Кореляційний аналіз

ЗАВДАННЯ НА КУРСОВЕ ПРОЕКТУВАННЯ Варіант № 5

1) Дослідити наявність лінійного зв’язку між вязкістю () та теплоємкістю (Ср).

2) Визначити значення параметрів при температурах: 475K, 315K, 675K.

3) Визначити, при якій температурі

а) теплоємкість (Ср) буде рівнятися 0,980 кДж/(кг· К);

б) коефіцієнт в’язкості () буде рівнятися 35· 10−6 Па· с.

Рекомендовані залежності:

Y=a+bX; Y=a+bX3; Y=a exp (bX); Y=a+b/x½.

РЕФЕРАТ В представлений пояснювальній записці міститься 41 сторінок друкованого тексту. Представлено 16 таблиць які містять в собі ісходні данні і результати обчислень. Також є програма написана на мові програмування Turbo. C для розрахунку сум експериментальних Х і Y, коефіцієнтів рівняння регресії а і b, а також коефіцієнта кореляції.

В даній курсовій роботі були проведені розрахунки з використанням різноманітних методів математичної обробки експериментальних даних. Був проведен аналіз результатів отриманих за допомоги різноманітних методів, а також були порівняні, методи якими ми користувалися в роботі, методи обробки експериментальних даних по простоті використання і по точності отриманих результатів. Був розрахован вибірковий коефіцієнт кореляції, характеризуючи силу лінійного кореляційного зв’язку між X та Y. З використанням методів параболічного інтерполювання і метода Лагранжа були розраховані значення фізичних величин в заданих не вузлових точках, результати отримані по заданим методам були співставленні і проаналізовані.

Ключові слова: кореляційний аналіз, лінійний регресійний аналіз, емпірична формула, інтерполяція, зворотня інтерполяція, формула Лагранжа ВСТУП Математичне опрацювання і аналіз результатів експерименту необхідні як студентам технічних вузів, так і інженерам-дослідникам і інженерам-технологам. Недостатнє знання ними сучасних методів математичного опрацювання та аналізу результатів експерименту викликає звичайно серйозні утруднення і призводить до застосування спрощених і недостатньо обґрунтованих прийомів. Це відноситься до питань добору емпіричних формул і оцінки їхніх параметрів, оцінки істинних значень величин, що вимірюються, і точності вимірів, дослідження кореляційних залежностей.

Виконуючи дану курсову роботу, студенти закріплюють навички практичного застосування основних методів опрацювання й аналізу результатів експерименту до різноманітних питань хімії і хімічної технології.

При виконанні курсової роботи використовуються як прикладні програми, які є в наявності в бібліотеці програм ХТФ (див. додаток 1,2,3), так і самостійно розроблені програмні продукти (див. додатки 4,5).

1. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

1.1 Кореляційний аналіз

Під кореляцією розуміється всякий зв’язок між двома або декількома досліджуваними явищами. Кореляція може бути детерміністичною або випадковою (імовірнісною). Перший тип зв’язку визначається строгими закономірностями, які описуються фізико-хімічними формулами. Другий тип зв’язку тільки передбачається, тому що відсутні теоретичні передумови, які свідчать про наявність такого зв’язку.

1.2 Лінійна кореляція

Як правило при кореляційному аналізі досліджуються тільки лінійні зв’язки між величинами, а статистичні критерії свідчать про наявність або відсутність передбачуваного лінійного зв’язку. Тому негативна відповідь при перевірці гіпотези про кореляцію може означати не тільки відсутність зв’язку, але і можливу наявність нелінійної залежності між досліджуваними величинами.

Для кількісної оцінки лінійної кореляції користуються вибірковим коефіцієнтом парної кореляції rxy — безрозмірною величиною до значень середніх квадратичних відхилень досліджуваних величин

rxy =. (1.1)

Коефіцієнт кореляції за абсолютною величиною не перевершує одиниці (|rxy| 1) і може приймати такі значення:

rxy = 0 — цей випадок відповідає відсутності зв’язку між x і y (рис. 1, а);

rxy = +1 — між x і y існує строгий позитивний лінійний зв’язок (рис. 1, б);

rxy = -1 — між x і y існує строгий негативний зв’язок (рис. 1, в);

— 1

Розмір коефіцієнта кореляції |rxy| служить тільки для оцінки тісноти лінійного зв’язку між величинами х і у: чим ближче абсолютна величина коефіцієнта до 1, тим зв’язок сильніше; чим ближче |rxy| до нуля, тим зв’язок менше. Якщо випадкові величини х і у пов’язані точною лінійною функціональною залежністю

у = xb (1.2)

то rxy =1. Знак «+» або «-» потрібно використати в залежності від знака коефіцієнту, а (а>0 або a<0).

Рис. 1.1 Кореляційна залежність між випадковими величинами х і у

Залежність коефіцієнта кореляції перевіряється по формулі:

H=|rху| (1.3)

при числі вимірів n до 10 для різноманітних значень надійності складають:

при Р = 0,9 H =1,65;

при Р = 0,95 H = 1,90;

при Р = 0,99 H = 2,29.

Якщо для емпіричного коефіцієнта кореляції rху H=|rxy| виявиться більше критичного значення H, то з надійністю Р слід відкинути гіпотезу про некорельованість аналізованих величин.

При інженерних розрахунках рівень довірчості Р=0,95 достатній.

Припустимо відомо, що випадкові величини x и y пов’язані лінійною кореляційною залежністю (обидві лінії регресії прямі). Для характеристики сили лінійного кореляційного зв’язку між величинами х і у по дослідним даним знаходимо вибірковий коефіцієнт кореляції

(1.4)

де Sх, Sу — вибіркові середні квадратичні відхилення

. (1.5)

Для практичного використання більш зручним є формули:

; (1.6)

; (1.7)

. (1.8)

Перевірка значущості коефіцієнта кореляції викладена вище.

