1. 2.Додавати матриці однакових розмірів:

Приклад: $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}7& 4\\ 6& 5\end{array}\right),\text{тоді}A+B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}7& 4\\ 6& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 6\\ 8& \text{10}\end{array}\right)$$.

1. 3.Множити матриці:

Приклад: $$A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 7\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right),\text{тоді}\text{AB}=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\text{18}& \text{11}\\ \text{25}& \text{16}\end{array}\right)$$.

Взагалі, добутком матриці А розмірів m x r та матриці В розмірів r x n називається матриця С розмірів m x n, яка позначається АВ. Елемент cij цієї матриці - це сума попарних добутків елементів i-го рядка матриці А та елементів j-го рядка матриці В, а саме: $$c_{\text{ij}}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{\text{ir}}{b}_{\text{rj}}$$.

Якщо, А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна перемножити.

Квадратна матриця порядку n, у якої єлементи $$a_{\text{ii}}=\mathrm{1,}i=\mathrm{1,2,3,}\text{.}\text{.}\text{.},n$$, а інші елементи є нулями, називається одиничною матрицією порядку n. Однична матриця має таку властивість: АЕ=ЕА=А, де, А — квадратна матриця порядку n, Е — одинична матриця такого ж порядку.

Нехай, А — квадратна матриця, тоді матриця А-1 зветься оберненою до матриці А, якщо $$A{A}^{-1}=A^{-1}A=E$$.

Не в кожної матриці є обернена до неї, а саме А-1 існує тоді і тільки тоді, коли $$\text{det}A/=0$$ .

Беспосередньо можна первірити, що для.

$$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}\end{array}\right)A^{-1}=\frac{1}{\text{det}A}\left(\begin{array}{cc}{a}_{\text{22}}& -a_{\text{12}}\\ -a_{\text{21}}& a_{\text{11}}\end{array}\right)$$.

Визначення: Число азивається власним значенням n x n матриці А, якщо знайдется стовпчик $$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ {\text{xn}}_1\end{array}\right)/=0$$ такий, що АХ= При цьому Х називається власним вектором матриці А, що відповідає власному значенню /div>

Якщо власний вектор Х відповідає власному значенню то сХ, де с — const, також власний вектор, що відповідає Власне значення є коренем характеристичного рівняння $$\text{det}(A-\mathit{})=0$$. Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.

Визначення: Матриця, А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це позначається А>0.

Теорема Перрона: Нехай, А — додатна матриця, тоді А має додатне власне значення r>0 таке, що:

1. rвідповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний вектор.

2. інші власні значення по модулю < r.

3. власний вектор, що відповідає r, можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами).

Доведення теореми для 2×2 матриць.

Нехай $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),a,b,c,d>0$$ .

Тоді $$\text{det}(A-\mathit{})=\left(\begin{array}{cc}a-& b\\ c& d-\end{array}\right)$$ .

Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:

$$\text{det}(A-\mathit{})=(a-)(d-)-\text{cb}={}^2-(a+d)+\text{ad}-\text{cb}=0$$ .

Це квадратне рівніння з дискримінантом:

$$D=(a+d{)}^2-4(\text{ad}-\text{cb})=(a-d{)}^2+4\text{cb}>0$$.

І тому.

$${}_1=\frac{a+d+\sqrt{D}}{2}>0-{}_2=\frac{a+d-\sqrt{D}}{2}>0-$$.

Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r=/p>

Знайдемо власний вектор $$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$, що відповідає власному значенню з рівності.

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)={}_1\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$.

Тоді.

$$\begin{array}{c}{\text{ax}}_1+{\text{bax}}_2={\mathit{}}_1\\ {\text{cx}}_1+{\text{dx}}_2={\mathit{}}_2\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$, або $$\begin{array}{c}(a-{}_1)x_1+{\text{bx}}_2=0\\ (d-{}_1)x_2+{\text{cx}}_1=0\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Враховуючи, що.

$$\begin{array}{c}a-{}_1=\frac{2a-a-d\sqrt{D}}{2}=\frac{a-d-\sqrt{D}}{2},\\ a-{}_2=\frac{2d-a-d\sqrt{D}}{2}=\frac{d-a-\sqrt{D},}{2}\end{array}$$.

