Фракталы і автоколебания в геоморфосистемах

Фракталы і автоколебания в геоморфосистемах

Ю.В. Лялін, А. В. Поздняков Институт оптичного моніторингу ЗІ РАН, Томск Развитие цілісних систем, незалежно від своїх природи, забезпечується з допомогою надходження енергії і ті речовини з середовища проживання і виділення їх у середу. Динаміка різниці витрат речовини і у тих двох потоках в перебіг часу яких і визначає розвиток системи, а встановлення балансу речовини і на вході і виході системи характеризує її динамічно рівноважний режим. Отже, формування, розвиток виробництва і самоорганізація цілісних систем здійснюється через діалектичне взаємодія двох потоків речовини і енергії протилежної направленности.

Потоки енергії і ті речовини, формують природні системи, названі [1, 2] F-потоками, а потоки, викликають їх деградацію, — D-потоками. Дія F-потоков, формують систему, необоротно спрямоване до зростанню показників, характеризуючих систему: розміри, обсяг, а дію D-потоков призводить до їхнього зменшенню [1, 2]. Величина D-потока (витрата енергії і ті речовини в ньому) монотонно залежить від параметрів системи: що більше розміри системи, створюваній внаслідок дії F-потока, тим більше коштів величина D-потока; і навпаки, із зменшенням розмірів системи зменшується й розмір D-потока.

Рост розмірів систем, з наближенням до своїх граничним характеристикам, асимптотически загасає, через те, що обсяг витрати в D-потоке прагне він у F-потоке. Теоретично у кінцевому варіанті розвитку системи мають встановлювати баланс витрат речовини і в обох потоках, що характеризує стан динамічного (термодинамічної) рівноваги, чи граничного циклу системи. А практично, з постійно мінливих умов равзития системи та, отже, зміни витрат речовини в Fі D-потоках, цей стан будь-коли досягається, при об'єктивному щодо нього стремлении.

Фракталы в геоморфосистемах. У геоморфосистемах роль F-потока грає ендогенний потік речовини, створює первинну похилу поверхню. Вона піддається эрозионному розчленовані, у результаті створюється экзогенный литопоток речовини (D-поток) і формуються схили другий генерації. Ці схили знову расчленяются, із заснуванням схилів наступної генерації, тощо. У цьому крутість схилів наступної генерації зростає наступним образом:

.

где a — крутість схилу; j — ухил тальвега, базису ерозії.

Поскольку рельєф у процесі эрозионного розчленовування зберігає подобу, його вважатимуться фрактальным.

Рассмотрим приклад геоморфологического фрактального безлічі. Його побудова починається з рівнобедреного трикутника з кутом при підставі — це 0-е покоління. Далі з кожної бічний боці будується рівнобедрений трикутник з такою самою кутом. У результаті виходить наступне покоління. При нескінченному повторенні цього процесу одержимо фрактальное множество.

Важным властивістю фрактальных множин є подрібнена розмірність. За визначенням, розмірність Хаусдорфа дорівнює D=log (N)/log (f), де N — число частин, а f показує, скільки раз ціле більше частини. Бо за побудові фрактальной поверхні рельєфу кожному наступному кроці площа трикутника, характеризуючого поперечне перетин форми рельєфу, на чотири cos2(?) менше площі попередньої форми, з якій він отримано, то тут для нього N = 2, f = і, отже, розмірність D Хаусдорфа отриманого безлічі дорівнює D = log (2)/log.

.

Рис. 1. Фрактальная характеристика эрозионно расчленного рельєфу з 7 поколінь безлічі.

Вследствие фрактального характеру процесу эрозионного розчленовування, площа поверхні рельєфу можна знайти по формуле:

, (1).

где — площа поверхні форми рельєфу, не котру піддали эрозионному розчленовані, величина m>1 залежить від розмірності кордону поверхні.

Таким чином, процес эрозионного розчленовування і зростання площі поверхні, отже, і денудации є нелінійним, і з цих причин в геоморфосистеме виявляються автоколебания.

Механизм виникнення автоколебаний в геоморфосистемах. Поява F-потока речовини процес формування системи викликає кілька днів поява D-потока. Зі збільшенням розмірів системи мультиплікативно наростає і D-поток (рахунок збільшення площі P. S поверхні). Коли величина D-потока перевищить величину F-потока, зростання розмірів системи (обсягу, висоти тощо.) припиниться і почнеться їх зменшення. Принаймні зменшення розмірів системи знижуватимуться витрати речовини й у D-потоках. Коли її величина стане трохи менше витрат у F-потоке, знову розпочнеться зростання розмірів системи. Отже, динаміка системи має коливальний характер. Зазначимо, які зазвичай, внаслідок різноманітні причини, система «проскакує «становище рівноваги (тобто момент рівності F і D-потоков), у ній виникають автоколебания навіть за постійної величині F-потока.

Алгоритм формування рельєфу [3] представлено блок-схеме (рис. 2).

.