1.3 Лінійний регресійний аналіз

Дослідження й оптимізація складних, неорганізованих систем можливі лише за допомогою рівняння регресії. Проте не завжди експериментальний матеріал дає можливість знайти зручний і точний вид моделі. У більш загальному випадку математична модель створюється на підставі статистичного методу — регресійного аналізу.

Рівняння регресії представляє математичну форму залежності фізичної величини, що досліджується, від факторів, що впливають на неї. Вибір того або іншого виду рівняння (що залежить від самого дослідника, який пропонує модель) визначає точність (адекватність), з якою модель описує в необхідних межах реальну дійсність. Методи регресійного аналізу дозволяють із декількох різноманітних по виду моделей вибрати найбільш адекватну. Регресійний аналіз зводиться до визначення на підставі експериментальних даних коефіцієнтів моделі (коефіцієнтів регресії), оцінки значущості величин цих коефіцієнтів і ступеня адекватності моделі.

При статистичній оцінці ступеня адекватності моделі експериментальним результатам найбільше часто використовують критерій величини квадрата відхилення цих результатів від розрахункових значень, отриманих на підставі даної моделі. Процедура оцінки значень коефіцієнтів регресії і адекватності, при якій квадрат відхилення є мінімальним, зветься методом найменших квадратів (МНК).

1.3.1 Метод найменших квадратів

Емпірична формула в загальному виді може бути записана так

= F (хi, aj) (1.9)

де хi — незалежні змінні, aj — коефіцієнти емпіричної залежності.

Відповідно до методу найменших квадратів найкращими будуть коефіцієнти, знайдені за умови:

min {R (aj)} = (i = 1, 2,…, n; j = 0, 1,…, m) (1.10)

тобто мінімуму суми квадратів відхилень між експериментальними (yi=f (xi)) і розрахунковими () значеннями.

При фіксованих значеннях xi функція R (aj) є позитивно визначеною функцією (заданою і неперервною на інтервалі [х1, хn]) і, отже має екстремум. Необхідною умовою існування екстремуму функції декількох змінних є рівність нулю частинних похідних.

На практиці, як правило, при визначенні коефіцієнтів по методу найменших квадратів будь-яку емпіричну залежність доцільно потрібно призвести до лінійного виду. Розглянемо одержання системи нормальних рівнянь для даної функції.

Потрібно визначити коефіцієнт емпіричної формули

=F (хi, a=a+bхi. (1.11)

Тоді вираз (1.10) прийме вид

R (aj, хi) = (yi — a + b • хi)2 (1.12)

Нормальна система для визначення a і b буде мати такий вид:

= 2 (yi — a + b • хi) • 1 = 0

= 2 (yi — a + b • хi) • хi = 0 (1.13)

Зробивши найпростіші перетворення, одержимо:

a • n + b • хi = yi

a • хi + b • хi2 = хi • yi (1.14)

Розв’язавши систему (1.14), одержуємо значення a і b. Підставивши їх у вираз (1.11), отримаємо вид емпіричної формули.

Коефіцієнти регресії b і a можна обчислити по формулах:

b =; (1.15)

a =. (1.16)

В усіх цих виразах коефіцієнти регресії визначаються на підставі вимірів, проведених у n експериментальних точках (n >2).

1.3.2 Аналіз рівняння регресії

Дисперсія адекватності моделі характеризує міру відхилення даних, отриманих розрахунком по рівнянню регресії (1.11) від реальних експериментальних результатів yi для i-ої точки, у якій проведено вимір. Значення знаходять по формулі

=, (1.17)

при числі ступенів свободи f = n — 2.

Після обчислення коефіцієнтів моделі a і b обчислюють дисперсії і, пов’язані з визначенням коефіцієнтів:

=;

=, (1.18)

при числі ступенів свободи f = n — 2.

Після обчислення дисперсій варто перевірити статистичну значущість a і b. Ця перевірка дає відповідь на питання про те, чи проходить пряма (1.11) через початок координат або ні, і чи відрізняється кут її нахилу від 450. Найбільше простим критерієм значущості для такої перевірки є критерій Стьюдента (t-критерій). Розмір критерію Стьюдента залежить від рівня довірчості Р і числа ступенів свободи f, тобто t = t (Р, f). Значення критерію Стьюдента для Р = 0,95 приведені в табл. 1.1.

Таблиця 1.1

Значення критерію Стьюдента для рівня довірчості Р = 0,95

де n — число дослідів, k — число констант, що визначаються із них.

Довірчі границі a і b для цих коефіцієнтів обчислюються за формулами:

a = t • Sa;

b = t • Sb. (1.19)

Коефіцієнти рівняння значущі, якщо виконуються умови a>a і b>b.

Після визначення коефіцієнтів регресії та оцінки їхньої значущості (по абсолютній величині) перевіряють адекватність самого рівняння регресії. Відхилення розрахункового значення від експериментального yi може мати місце або тому, що обрана модель недосконала, або внаслідок випадкових похибок. Тому статистична оцінка адекватності проводиться по F-критерію:

Fексп =, (1.20)

при числі ступенів свободи чисельника n-2, а знаменника n (m-1). Тут дисперсія відтворності при вимірі величини y або вибіркова дисперсія.

Значення критерію Фішера для рівня довірчості Р = 0,95 приведені в табл. 1.2.

Таблиця 1.2 Значення критерію Фішера для рівня довірчості Р = 0,95

де m — число паралельних дослідів.