перепишемо систему у вигляді:

$$\begin{array}{c}\left(\frac{a-d-\sqrt{D}}{2}\right)x_1+{\text{bx}}_2=0\\ \left(\frac{d-a-\sqrt{D}}{2}\right)x_2+{\text{cx}}_1=0\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Але $$\frac{a-d-\sqrt{D}}{b}=\frac{c}{d-a-\sqrt{D}}$$ і тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з них можна відкинути.

Знайдемо x1 з першого рівняння системи $$x_1=\frac{2b}{d+\sqrt{D}-a}{x}_2$$.

Щоб довести, що власний вектор можна вибрати додатним, достатньо перевірити, що $$\frac{2b}{d-a+\sqrt{(a-d{)}^2+4\text{cb}}}>0$$, тому що поклавши отримаємо x1>0.

Враховуючи, що b>0 треба довести, що $$d+\sqrt{(a-d{)}^2+4\text{cb}}-a>0$$ ,.

але це випливає з того, що $$d-a<=|d-a|<\sqrt{(a-d{)}^2+4\text{cb}}$$, бо cb>0.

Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.

Визначення: Матриця, А n-го порядку зветься нерозкладною, якщо однаковим переставленням рядків та стовпців її не можна привести до виду $$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ A_2& A_3\end{array}\right)$$, де А1, А2 — квадратні матриці розмірів k x k та (n-k) x (n-k) відповідно. Для 2×2 матриць $$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}\end{array}\right)$$ це означає, що $$a_{\text{12}}/=0$$ та $$a_{\text{21}}/=0$$.

Визначення: Матриця, А зветься невід'ємною, якщо всі її елементи невід'ємні.

Зауваження: Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в силі для нерозкладних невід'ємних матриць. Це можна довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для 2×2 матриць у випадку, коли один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю.

Визначення: Квадратна матриця називається стохастичною, якщо.

1) $${}_{\text{ij}}>=0$$.

2) $$\underset{j}{\overset{}{}}{}_{\text{ij}}=\mathrm{1,}i$$.

Теорема Маркова: Нехай для стохастичної матриці P існує натуральне число k0 таке, що $${}^{k_0}>0$$ (тобто всі елементи додатні). Тоді.

1. $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{}^n\stackrel{\text{def}}{=}{}^{\mathrm{}}$$ (існування границі матриці означає, що існує границя кожного її елементу).

2. Матриця $${}^{\mathrm{}}$$ — має однакові рядки.

3. Всі елементи цих рядків додатні.

Доведення теореми для 2×2 матриць.

Запишемо стохастичну матрицю у вигляді $$=\left(\begin{array}{cc}1-p& p\\ q& 1-q\end{array}\right)$$, де $$0<=p<=\mathrm{1,0}<=q<=1$$.

Запишемо її характеристичне рівняння: $$(-\mathit{})=\left(\begin{array}{cc}1-p-& p\\ q& 1-q-\end{array}\right)$$ ,.

$$\text{det}(-\mathit{})=(1-p-)(1-q-)-\text{pq}={}^2+(p+q-2)+(1-p-q)=0$$.

Це квадратне рівняння з дискрімінантом:

$$D=(p+q-2{)}^2-4(1-p-q)=(p+q{)}^2$$.

І тому

$$\begin{array}{c}{}_1=\frac{-p-q+2+q+p}{2}=\mathrm{1,}\\ {}_2=\frac{-p-q+2-q-p}{2}=1-q-p\end{array}$$.

З урахуванням $$\begin{array}{c}0<=p<=1\\ 0<=q<=1\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ маємо $$|1-p-q|<=1$$, але якщо $$||=1$$, то це значить, що p=q=1 або p=q=0, відкіля матриця P буде мати вигляд $$=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$, або $$=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$ і тоді Pn містить нулі $$n$$, що суперечить умові. Таким чином $$|1-p-q|<1$$ .

Беспосередньою перевіркою з урахуванням стохастичності встановлюємо, що власному значенню $${}_1$$ відповідає власний вектор $$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$, де x1=x2, тобто, наприклад $$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$ власний вектор. Знайдемо власний вектор $$\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$$, що відповідає власному значенню $${}_2$$ .

За визначенням.

$$\left(\begin{array}{cc}1-p& p\\ q& 1-q\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)={}_2\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$$.

