Вычисление подвійних з дитинства інтегралів методом ячеек

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦИИ.

Чуваський державний університет ім. І. М. Ульянова.

КУРСОВА РАБОТА.

по обчислювальної математике.

Обчислення подвійних з дитинства інтегралів методом ячеек.

Виконав студент факультету ИиВТ,.

група ИВТ-11−00.

Борзов Леонид.

Чебоксары-2002.

Теоретическая часть…3 Задание…4 Текст програми. …5 Блок-схема программы…6 Виконання програми в математичному пакете…7 Список використаної литературы…8.

Теоретична часть.

Чисельні методи можна використовувати для обчислення кратних з дитинства інтегралів. Обмежимося розглядом подвійних з дитинства інтегралів вида.

I=[pic] (1).

Однією з найпростіших способів обчислення цього інтеграла є метод осередків. Розглянемо спочатку випадок, коли областю інтегрування G є прямокутник: [pic][pic], [pic]. По теоремі про середньому знайдемо середнє функції f (x, y):

[pic] S=(b-a)(d-c). (2) Вважатимемо, що середнє приближённо одно значенням функції в центрі прямокутника, т. е. [pic]. Тоді з (2) одержимо вираз для приближённого обчислення подвійного интеграла:

[pic] (3).

Точність цієї формули можна підвищити, якщо розбити область G на прямокутні осередки ([pic]ij (рис. 1): xi-1 [pic]i (i=1,2,…, M), yi-1 [pic]i (j=1,2,…, N). Застосовуючи до кожної осередку формулу (3), получим.

(((Gijf (x, y) dxdy ((([pic])(xi (yi. Підсумовуючи ці висловлювання за всі осередків, знаходимо значення подвійного интеграла:

[pic]I,[pic]j) (4).

У правій частині стоїть інтегральна сума; тому при необмеженому зменшенні периметрів осередків (чи стягування в точки) ця сума прагне до значенням інтеграла для будь-який безупинної функції f (x, y).

Можна показати, що похибка такого наближення інтеграла одній осередки оцінюється соотношением.

Rij ([pic](xi (yj[pic]. Підсумовуючи ці висловлювання за всі осередків і вважаючи всі ці площі однаковими, отримуємо оцінку похибки методу осередків у виде.

[pic]O ((x2+(y2).

Отже, формула (4) має другий порядок точності. Для підвищення точності можна використовувати звичайні методи згущення вузлів сітки. У цьому з кожної перемінної кроки зменшують в однакове число раз, т. е. ставлення M/N залишається постоянным.

Якщо область G непрямоугольная, то деяких випадках її доцільно призвести до прямокутному виду шляхом відповідної заміни змінних. Наприклад, нехай область задана як криволинейного четырёхугольника: [pic], [pic]. Цю область можна навести до прямокутному виду з допомогою заміни [pic], [pic]. З іншого боку, формула (4) то, можливо узагальнена і випадок складніших областей.

Завдання. Знайти з допомогою методу осередків значення інтеграла [pic], де [pic] - область, обмежена функціями [pic].

Текст програми. #include #include.

float f (float, float);

void main () { const float h1=.0005,h2=.001; float s1, x, y, i, I; clrscr (); s1=h1*h2; I=0; y=h2/2; x=1-h½; for (i=0;i.