Вибіркова дисперсія визначається при опрацюванні результатів паралельних вимірів yi у кожній точці по формулі:

(1.21)

Вибіркову дисперсію можна розрахувати, знаючи усереднену похибку вимірів. Коли не існує даних для визначення вибіркової дисперсії по результатам паралельних вимірів. У такому випадку, вибіркову дисперсію визначаємо по точності Р=2%. Середнє відхилення виміру у:

y = 0,02 уср = 0,02 (1.22)

При мінімальній кількості паралельних вимірів у кожній точці m=2 максимальне значення дисперсії відтворності складе:

= (1.23)

Якщо значення Fексп, отримане по формулі (1.20), менше табличного при обраному рівні значущості, то рівняння (1.9) адекватно описує експериментальні результати. Якщо Fексп > Fтабл, варто запропонувати інший вид рівняння і досліджувати нове рівняння регресії.

1.4 Представлення експериментальних даних формулами без використання МНК

Для розрахунків і оптимізації, як правило, замість табличних даних і графіків використовуються формули, що відбивають закономірності табличного або графічного матеріалу. Коли теорія процесу відсутня, дослідник змушений сам створювати математичну модель, тобто визначити її вид і обчислити коефіцієнти до неї. Найбільше коректно цю процедуру можна виконати з використанням МНК. Проте існують і інші достатньо прості способи підбору емпіричних рівнянь, основні з яких розглянуті нижче.

1.4.1 Вибір емпіричної формули. Метод вирівнювання

У деяких випадках доводиться підбирати формулу, порівнюючи криву, побудовану за даними спостережень, із типовими графіками формул. Такі графіки приведені в довідниках. Іноді виявляється, що емпірична крива схожа на декілька кривих, рівняння яких різні.

Тому, перед тим, як визначати чисельні значення коефіцієнтів в обраній емпіричній формулі, необхідно перевірити можливість її використання. Метод вирівнювання полягає в зміні функції y = F (x) таким чином, щоб перетворити її в лінійну функцію.

Досягається це шляхом заміни змінних х і у новими змінними X=q (x, y) і Y=g (x, y), що вибираються так, щоб утворилося рівняння прямої лінії

Y = a + b Х (1.24)

Обчисливши значення Xi і Yi по заданим xi і yi, наносять їх на графік (діаграму) із прямокутними координатами (X, Y). Якщо побудовані таким способом точки розташовуються поблизу прямої лінії, то обрана емпірична формула y=F (x) підходить для характеристики залежності y=f (x).

1.5 Визначення параметрів емпіричної формули

Як правило, пошук параметрів здійснюється для емпіричної формули, приведеної до лінійного виду.

1.5.1 Метод обраних крапок

Нехай емпірична формула має вид (1.24). Потрібно знайти значення коефіцієнтів, а і b.

Нанесемо на координатну площину дослідні точки (Xi, Yi). Як найближче до цих точок проводимо пряму (наближаюча пряма). На цій прямій вибираємо дві (по числу параметрів) довільні точки N1 (X1,Y1) і N2 (X2,Y2), не обов’язково збіжними з точками (Xi, Yi) і якнайдалі віддаленими друг від друга. Координати цих точок підставляємо в рівняння (1.24), одержуємо систему:

Y1 = a • X1 + b

Y2 = a • X2 + b (1.25)

Вирішуючи її, знаходимо, а і b.

1.5.2 Метод середніх

Нехай емпірична формула має вид (1.24). Підставимо у неї в місце Х і Y дослідні значення Xi і Yi. Оскільки ліва частина формули звичайно не дорівнює правої, одержимо систему рівнянь:

a • X1 + b — Y1 = E1;

a • X2 + b — Y2 = E2;

a • Xn + b — Yn = En; (1.26)

де Е1, Е2 ,…, Еn — відхилення, що можуть бути як позитивними, так і негативними.

Відповідно до методу середніх, за найкращу емпіричну залежність приймається та, що забезпечує нульове значення суми відхилень по всіх експериментальних точках, тобто алгебраїчна сума відхилень дорівнює нулю.

Для визначення параметрів, а і b формули (1.24) поступають таким чином:

Складають умовні рівняння Yi =a • Xi + b, число котрих m дорівнює числу значень Хi і Yi .

Умовні рівняння розбивають на приблизно рівні групи, число котрих n дорівнює числу коефіцієнтів, що потрібно визначити (у даному випадку — 2).

Рівняння, що входять у кожну з цих груп, складають. Для даного випадку одержуємо два рівняння:

= a • + k • b; (1.27)

= a • + (m-k) • b. (1.28)

З цих рівнянь знаходять невідомі коефіцієнти a і b.

Групувати рівняння треба в порядку монотонної зміни однієї з змінних.

1.6 Інтерполяція функцій

Інтерполяцію можна розглядати як процес визначення для даного аргументу х, який не потрапляє в таблицю экспериментальних значень, значення функції у=f (х) по її декількох відомих значеннях. Задача інтерполяції полягає в наступному. Потрібно побудувати функцію Рn (х) (інтерполюючу функцію), яка б приймала ті ж значення, що і функція f (х), яку ми визначаємо (що інтерпелюється), для вузлових значень аргументу х0, х1, …, хn.

У загалі залежність, якої підпорядковується функція, може бути апроксимована багаточленом ступеня n:

Рn (x) = y = a0 + a1 • x + a2 • x2 + … + an • xn. (1.29)

1.6.1 Параболічна інтерполяція

Для визначення коефіцієнтів багаточлена (2.1) необхідно мати n+1 вузлову точку. Аналітичне визначення коефіцієнтів інтерполяційного багаточлена для n+1 точки зводиться до рішення системи лінійних рівнянь n+1 порядку, кожне з яких являє собою вираз (2.1), записаний для визначеної вузлової точки

yi = a0 + a1 • xi + a2 • xi2 + … + an • xin, (1.30)

де i = 1, 2,... n+1.

Даним методом побудови інтерполяційного поліному зручно користуватися, маючи ЕОМ і відповідні програми. У бібліотеці прикладних програм ХТФ ОДПУ є програми для рішення систем лінійних рівнянь методами Гауса і Зейделя (gz.exe), якими можна користуватися при рішенні цієї задачі.