Звідки

$$\begin{array}{c}(1-p)y_1+{\text{py}}_2={}_2{y}_1\\ {\text{qy}}_1+(1-q)y_2={}_2{y}_2\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Згадуючи, що $${}_2=1-p-q$$ отримуємо.

$$\begin{array}{c}(1-p)y_1+{\text{py}}_2=y_1-{\text{py}}_1-{\text{qy}}_1\\ {\text{qy}}_1+(1-q)y_2=y_2-{\text{py}}_2-{\text{qy}}_2\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Очевидно, що рівняння системи пропорційні, тому одне з них можна відкинути. Знайдемо y1 з першого рівняння: $$(1-p)y_1+{\text{py}}_2=y_1-{\text{py}}_1-{\text{qy}}_1$$ або $$y_1-{\text{py}}_1+{\text{py}}_2=y_1-{\text{py}}_1-{\text{qy}}_1$$ звідки $${\text{qy}}_1+{\text{py}}_2=0$$, але $$q/=0$$, бо в протилежному випадку дана матриця мала б вигяд: $$=\left(\begin{array}{cc}1-p& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$, а тоді матриця $${}^n=\left(\begin{array}{cc}& \\ 0& \end{array}\right)$$ мала б нульовий елемент $$n$$, що суперечить умові. Тому можна записати, що $$y_1=\frac{-p}{q}{y}_2$$.

Доведемо тепер твердження 1 теореми.

Розглянемо матрицю S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам необхідно отримати зручну формулу для Pn.

Позначимо $$S=\left(\begin{array}{cc}1& y_1\\ 1& y_1\end{array}\right)$$ .

Оскілки $$\text{det}S=y_2-y_1=y_2+\frac{p}{q}{y}_2/=0$$, то існує S-1. Перепишемо рівняння $$=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$ та $$=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)={}_2\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$$ у матричній формі.

$$\mathit{}=S\left(\begin{array}{cc}{}_1& 0\\ 0& {}_2\end{array}\right)$$ або $$=S\left(\begin{array}{cc}{}_1& 0\\ 0& {}_2\end{array}\right)S^{-1}$$ .

Відкіля $${}^2=S\left(\begin{array}{cc}{}_1& 0\\ 0& {}_2\end{array}\right)S^{-1}S\left(\begin{array}{cc}{}_1& 0\\ 0& {}_2\end{array}\right)S^{-1}=S\left(\begin{array}{cc}{}_1^2& 0\\ 0& {}_2^2\end{array}\right)S^{-1}$$ і взагалі $${}^n=S\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {}_2^n\end{array}\right)S^{-1}$$.

Знайдемо границю Pn:

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{}^n=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}S\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {}_2^n\end{array}\right)S^{-1}=S\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}{}_2^n}\end{array}\right)S^{-1}=S\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)S^{-1}\stackrel{\text{def}}{=}{P}^{\mathrm{}}$$.

Твердження 1 теореми доведено.

Доведемо тепер, що рядки матриці $${}^{\mathrm{}}$$ однакові. Для цього обчиcлимо $${}^{\mathrm{}}$$ .

Оскільки $$S^{-1}=\frac{1}{y_2-y_1}\left(\begin{array}{cc}{y}_2& -y_1\\ -1& -1\end{array}\right)$$, то $${}^{\mathrm{}}=\left(\begin{array}{cc}1& y_1\\ 0& y_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\frac{1}{y_2-y_1}\left(\begin{array}{cc}{y}_2& -y_1\\ -1& -1\end{array}\right)=\frac{1}{y_2-y_1}\left(\begin{array}{cc}{y}_2& -y_1\\ y_2& -y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{y_2}{y_2-y_1}& \frac{-y_1}{y_2-y_1}\\ \frac{y_2}{y_2-y_1}& \frac{-y_1}{y_2-y_1}\end{array}\right)$$ Ми бачимо, що рядки матриці $${}^{\mathrm{}}$$ — однакові. Доведемо тепер, що їх елементи додатні. Для цього врахуємо отриману раніше залежність $$y_1=\frac{-p}{q_1}{y}_2$$.

Для того, щоб довести треба довести, що $${}^{\mathrm{}}>0$$, треба довести, що $$\frac{y_2}{y_2-y_1}>0$$ та $$\frac{-y_1}{y_2-y_1}>0$$ .

Маємо.

$$\frac{y_2}{y_2-y_1}=\frac{y_2}{y_2+\frac{p}{q}{y}_2}=\frac{1}{1+\frac{p}{q}}=\frac{q}{q+p}>0$$ ,.

$$\frac{-y_1}{y_2-y_1}=\frac{\frac{p}{q}{y}_2}{y_2+\frac{p}{q}{y}_2}=\frac{\frac{p}{q}}{1+\frac{p}{q}}=\frac{p}{q+p}>0$$, тому що p>0 і q >0.

