Математичне опрацювання результатів вимірювань

Реферат на тему:

Математичне опрацювання результатів вимірювань.

Визначення статистичних параметрів розподілу на підставі побудови гістограми В звичайних умовах параметри розподілу визначаються при допомозі математичного опрацювання обмеженої кількості результатів спостережень, званої вибіркою. Множина результатів спостережень, з котрих зроблено вибірку, називається генеральною сукупністю результатів спостережень. При атестації засобів вимірювання виконують обмежену кількість вимірювань одного і того ж розміру, котру також називають вибіркою. Генеральною сукупністю в цьому випадку буде множина розмірів, котрі можна було б отримати даним вимірювальним засобом при дотриманні умов вимірювання, вказаних в інструкції з експлуа тації засобу вимірювання.

. При великих вибірках число інтервалів встановлюють залежно від кількості спостережень за такими рекомендаціями:

n r.

40−100 7−9.

100−500 8−12.

5000−10 000 10−16.

Довжину інтервалів зручніше вибрати однаковою. Але якщо розподіл має раптові стрибки в сусідніх інтервалах, то в області максимальної концентрації результатів спостережень належить вибирати вужчі інтервали. Ширина інтервалу має бути зручною для графічних робіт відносно поділок вздовж осі х. Нижню межу першого інтервалу не варто брати такою, як хmin, якщо вона не відповідає зручному положенню на осі х. При опрацюванні результатів слід віддати перевагу відхиленням розмірів, а не розмірам (для зменшення помилок при обчисленнях). Особливо великі помилки виникають при обчисленні моментів другого та вищих порядків.

Кількість розмірів m, що попали в заданий і-й інтервал за умовою.

(2.71).

— го інтервалу. Необхідно звернути увагу на те, що сума частот mi має дорівнювати кількості n, тобто.

. (2.72).

Відношення частоти mi до загальної кількості спостережень п називають частістю і позначають.

. (2.73).

Частість становить собою емпіричну оцінку ймовірності попадання результатів спостереження xj в j-й інтервал. Очевидно, що.

(2.74).

Для наочності емпіричний розподіл подають графічно у вигляді полігона, гістограми розподілу або ступінчастої функції розподілу.

Полігон будується так: на осі абсцис відкладають інтервали значень вимірюваної величини, в середині кожного із інтервалів відзначають ординати, пропорційні до частот або частостей, і ординати з'єднують прямими лініями. Вибираючи масштаби вздовж осей абсцис та ординат дотримуються співвідношення x2248 5:8, яке є найпоширенішим при зображенні кривих розподілу.

висота прямокутника буде пропорційною до емпіричної щільності ймовірностей.

(2.75).

і звідти проводять горизонтальну пряму до середини наступного інтервалу, де ордината знову зростає. Висота ординати в кожній точці відповідає емпіричній інтегральній функції розподілу.

(2.76).

— кумулятивною частотою. За допомогою гістограми розподілу можна розраховувати параметри розподілу, застосовуючи такі формули:

для середнього арифметичного.

(2.77).

для оцінки дисперсії.

(2.78).

для оцінки центрального моменту третього порядку.

; (2.79).

для оцінки центрального моменту четвертого порядку.

; (2.80).

а за початок відліку відхилень прийняти умовний нуль х0; він дорівнює середині інтервалу, який має найбільшу частоту mi.

Відносні відхилення yi будуть визначатись як віддаль від умовного нуля х0 до середини відповідного інтервалу та будуть виражатись додатними або від'ємними цілими числами: 0,1,2,3,4 і т.д.:

. (2.81).

Відносні початкові моменти визначаються тепер так:

початковий момент першого порядку.

; (2.82).

початковий момент другого порядку.

; (2.83).

початковий момент третього порядку.

; (2.84).

початковий момент четвертого порядку.

. (2.85).

Повертаючись до розмірності вимірюваної величини, отримаємо параметри розподілу:

; (2.86).

; (2.87).

; (2.88).

. (2.89).

Результати розрахунків відносних початкових моментів зручно звести в таблицю.

Визначення геометричної функції щільності розподілу.

Вигляд функції теоретичного розподілу вибирають, виходячи із передбачень про фізичну природу розсіювання результатів вимірювань. При цьому треба враховувати як загальні міркування про закон розподілу, так і вигляд графічних зображень емпіричного розподілу — полігона і гістограми. Знаючи форму кривої густини теоретичного розподілу і порівнюючи її з гістограмою, приймають попередній висновок про можливість використання конкретного вигляду теоретичного розподілу.

визначаючи значення густини ймовірності за формулою:

. (2.90).

) за формулою.

(2.91).

для конкретних значень ti, відкладемо ці значення на осі ординат в точках, що відповідають відхиленням.

. (2.92).

У випадку розбіжності теоретичної і емпіричної кривих розподілу, яке викликає сумніви щодо правильності гіпотези про закон розподілу, перевіряється узгодженість емпіричного і теоретичного розподілів.

Перевірка нормальності результатів спостереження.

. Вибирають критерій розбіжності між пропонованим теоретичним і емпіричним розподілами. Якщо така міра розбіжності переважає деяку границю, то гіпотеза відхиляється, як необгрунтована.

. За міру розбіжності приймається сума квадратів різниць частостей і теоретичних ймовірностей попадання результатів спостережень в кожний інтервал, взятих з деякими ваговими коефіцієнтами кожного інтервалу (розряду):

(2.93).