1.6.2 Метод Лагранжа

Даний метод не є єдиним способом побудови інтерполяційного поліному. Інший підхід, яким часто користуються на практиці, називається методом Лагранжа.

Нехай при х=х0, х1, …, хn функція f (х) приймає відповідно значення у0, у1,…, уn. Багаточлен ступеня не вище n, що приймає у вузлових точках задані значення, має вид:

Рn (х)=у= (1.31)

Цей багаточлен (2.3) називається інтерполяційною формулою Лагранжа і має такі властивості:

При заданій сукупності вузлових точок будова багаточлена можлива тільки єдиним способом.

Багаточлен Лагранжа може бути побудовано при будь-якому розташуванні вузлів інтерполяції (включаючи і нерівномірне).

1.6.3 Зворотна інтерполяція

Нехай функція у= f (х) задана таблицею. Задача зворотної інтерполяції полягає в тому, щоб по заданому значенню функції у визначити відповідне значення аргументу х.

Якщо вузли інтерполяції x0, x1, x2, … xn нерівновіддалені, задача легко вирішується за допомогою інтерполяційної формули Лагранжа (2.3). Для цього достатньо прийняти у за незалежну змінну, а х вважати функцією. Тоді отримаємо

x = (1.32)

2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

2.1. Лінійна кореляція між незалежною величиною х та залежною — у

Проведемо кореляційний аналіз і встановимо наявність лінійного звязку між експерименальними даними (вихідні дані 1). За допомогою прикладної програми mnk. exe (див. додаток 1, блок-схема цього метода представлена в 3437. ХТ3 125.005) розраховуємо використовуя х та у з табл. 2.1, получені дані знаходяться також в табл. 2.1.

Таблиця 2.1 Дані для розрахунку коефіцієнта кореляції

Коефіцієнт кореляції розраховується за формулою (1.1), використовуючи потрібні дані з табл. 2.1:

Значення коефіцієнта кореляції достатньо велике, щоб зробити висновок про наявність тісного лінійного зв’язку. Значимість коефіцієнта кореляції перевіряємо по значенню H за формулою (1.3):

H = 0,8556 = 2,2636

Для рівня довірчості 0,99 табличне значення Табл. = 2.29, H>Hтабл., отже коефіцієнт кореляції є значущим і гіпотеза про лінійний зв’язок x і y може бути прийнята з рівнем довірчості 0,99.

2.2 Лінійна кореляція між випадковими фізичними величинами і Ср Проведемо дослідження наявності лінійного звязку між двома випадковими фізичними властивостями. За допомогою прикладної програми mnk. exe розраховуємо, які приведені у табл. 2.2:

Таблиця 2.2

Вибірковий коефіцієнт кореляції для вязкості і теплоємністі визначимо за формулою (1.4), попередньо зробивши розрахунки за формулами (1.6−1.8):

;

Sx;

Sy;

r.

Коефіцієнт кореляції незначущий, тому що H =0,1817=0,6359 менше табличного для рівня значущості 0,95 (Hтабл=1,90). Таким чином, можна вважати недостатньо тісною лінійну залежність між вязкістю і теплоємкістю.

2.2 Знаходження коефіцієнтів для рівнянь лінійного виду та аналіз рівняння регресії

Для лінійної регресії (y = a + bx) визначаємо коефіцієнти нормальних рівнянь. Для цього за допомогою програми mnk треба знайти значення,. Вони знайдені раніше (дивись табл. 2.1).

Система нормальних рівнянь має вид

Знаходимо значення коефіцієнтів:

a = 22,2975; b =-8,9057

Лінійна регресія має вид:

= 22,2975+(-8,9057)X

По цьому рівнянню обчислюємо значення в кожній точці (табл. 2.3).

Таблиця 2.3

Перевіримо адекватність отриманої лінійної моделі та оцінимо її коефіцієнти.

Дисперсія адекватності моделі (по формулі 1.17):

= 56,3036/(8−2) = 9,3839

Для оцінки значимості коефіцієнтів рівняння регресії визначимо дисперсії і по рівнянню (1.18):

= = 4,8153

S = = 19,7126

Використовуючи формули (1.19) і обравши з табл. 1,1 значення критерію Стьюдента при n — k = 6, що дорівнює t = 2,45 знаходимо довірчі границі а і b.

а = 2,45 4,4399 = 10,8777

b = 2,45 2,1944= 5,3763

Так як по абсолютному розміру а? а, а b

Середнє відхилення виміру у

y = 0,02 уср = 0,02 = 0,0964

При мінімальній кількості паралельних вимірів у кожній точці m=2 максимальне значення дисперсії відтворності складе:

= 0,0185

Критерій Фішера по формулі (1.20)

Fексп= = 507,2378

Табличне значення критерію Фішера (Fтабл) знаходимо по числу ступенів свободи чисельника (S) і знаменника (S)

f1= n — k = 8 — 2 = 6,

де n = 8 — кількість експериментальних точок; k = 2 — кількість знайдених коефіцієнтів моделі; m = 2 — кількість паралельних вимірів у кожній точці (приймаємо мінімальне значення m = 2).

По табл. 1.2 F6,1 = 234. Оскільки Fексп>Fтабл, то лінійна модель неадекватна результатам експерименту. Це очевидно і по розмірах обчислених значень, що значно відрізняються від експериментальних.