Теорема доказана.

Зауваження1 В процесі доведення ми вивели, що для 2×2 матриць $${}^{\mathrm{}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{q}{q+p}& \frac{q}{q+p}\\ \frac{q}{q+p}& \frac{q}{q+p}\end{array}\right)$$.

Зауваження2 Позначимо $$p^{}=(p_1^{},p_2^{},\text{.}\text{.}\text{.},p_n^{})$$ рядки граничної матриці $${}^{\mathrm{}}$$. Тоді $$p^{}$$ можна знайти з умови:

$$\begin{array}{c}{p}^{}=p^{}\\ \underset{j}{\overset{}{}}{p}_j^{}=1\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Доведення.

Оскільки $$\underset{n->}{\text{lim}}{}^n={}^{\mathrm{}},\text{то}\underset{n->}{\text{lim}}{}^{n+1}={}^{\mathrm{}}$$.

Зівдки $${}^{\mathrm{}}\underset{n->\mathrm{}}{<-}{}^{n+1}={}^n\underset{n->\mathrm{}}{->}{}^{\mathrm{}}\text{=>}{}^{\mathrm{}}=$$.

Або $$\left(\begin{array}{cccc}{p}_1^{}& p_2^{}& \text{.}\text{.}\text{.}& p_n^{}\\ p_1^{}& p_2^{}& \text{.}\text{.}\text{.}& p_n^{}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ p_1^{}& p_2^{}& \text{.}\text{.}\text{.}& p_n^{}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{p}_{\text{11}}& p_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& p_{1n}\\ p_{\text{21}}& p_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& p_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ p_{n1}& p_{n2}& \text{.}\text{.}\text{.}& p_{\text{nn}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{p}_1^{}& p_2^{}& \text{.}\text{.}\text{.}& p_n^{}\\ p_1^{}& p_2^{}& \text{.}\text{.}\text{.}& p_n^{}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ p_1^{}& p_2^{}& \text{.}\text{.}\text{.}& p_n^{}\end{array}\right)$$.

Звідки $$(p_1^{}{p}_2^{}\text{.}\text{.}\text{.}{p}_n^{})=(p_1^{}{p}_2^{}\text{.}\text{.}\text{.}{p}_n^{})$$.

Зокрема, для 2×2 матриці $$\mathrm{:}(p_1^{}{p}_2^{})=(p_1^{}{p}_2^{})$$.

Умовою $$\begin{array}{c}{p}^{}=p^{}\\ \underset{j}{\overset{}{}}{p}_j^{}=1\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ рядок $$p^{}$$ визначається однозначно, що для 2×2 матриці можна перевірити.

В роботі дані для матриць другого порядку елементарні доведення таких фундаментальних теорем теорії невід'ємних матриць. як теореми Перрона, Перрона-Фробеніуса, Маркова.

У відомій нам літературі повне доведення цих теорем дається для загального випадку матриць n-го порядку з використанням неелемнтарних теорем і методів. А математичний апарат, який використовується в даній роботі, це: аналіз поведінки розв’язків квадратного рівняння та розв’язків системи двох лінійних рівнянь в залежності від коефіцієнтів.

Робота може бути використана при проведенні додаткових занять, присвячених розгляду вибраних неелементарних питань математики, за допомогою методів, які доступні школярам.

Список літератури:

1. 1.С. А. Ашманов. Математические модели и метод в экономике.

   МГУ. 1980.

2. 2.С. А. Ашманов.

   Введение

   в математическую экономику. «Наука» .

   М., 1984.

3. 3.Р. Беллман.

   Введение

   в теорию матриц. «Наука». М. 1969.

4. 4.Ф. Р. Гантмахер. Теория матриц. «Наука». М., 1967.

5. 5.Б. В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. «Наука». М., 1988.

6. 6.С. Карлин. Математические метод в теории игр, программирования и экономике. «Мир». М., 1964.

7. 7.Дж. Кемени, Дж. Скелл, Дж. Томпсон.

   Введение

   в конечную математику. Иностранная литература. М. 1963.

8. 8.П. Ланкастер. Теория матриц. «Наука». М. 1978.

9. 9.Ю. М. Свирежев, Д. О. Логофет. Устойчивость биологических сообществ. «Наука». М. 1978.

10. 10.В. Феллер.

    Введение

    в теорию вероятностей и ее приложение.

    Т1. «Мир» .М. 1984.

.