Рис. 2. блок-схема алгоритму формування рельєфу в результаті взаємодії Fі D-потоков V-объём речовини, ув’язненого в формах рельєфу; P і Q — обсяги речовини, що надходить відповідно эндогенном (F-) і экзогенном (D-) литопотоках Для дослідження зв’язок між механізмами освіти фракталів та механізм виникнення автоколебаний у певній системі, необхідно побудувати її математичну модель. Математичної моделлю реальної системи будемо вважати динамічну систему, понимаемую як відображення S (t, x) фазового простору, чи простору станів у себе та задаваемую рівнянням вида. Його є криві в фазовому просторі, чи фазові траектории.

Как було встановлено [4], фізичному поняттю автоколебаний відповідає математичне поняття граничного циклу. Можна показати, що фазові траєкторії у його околицях мають вигляд раскручивающихся чи скручивающихся спіралей, подібних зображеною на рис 3, наматывающихся на деяку замкнуту криву, що й називається граничним циклом.

.

Рис. 3. Граничний цикл і спиралевидныая фазовая траектория Однако ці спіралі лише прагнуть граничного циклу, нескінченно близько щодо нього наближаючись, але з перетинаючи его.

Таким чином, граничний цикл самоподобен, а поведінка автоколебательной системи фрактально.

В силу те, що швидкість зростання розмірів системи залежить з різниці F (t)-D (t), динаміку геоморфосистем, як та інших подібних систем, та розвитку на так само принципах, можна описувати уравнением:

, (2).

где — розміри системи; и— функції, які виражають швидкість зміни розмірів системы.

Если як розмірів системи брати обсяг речовини, укладеного у формах рельєфу, а ролі Fі D-потоков — обсяги ендогенного і денудируемоего матеріалу відповідно, одержимо з (2) таку систему рівнянь, описує динаміку рельєфу [3]:

(3).

где V — обсяг речовини, укладеного у формі рельєфу, м3; P — обсяг ендогенного матеріалу, м3/рік; Q — обсяг денудируемоего матеріалу, м3/рік; до — коефіцієнт денудации, м3 з м2/год;

— площа поверхні форми рельєфу з обсягом V, м3;— крутість форми рельєфу, радий.; — приріст висоти, м; — приріст площі підстави одиничної ширини, м2.

Если крутість форм рельєфу, приріст висоти та Європейська площа підстави постійні, то система рівнянь (3) линейна, і її фазовому просторі неспроможна існувати граничний цикл. Проте з урахуванням фрактального характеру процесу эрозионного розчленовування, система рівнянь моделі набуває вид:

(4).

Система рівнянь (4) є нелінійної, і її фазовому просторі може існувати граничний цикл [4]. Дослідження даної моделі можливе з використанням про чисельні методів. Замінюючи в (4) диференціальний оператор разностным, одержимо таку разностную схему:

(5).

Результаты розрахунків із застосуванням (5) показують, що становище рівноваги системи (4) є хистким, і фазові траєкторії в його околиці мають вигляд раскручивающихся спіралей. Оскільки витрата речовини в эндогенном литопотоке є кінцева величина, а обсяг денудируемоего матеріалу може бути менше нуля, то ці спіралі що неспроможні розкручуватися в нескінченність. Вони обов’язково почнуть намотуватися певну замкнуту криву і приймуть вид, такий зображеному на рис 3.

Таким чином, в фазовому просторі системи (4) існує граничний цикл, й у геоморфосистеме, моделлю якої вона є, можуть бути автоколебания.

Следует підкреслити, що став саме внаслідок фрактального характеру процесу эрозионного розчленовування система (4) стає нелінійної, і вже цим обумовлюється можливість виникнення автоколебаний в геоморфосистемах у цілому рух системи до стану динамічного рівноваги. Досягнувши його, вона, з зміни балансу витрат речовини в литопотоках, йде від цього, аби знову, після закінчення деякого часу, повернутися. Динаміку системи у стані можна порівняти з динамікою спіральної пружини маятника в годиннику — вона то стискається, то розтискається, перебувають у заданих межах. Що стосується рельфу, цю межу встановлюється F-потоком.

В реальності стан динамічного рівноваги будь-коли досягається, хоча прагнення нього об'єктивно, воно, можна сказати, іманентно властиво всім цілісним самоорганизующимся образованиям.

Поздняков А.В. Динамічний рівновагу в рельефообразовании. — М.: Наука, 1988. — 207 з.

Поздняков А.В. Стратегія російських реформ. — Томськ: Спектр, 1998. — 324 з.

Поздняков А.В., Лялін Ю.В., Тихоступ Д. М. Формування поверхні рівноваги і фрактальные співвідношення в эрозионном розчленування // Самоорганізація геоморфосистем (Пробл. самоорганізації. Вип. 3). — Томськ: ТНЦ ЗІ РАН, 1996. — З. 36−48.

Понтрягин К.С. Звичайні диференціальні рівняння. — М.: Наука, 1982. — 331 з.