2.3 Знаходження коефіцієнтів для рівнянь нелінійного виду та аналіз рівняння регресії

Розглянемо тепер рівняння нелінійної регресії y= а + bx3

Задану нелінійну залежність y=а + bx3 необхідно попередньо привести до лінійного виду. Зробимо заміну X = x3 отримаємо лінійну залежність:

y= a + bX

За допомогою програми mnk знайдемо значення Xi, yi, X, y, Xi yi (табл.2.4)

Таблиця 2.4 Результати обчислень для залежності y = a + bX

Знаходимо значення коефіцієнтів нормальних рівнянь:

8a + 13,8b = 50,4;

13,8a + 29,8b = 103,45;

b = 2,7377;

a = 1,577

Модель має вид :

= 1,577+2,738 X

По цьому рівнянню обчислюємо значення в кожній точці (табл. 2.4).

Розраховуємо дисперсію адекватності моделі:

S = = 0,59 295

Тепер для оцінки значимості коефіцієнтів рівняння регресії визначимо дисперсії і :

S = =0,0989;

S = =0,3647;

Знаходимо довірчі границі а і b:

a = 0,6039;= 1,4796

b = 0,3145= 0,77 298

Так як по абсолютному розміру, а >а и b>b, то коефіцієнти рівняння, а значущій і b значущі.

Отже, нелінійна залежність має вигляд :

= 1,577+2,738(x)½

По цьому рівнянню обчислюємо значення в кожній точці (табл. 2.5).

Таблиця 2.5

Розраховуємо дисперсію адекватності моделі:

S = = 0,3 601

y = 0,02*50,4/8=0,126

S = 2*(0,126)^2=0.0318

Критерій Фішера у даному випадку:

Fексп = = 1.1324

По табл. 2,2 F6,1 = 234. Оскільки Fексп

2.5 Параболічна інтерполяція Використовуючи метод параболічної інтерполяції визначимо необхідну ступінь поліному, його коефіцієнти і значення параметрів у зазначених невузлових точках по вихідним даним 2. Складемо по кожній заданій температурі для кожного параметру поліном починая з першого ступеню.

1) При Т=475К знайдемо, складемо поліном першого порядку. Для цього виберемо з таблиці експериментальних даних (див. вихідні дані 2) 2 точки між якими знаходиться задана Т. Та складемо систему нормальних рівнянь. Поліном першого ступеню прийме вид:

108=y=a0+a1x

де x=T.

Дві точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500;

y0=2795; y1=3012.

Система нормальних рівнянь прийме вид:

Рішати усі системи нормальних рівнянь ми будемо за допомогою прикладної програми GZ1. EXE (дивись додаток 2), зокрема і цю систему, коефіцієнкти якої приймуть значення:

a0=841,99; a1=4,34.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном першого ступеню 108=y=841,99+4,34x=2903,49, звідси =2903,49 Пас.

Ступінь поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо аналогічно попередньому прикладу.

Поліном другого ступеню прийме вид:

108=y=a0+a1x+a2x2;

Оберемо три точки найближче розташовані коло заданого х=Т=475

x0=450; x1=500; x2=550;

y0=2795; y1=3012; y2=3217.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1. EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=301,99; a1=6,62; a2= -0,0024.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном другого ступеню 108=y=301,99+6,62x+(-0,0024)x2=2904,99, звідси =2904,99Пас Тепер перевіримо похибку за формулою, коли <5, тоді даний поліном найменшого порядку нам підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі.

Так як <5, то поліном першого порядку при a0=841,99; a1=4,34 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=475К, =2903,4910Пас.

2) Аналогічно розраховуємо для Т=475К, =?

Починаємо з найменшої степені поліному:

104=y=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500;

y0=370; y1=404.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1. EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=366,63; a1=0,075.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном першого ступеню 104=y=366,63+0,075x=402,255, звідси =402,255 Вт/(мК) Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

104=y=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500; x2=550;

y0=370; y1=404; y2=439.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1. EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=109; a1=0,49; a2=0.19.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=530 у поліном другого ступеню 104=y=109+0,49x+0.19×2=384,61, звідси =384,61Вт/(мК) Так як <5, то поліном першого порядку при a0=366,63; a1=0,075; підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=475К, =402,255 Вт/(мК)

3) Аналогічно розраховуємо для Т=475К, Ср=?

Починаємо з найменшої степені поліному:

Ср=y=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500;

y0=0,957; y1=0,973.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1. EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=0,813; a1=0,32.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном першого ступеню Ср=y=0,813+0,00032x=0,965, де Ср=0,965 кДж/(кгК) Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

Ср=y=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500; x2=550;

y0=0,957; y1=0,973; y2=0,988.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1. EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=0,768; a1=0,0005; a2= -0.19.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном другого ступеню Cp=y=0,768+0,0005x+(-0.19)x2=0,963, де Ср=0,963 кДж/(кгК) Так як <5, то поліном першого порядку при a0=0,813; a1=0,32 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=475К, Ср=0,965 кДж/(кгК)

4) Аналогічно розраховуємо для Т=315К, =?

Починаємо з найменшої степені поліному:

108=y=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=300; x1=350;

y0=2057; y1=2321.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1. EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=472,9998; a1=5,28.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315 у поліном першого ступеню108=y=472,9998+5,28x=2136,19, звідси =2136,19Пас.

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

108=y=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=300; x1=350; x2=400;

y0=2057; y1=2321; y2=2566.

Складемо систему нормальних рівнянь За допомогою прикладної програми GZ1. EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=74; a1=7,75; a2= -0.0038.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315 у поліном другого ступеню 108=y=74+7,75x-0.0038×2=2138,19, звідси =2138,19 Пас.

Так як <5, то поліном першого порядку при a0=472,9998; a1=5,28 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=315К, =2136,19Пас

5) Аналогічно розраховуємо для Т=315К, =?

