Формула повної ймовірності. 
Формула Байєса (реферат)

$$$$.

Умовна ймовірність того, що буде вилучена біла куля, при умові, що спочатку в урні не було білих куль, Р (А/H1)= $$\frac{1}{3}$$. Умовна ймовірність того, що буде вилучена біла куля, при умові, що спочатку в урні булa 1 білa куля, Р (А/H2)= $$\frac{2}{3}$$. Умовна ймовірність того, що буде вилучена біла куля, при умові, що спочатку в урні було 2 білі кулі, Р (А/H3)= $$\frac{3}{3}$$ =1. Шукану ймовірність того, що буде вилучена біла куля, знаходимо за формулою повної ймовірності.

.

Р (А) =Р (А/Н1) Р (Н1) + Р (А/Н2) Р (Н2) +Р (А/Н3) Р (Н3) = $$\frac{1}{3}$$. $$\frac{1}{3}$$ + $$\frac{1}{3}$$. $$\frac{2}{3}$$ + $$\frac{1}{3}$$ .1= $$\frac{2}{3}$$ .

Задача2. В урну, яка містить n куль, покладена біла куля, після чого навмання вилучена одна куля. Знайти ймовірність того, що вилучена куля буде білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення щодо початкового складу куль по кольру. Відповідь р= $$\frac{n+2}{2(n+1)}$$

.

.

Задача 3. В піраміді 5 гвинтівок, три які мають оптичний приціл. Ймовірність того, що стрілець влучить мішень при пострілі з гвинтівки з оптичним прцілом дорівнює 0,95;

для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що мішень буде влучена, якщо стрілець зробить один постріл з навмання взятої.

гвинтівки. Відповідь р=0,85.

Задача 4. З урни, яка містить 3 білі та 2 чорні кулі, перекладено 2 кулі в урну, яка містить 4 білі та 4 чорні кулі. Знайти ймовірність витягнути після цього з другої.

урни білу кулю. Відповідь р= $$\frac{\text{13}}{\text{25}}$$ =0,52.

Задача 5. В кожній із трьох урн міститься 6 чорних та 4 білі кулі. З першої урни навмання вилучена одна куля і перекладена в другу урну, після чого з другої урни навмання вилучена одна куля і перекладена в третью урну. Знайти ймовірність того, що куля, навмання вилучена з третьої урни буде білою. Відповідь р= $$\frac{4}{\text{10}}$$ .

Задача 6. Серед N eкзамінаційних білетів є n" щасливих «. Студенти підходять за білетами один за одним. У кого більше ймовірність взяти «щасливий «білет: у того, хто підійшов першим, чи у того, хто підійшом другим? Відповідь р = $$\frac{n}{N}$$ для того, хто.

підійшов першим, а також для того, хто підійшов другим.

Задача 7. В N урнах знаходиться відповідно n1, n2,…, n N кукь, зних білих-m1,m2,…, m N. Навмання обирають урну, а з неїкулю. Яка ймовірність того що ця куля виявиться білою? (Гіпотези Ні - вибрана урна з номером і (і=1,2,…, N). Відповідь.р= $$\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{}}\frac{m_i}{n_i}$$ .

Задача 8. У двох урнах знаходиться відповідно n1 та n2 куль, з них білих m1 і m2. З першої урни переклали в другу урну одну кулю, колір якої невідомо. Після цього з другої урни беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що ця куля біла?

Задача 9. Ймовірність надходження k визовів на телефону станцію за проміжок часу t дорівнює Р t (k). Вважаючи, що число викликів за довільні два сусудні проміжки часу незалежні, визначити ймовірність Р2 t (s) надходження s визовів за проміжок часу 2 t .

Задача 10. В урні n куль. Всі можливі припущення про кількість білих куль в урні рівноможливі. Навмання з урни беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що ця куля біла? Відповідь р = $$\frac{1}{2}$$ .

Задача 10. Два автомата виробляють одинакові деталі, які поступають на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більша продуктивності другого. Перший автомат виробляє в середньому 60% деталей відмінної якості, а другий — 84%.

Навмання взята з конвейєра деталь виявилась відмінної якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь вироблена першим автоматом.

Розв’язування Позначемо через, А подію — деталь відмінної якості. Можна зробити два пипущення (гіпотези): Н1 — деталь вироблена першим автоматом, причому (оскільки перший автомат виробляє вдвічі більше деталей, у порівнянні з другим) Р (Н1) = 2/3- Н2 — деталь вироблена другим автоматом, Р (Н2) =1/3.

Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона вироблена першим автоматом, Р (А/Н1) = 0,6.

Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона вироблена другим автоматом, Р (А/Н2) = 0,84.

Ймовірність того, що навмання взята деталь виявиться відмінної якості, за фор;

мулою повної ймовірності дорівнює.

Р (А) = Р (А/Н1) Р (Н1) + Р (А/Н2) Р (Н2) = 2/3 0,6 + 1/3 0,84 = 0,68.

Шукана ймовірність того, що взята деталь відмінної якості вироблена першим автоматом, за формулою Байеса дорівнює.

Р (Н1/А) = $$\frac{Р({Н}_1)Р(А/{Н}_1)}{Р(А)}=\frac{2/3\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,}\text{68}}=\frac{\text{10}}{\text{17}}$$ .

Задача 11. В піраміді 10 гвинтівок, з яких 4 мають оптичний приціл. Ймовірність того, що стрілець влучить мішень при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95- для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,8. Стрілець влучив мішень з навмання взятої гвинтівки. Що більш ймовірно: стрілець стріляв з гвинтівки з оптичним прицілом чи без нього? (р= $$\frac{\text{24}}{\text{43}}$$

— ймовірність того, що гвинтівка була без оптичного прицілу, р=.

$$\frac{\text{19}}{\text{43}}$$

— ймовірність того, що гвинтівка була з оптичним прицілом).

.

Задача 12. Число вантажних автомашин, які проїжджають по шосе на якому стоїть бензоколонка, відноситься до числа легкових машин, які проїжджають по тому ж самому шосе як 3:2. Ймовірність того, що буде заряжаться вантажна машина, дорівнює.

0, 1- для легкової машини ця ймовірність дорівнює 0,2. До бензоколонки підїхала для заправки машина. Яка ймовірність того, що це грузова машина? Відповідь р= $$\frac{3}{7}$$ .

Задача 13. Батарея з трьох гармат зробила залп, причому два снаряда попали в ціль. Знайти ймовірність того, що перша гармата дала попадання, якщо ймовірність попадання в ціль першою, другою та третьою гарматами відповідно дорівнюють.

р1=0,4 — р2=0,3- р3=0,5- Відповідь р= $$\frac{\text{20}}{\text{29}}$$ .

Задача 14. Урна містить n куль. Всі припущення про число білих куль в урні одинаково ймовірні. Навмання вийнята з урни куля виявилась білою. Обчислити ймовірністі всіх припущень про склад куль в урні. Яке припущення найбільш ймовірне? Відповідь р= $$\frac{2}{n+1}$$

.

.

Задача 15. Кожна з k1 урн містить m1білих і n1чорних куль, а кожна з k2 урн містить m2 білих і n2 чорних куль. З навмання взятої урни вийняли кулю, яка віявилася білою. Яка ймовірність того, що кулю взято з першої групи урн?

Задача 16. Три мисливці одночасно зробили по одному пострілу у медведя. Медведя вбито однією кулею. Яка ймовірність того, що медведя вбито першим, другим або третім мисливцем, якщо ймовірності влучення для них дорівнюють відповідно р1= 0,2;

p2=0,4- p3=0,6.

Розв’язування. Нехай Аі-ведмедя вбив і-тий мисливець, і=1,2,3- В-медведя вбито однією кулею. Р (В)=0,2 0,6 0,4+ 0,8 0.4 0,4+ 0,8 0,6 0,4= 0, 464;

Р (А1/B)= $$\frac{\mathrm{0,}\text{048}}{\mathrm{0,}\text{464}}=\frac{3}{\text{29}}$$ — Р (А2/B)= $$\frac{\mathrm{0,}\text{128}}{\mathrm{0,}\text{464}}=\frac{8}{9}$$ — Р (А3/B)= $$\frac{\mathrm{0,}\text{288}}{\mathrm{0,}\text{464}}=\frac{\text{18}}{\text{29}}$$ .

Задача 17. З урни, яка містить m білих (m $$$$ 3) і n чорних куль, згублено одну кулю. Для того щоб визначити склад куль в урні, з урни взяли дві кулі, які виявилися білими. Обчислити ймовірність того, що згублена кулябіла? (Відповідь р = $$\frac{m-2}{n+m-2}$$

).

.