Починаємо з найменшої степені поліному:

104=y=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=300; x1=350;

y0=262; y1=299.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1. EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=40; a1=0.74.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315 у поліном першого ступеню 104=y=40+0.74х=273,1, звідси =273,1 Вт/(мК) Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

104=y=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=300; x1=3500; x2=400;

y0=262; y1=299; y2=334.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1. EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0= -2; a1=1; a2=0.39.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315 у поліном другого ступеню 104=y=(-2)+x+0.39×2=274,3, звідси =274,3Вт/(мК) Так як <5, то поліном першого порядку при a0=40; a1=0.74 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=315К, =273,1Вт/(мК)

6) Аналогічно розраховуємо для Т=315К, Cp=?

Починаємо з найменшої степені поліному:

Cp=y=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=300; x1=350;

y0=0,920; y1=0,929.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1. EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=0,866; a1=0.0001.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315 у поліном першого ступеню Cp=y=0,866+0.0001х=0,8975, де Ср=0,8975кДж/(кгК) Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

Cp=y=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=300; x1=350; x2=400;

y0=0,920; y1=0,929; y2=0,942.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1. EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=0,9492; a1=-0,34; a2=0,8.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315К у поліном другого ступеню Cp=y=0,9492+(-0,34)x-0.8×2=0,9222, де Ср=0,9222 кДж/(кгК) Так як <5, то поліном першого порядку при a0=0,866; a1=0,0001 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=315К, Ср=0,8975 кДж/(кгК)

7) Аналогічно розраховуємо для Т=675К, =?

Починаємо з найменшої степені поліному:

108=y=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=600; x1=650;

y0=3414; y1=3603.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1. EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=1146; a1=3,78.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=675 у поліном першого ступеню 108=y=1146+3,78x=3697,5, звідси =3,69 710−5 Пас.

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

108=y=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=600; x1=650; x2=550;

y0=3414; y1=3603; y2=3217.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1. EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=521,99; a1=5,78; a2=-0.0016.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=675 у поліном другого ступеню 108=y=521,99+5,78x+(-0.0016)x2=3694,49, звідси =3,69 410−5 Пас.

Так як <5, то поліном першого порядку при a0=1146; a1=3,78 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=675К =3,69 710−5 Пас

8) Аналогічно розраховуємо для Т=675К, =?

Починаємо з найменшої степені поліному:

104=y=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=600; x1=650;

y0=509; y1=473.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1. EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=40,99; a1=0,72.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=750 у поліном першого ступеню 104=y=40,99+0,72x=526,99, звідси =5,269 910−2 Вт/(мК) Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

104=y=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=600; x1=650; x2=550;

y0=473; y1=509; y2=439.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1. EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=197; a1=0,22; a2=0.39.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=675 у поліном другого ступеню 104=y=197+0.22x+0.39×2=523,99, звідси =5,239 910−2 Вт/(мК) Так як <5, то поліном першого порядку при a0=40,99; a1=0,72 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=675К =5,269 910−2 Вт/(мК)

9) Аналогічно розраховуємо для Т=675К, Cp=?

Починаємо з найменшої степені поліному:

Cp=y=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=650; x1=600;

y0=1,018; y1=1,004.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1. EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=0,8359; a1=0.28.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=750 у поліном першого ступеню Cp=y=0,8359+0.00028x=1,0249, де Ср=1,0249кДж/(кгК) Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

Cp=y=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=650; x1=600; x2=550;

y0=1,018; y1=1,004; y2=0,988.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1. EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=0,68; a1=0.78; a2=-0.39.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=750 у поліном другого ступеню Cp=y=0,68+0.00078x+0.39×2=1,0289, Ср=1,0289кДж/(кгК) Так як <5, то поліном першого порядку при a0=0,8359; a1=0.28 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=675К Ср=1,0249кДж/(кгК)

2.6 Метод Лагранжа Використовуючи метод Лагранжа знайдемо, і Ср при заданій T.

1)При Т=475К знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2. При рішені цієї задачи можна використати пркладну програму LAGRANG. EXE (див. Додаток 3), що ми і зробимо.

Оберемо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500;

y0=2795; y1=3012.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=475 та отримаємо такі результати 108=y=2903,5, де =2,90 310−5 Пас Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Оберемо три точки найближче розташовані коло заданого х=Т=530

x0=450; x1=500; x2=550;

y0=2795; y1=3012; y2=3217.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=475 та отримаємо такі результати 108=y=2905, де =2,90 510−5 Пас Тепер перевіримо похибку

Так як похибка <5, то візьмемо результати отримані за меншим рівнем порядку многочлену при Т=475К =2,90 310−5 Пас, тобто многочлен n=1 добре описує експериментальні дані на деякому відрізку.

2) При Т=475К знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500;

y0=370; y1=404.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=475 та отримаємо такий результат 104=y=387, де =3,8710−2Вт/(мК) Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500; x2=550;

y0=370; y1=404; y2=439

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=475 та отримаємо такий результат 104=y=386,875 де =3,8 687 510−2Вт/(мК) Так як похибка <5, то при Т=475К =3,8710−2Вт/(мК)

3) При Т=475К знайдемо Ср=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500;

y0=0,957; y1=0,973;

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=475 та отримаємо такий результат Ср=y=0,965, де Ср=0,965 кДж/(кгК) Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=450; x1=500; x2=550;

y0=0?957; y1=0,973; y2=0,988.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=475 та отримаємо такий результат Ср=y=0,9651, де Ср=0,9651 кДж/(кгК) Так як похибка <5, то при Т=475K Ср=0,965 кДж/(кгК)

4) При Т=315K знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=300; x1=350;

y0=2057; y1=2321.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=315 та отримаємо такий результат 108=y=2136,2, де =2,136 210−5 Пас Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=300; x1=350; x2=400;

y0=2057; y1=2321; y2=2566

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=315 та отримаємо такий результат 108=y=2138,1951, =2,138 210−5 Пас Так як похибка <5, то при Т=315K =2136,210−5 Пас

5) При Т=75 С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=0; x1=100;

y0=130.3; y1=227.9

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такий результат 104=y=203,500, де =2,3 510−2Вт/(мК) Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=0; x1=100; x2=200;

y0=130.3; y1=227.9; y2=352.4.

Введемо їх у програму та отримаємо такий результат 104=y=200,9781, де =2,9 710−2Вт/(мК) Так ак похибка <5, то при Т=75С =2,3 510−2 Вт/(мК) Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такі результати 104VII=199,31, де =199,31 Вт/(мК)

6) При Т=75 С знайдемо Ср=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількістькрапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=0; x1=100;

y0=1.44; y1=1.842.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такий результат Ср=y=1,7415, де Ср=1,7415 кДж/(кгК) Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=0; x1=100; x2=200;

y0=1.44; y1=1.842; y2=2.223.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такий результат Ср=y=1,7435, де Ср=1,7435 кДж/(кгК).

Так ак похибка <5, то при Т=75С Ср=1,7415 кДж/(кгК).

Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=75 та отримаємо такі результати СрVII=1,74, де Ср =1,74 кДж/(кгК)

7) При Т=750 С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=700; x1=600;

y0=2370; y1=2120

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат 108=y=2495, де =2,49 510−5Пас Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=700; x1=600; x2=500;

y0=2370; y1=2120; y2=1880

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат 108=y=2498,75, де =2,49 810−5Пас Так як похибка <5, то при Т=750С =2,49 510−5 Пас Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такі результати 108VII=2188,0105, де ?=2,1880 10−5Пас

8) При Т=750 С знайдемо =? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=700; x1=600;

y0=1330; y1=1081

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат 104=y=1454,5, де =14,54 510−2Вт/(мК) Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=700; x1=600; x2=500;

y0=1330; y1=1081; y2=864.1.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат 104=y=1466,5375, де =14,665 310−2Вт/(мК) Так як похибка <5, то при Т=750С =14,54 510−2Вт/(мК) Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такі результати 104VII=1432,7455, де =14,327 410−2Вт/(мК)

9) При Т=750 С знайдемо Ср=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

x0=700; x1=600;

y0=3.956; y1=3.608

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат Ср=y=4,13, де Ср=4,13 кДж/(кгК).

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

x0=700; x1=600; x2=500;

y0=3.956; y1=3.608; y2=3.273.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такий результат Ср=y=4,1349, де Ср=4,1349 кДж/(кгК) Так як похибка <5, то при Т=750С Ср=4,13 кДж/(кгК) Введемо у програму усі 8 експериментальних крапок (див. Вихідні дані 2), також введемо заданий х=Т=750 та отримаємо такі результати СрVII=4,0264, де Ср= 4,0264 кДж/(кгК) Таблиця 2.12 Сводна таблиця значень отриманих по метадам Лагранжу та параболічної інтерполяції

При заданій температурі ми знаходимо такі фізичні властивості як теплоємність, вязкість та, використовуючи такі методи обробки експериментальних даних, як метод параболічної інтерполяції і метод Лагранжу. Використовуючи перший метод відповідно виявили, що поліном першого ступеню підходить для описання експериментальних даних на деякому відрізку, розрахувавши коефіцієнти поліному знайшли при відповідному Т відповідне значення фізичної властивості. При використанні методу Лагранжа усі розрахунки робили на ВМС, на спеціальної прикладної програми LAGRANG.EXE. Починали з використання многочлена n=1, де використовується 2 точки найбільш близько розташовані коло заданої незалежної змінної. Вводимо до програми 2 точки, задану температуру, тобто незалежну змінну, та отримуємо результат відповідної фізичної властивості при заданій температурі. Аналогічно пророблюємо усе для многочлена n=2, де кількість точок повинна бути 3. Отримані результати по 2 і 3 точкам при заданій незалежній змінній порівнюємо, розраховуємо похибку і якщо вона буде менше 5, то многочлен n=1 нам підходить для описання експериментальних даних на деякому відрізку. Якщо ні, то порядок многочлена підвищуємо на 1, тобто вже потрібно використовувати 3 точки, і аналогічно розраховуємо далі. Отримані результати порівнюємо з попереднім результатом отриманим при використанні многочлена n=2. Розраховуємо похибку і робимо це до тих пір доки похибка не буде менша 5%, тоді многочлен меншого ступеню нам підійде. Уданому випадку многочлен n=1 добре підходить для всіх заданих незалежних змін (температур) для находження відповідних фізичних властивостей. Також до програми ми вводили 3 точок, тобто многочлен n=2, і ввели задану температуру, та отримали результати відповідних фізичних властивостей. Порівнявши отримані результати методом параболічної інтерполяції, де поліном 1 ступеню підходить для усіх заданих Т, і метод Лагранжу, де многочлен n=1 підходить для усіх заданих Т, також порівняли результати отримані методом Лагранжу, з використанням многочлена n=2, де кількість точок дорівнює 3 (дивись Табл. 2.12). Виявили, що результат в методі параболічної інтерполяції з використанням поліному першого ступеню і результати в методі Лагранжу з використанням многочлена n=1 практично однакові, (дивись Табл. 2.12), а в методі Лагранжу з використанням многочлена n=2 є вже деякі відхилення від метода параболічної інтерполяції.

2.7 Зворотна інтерполяція

1)Нам відомо залежна змінна Ср=0,980, а незалежну змінну Т=х треба знайти. Цю задачу можемо розвязати методом зворотної інтерполяцї. Припустимо, що y — незалежна змінна, а х вважати функцією. Тоді можемо скористатися формулою Лагранжа, а саме прикладною програмою LAGRANG.EXE. Тоді X=Cp, Y=T. Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

X0 =0,973 X1=0,988

Y0 =500 Y1=550

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Ср=0,980 та отримаємо такий результат T=Y=523,3334, де Т=523,3334К.

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

X0 =0,973 X1=0,988 X2=1,004

Y0 =500 Y1=550 Y2=600

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Ср=0,980 та отримаємо такий результат T=Y=523,7098, де Т=523,7098К.

Так як похибка <5, то при Ср=0,980 кДж/(кгК) Т=523,3334, тобто многочлен n=1 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі. Якщо порівнювати результати отримані при використанні многочлена n=1 і многочлена n=2, то грунтуючись на минулому досвіді (дивись виводи попереднього прикладу) можна сказати, що многочлен n=1 краще нам підходить для знаходження залежної змінної ніж многочлен n=2.

2) Аналогічно розраховуємо для 108=3500, а T=x=? Припустимо, що y — незалежна змінна, а х вважати функцією. Тоді можемо скористатися формулою Лагранжа, а саме прикладною програмою LAGRANG.EXE. Тоді 108=X; T=Y. Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:

X0=3414 X1=3603

Y0=600 Y1=650

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=108=3500 та отримаємо такий результат T=Y=622,75 163, де Т=622,7513К.

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:

X0=3414 X1=3603 X2=3217

Y0=600 Y1=650 Y2=550

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=108=3500 та отримаємо такий результат T=Y=622,5048, де Т=622,5048К.

Так ак похибка <5, то Т=622,7513К, тобто многочлен n=1 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі. Якщо порівнювати результати отримані при використанні многочлена n=1 і многочлена n=2, то грунтуючись на минулому досвіді (дивись виводи попереднього прикладу) можна сказати, що многочлен n=1 краще нам підходить для знаходження залежної змінної ніж многочлен n=2.

Висновок При виконанні першої частини курсової роботи з заданих експериментальних даних, був проведений кореляційний аналіз і встановлена наявність лінійного звязку між експериментальними даними (1). Коефіцієнт кореляції rxy=-0.97 є значимим і гіпотеза про наявність лінійного звязку х та у прийнята з рівнем довірчості 0,99. Досліджена наявність лінійного звязку між випадковими фізичними величинами (експериментальні дані 2). Коефіцієнт кореляції r=0.8745 значущій, тому що Н=2,31, також провели додаткові розрахунки де враховували незалежну зміну та випадкові велечини, ці додаткові розрахунки підтверджують кореляційний звязок між двома випадковими фізичними властивостями вязкістю і теплоємністю, отже існує сильна лінійна залежність. Виконаний лінійно регресивний аналіз і визначені коефіцієнти регресії з оцінкою значимості коефіцієнтів і довірчих інтервалів. Визначені адекватності отриманих моделей. Були отримані дві адекватні і дві неадекватні. Підібрали емпіричну формулу за допомогою методу вирівнювання (3437.ХТ3 125.ГЧ001) видно, що застосування залежності (1) доводить можливість опису експериментальних даних. Визначено параметри емпіричної формули за допомогою методу обраних точок і оцінена точність формули дорівнює 0,0678. За допомогою методу середніх отримана оцінка точності формули, сума квадратів відхилень дорівнює 0,5 611. Сума квадратів відхилень знайдених за допомогою методу найменших квадратів дорівнює 0,5 525. Порівнюючи результати, отримані при застосуванні трьох методів: обраних точок, середніх і найменших квадратів, найбільш точним, є метод найменших квадратів, тому що квадрат відхилень мінімальний.

При виконанні другої частини курсової роботи з експериментальними даними (2), використовуючи метод параболічної інтерполяції, визначимо необхідний ступінь полінома, його коефіцієнти і значеня параметрів у зазначених невузлових точках. Ступінь поліному дорівнює одиниці.

Аналогічні розрахунки виконали за допомогою методу Лагранжа.

Виявили, що результат в методі параболічної інтерполяції з використанням поліному першого ступеню і результати в методі Лагранжу з використанням многочлена n=1 практично однакові, (дивись Табл. 2.12), а в методі Лагранжу з використанням многочлена n=7 є вже деякі відхилення від метода параболічної інтерполяції. За заданим значенням функції визначила відповідне значення аргументу, використовуючи метод зворотної інтерполяції.

квадрат лагранж коефіцієнт кореляція

Література

Вычислительная математика в химии и химической технологии / С. В. Брановицкая, Р. Б. Медведев, Ю. Я. Фиалков. — Киев: Вища школа. Головне изд-во, 1986. — 216 с.

Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах / А. В. Крушевский, А. В. Беликов, В. Д. Тищенко — Киев: Вища школа. Головне изд-во, 1985. — 290 с.

Математическая обработка результатов эксперимента / Л. З. Румшинский М.: Наука, 1971. — 192 с.

Романенко В.Н., Орлов А. Г., Никитина Г. В. Книга для начинающего исследователя-химика. — Л.: Химия, 1987. — 280 с.

Додатки

Опис роботи прикладних програм.

1) Програма MNK. EXE (блок-схема представлена в 3437. ХТ3 125.ГЧ005) являє собою програму, призначену для обчислення суми експериментальних X та Y, а також коефіцієнтів рівняння регресії a і b. У ході програми потрібно ввести n-кількість експериментальних крапок, потім умовно уводяться відповідно значення X і Y. У результаті програма обчислює суми:, ,, , і коефіцієнти регресії a та b.

2) Програма GZ1. EXE служит для рішення системи лінійних рівнянь. У ході роботи програми потрібно задати кількість рівнянь у системі, значення перемінних n і вільний член цих рівнянь. Корень рівняння зберігаються у виді текстового файлу.

3) Програма LAGRANG. EXE (блок-схема представлена в 3436. ХТ3 125.ГЧ006) призначена для обчислення величини В (Х) у невузлових точках. У ході програми потрібно попарно ввести n-кількість вузлових точок, потім попарно ввести значення X і Y у вузлових точок і X для якого необхідно обчислити величину Y. У результаті ЕОМ видає значення величини Y=B (X) у невузловій точці.