— частість, отримана із гістограми;

Р і— теоретична ймовірність попадання випадкової величини в даний інтервал:

. (2.94).

В практичних завданнях про перевірку нормальності розподілу значення Рі визначається з таблиці Д. 2. (Додаток 12) як:

. (2.95).

. Кількість ступенів свободи розподілу.

.

.

Якщо перевіряється гіпотеза про нормальність розподілу, то до числа цих зв’язків відносять:

.

Тому при визначенні нормальності розподілу s = 3.

і має такий вигляд:

(2.96).

— міра розбіжності в кожному інтервалі;

. (2.97).

.

виходить за межі вірогідного інтервалу, то гіпотеза відкидається, як несумісна з дослідними даними.

Необхідно розглянути широко вживане поняття «рівень значущості». Оскільки перевірка гіпотези базується на дослідних даних, то завжди можливими є помилки.

ця ймовірність буде.

. (2.98).

Але ми можемо допустити помилку другого виду, прийнявши дійсно невірну гіпотезу за вірну. Вирахувати ймовірність такої помилки, строго кажучи, неможливо, можна лише стверджувати, що при зменшенні помилки першого виду помилка другого виду збільшується. Звідси витікає висновок про недоцільність встановлення дуже високих значень вірогідностей.

така:

об'єднують з сусідніми. Кількість ступенів свободи при цьому зменшується.

котрі приймають за параметри теоретичного нормального розподілу.

3. Для кожного інтервалу знаходять ймовірності попадання в нього за формулою.

.

і додають їх значення.

.

Значення ступінчастої функції розподілу визначається за формулою.

(2.99).

збігається за ймовірністю з інтегральною функцією розподілу.

Оскільки змінна величина z визначається через результати спостережень як.

(2.100).

то zk і хk поєднані лінійною залежністю.

Отже, при нормальному законі розподілу точки хk і zk, що нанесені на графік в координатах х і z, повинні розміститися вздовж одної прямої лінії. Якщо ж отримано криву лінію, то гіпотеза про нормальність розподілу відкидається. Задача про те, наскільки допустимим є відхилення від прямої лінії тут не розглядається.

Виявлення грубих похибок Відомо, що грубими похибками називаються похибки, які значно переважають похибки, обгрунтовані умовами експерименту. Вважаємо, що всі результати спостереження мають однакову дисперсію. Проте окремі результати можуть здатися експериментатору підозрілими. Необдумане відкидання цих результатів може спотворити оцінку параметрів дійсного розподілу. Якщо експериментатор зауважив результат, що видався йому неправильним, і, крім того, знайшов причину промаху (помилкова дія, відчитування та ін.), то він може відкинути цей результат і провести додаткові вимірювання. Якщо причина не вияснена, то додаткові вимірювання належить провести, але відкидати підозрілий результат без перевірки статистичними методами не можна.

В такому разі припускають, що результат спостереження хі не містить грубої похибки, тобто є одним із значень випадкової величини х, розподіленої за законом Fx (xk), параметри якого попередньо визначені.

Підозрілими можуть бути або xmin, або xmax із всієї низки спостережень, тому для перевірки гіпотези визначають величину x03BD:

(2.101).

.

Сукупне опрацювання декількох низок спостережень В багатьох випадках результати спостережень можуть бути представлені декількома серіями, отриманими в різних умовах, наприклад, при допомозі різних засобів вимірювань. Тоді необхідно розв’язати два завдання: перше — перевірити рівноточність цих серій, і при негативному висновку (серія нерівноточна) — друге завдання — опрацювання нерівноточних результатів.

Розглянемо розв’язування першого завдання.

Для перевірки гіпотези про рівнорозсіяність спостережень застосовується розподіл Фішера, якому підкоряється співвідношення:

(2.102).

в котрому u і v є незалежними випадковими величинами, що підкоряються.

x03C72-розподілу з відповідно k1 і k2 ступенями свободи.

чи рівня значущості q, апріорно прийнятих при перевірці гіпотези про рівнорозсіяність дисперсій (див. таблицю Д. 6 в Додатку 12).

Умова прийняття гіпотези про рівнорозсіяність має такий вигляд:

(2.103).

отриманого із таблиці розподілу Фішера, це значить, що відмінність оцінок є незначною і вони є двома незалежними оцінками однієї і тої дисперсії.

Інший спосіб оцінки рівноточності дисперсій полягає в знаходженні вірогідних границь для істинної дисперсії D[x] за формулою (2.68). Нижню та верхню межі для D[x] знаходимо за формулами :

(2.104).

перекриваються, то вимірювання можна вважати рівноточними.

Взагалі, при наявності j груп результатів спостережень, оцінки параметрів розподілу визначаються для кожної j-ої групи.

Рівнорозсіяність груп спостережень перевіряється методами математичної статистики, відомими під загальною назвою дисперсійного аналізу. Це робиться в два кроки.

Коли воно є незначущим, то незначущою є і решта. Гіпотезу про рівноточність в цьому випадку вважають обгрунтованою, а дисперсії відносно середніх — однаковими. Якщо ж співвідношення є значущим, то гіпотезу відкидають і перевіряють співвідношення дисперсій інших груп спостережень.

Крок другий. При позитивному результаті першого кроку необхідно перевіряти гіпотезу про однаковість математичних сподівань у всіх групах.

При малій кількості груп спостережень для дисперсійного аналізу співвідношень дисперсії групової до дисперсії середнього арифметичного розподіл Фішера переважно не застосовують. В цьому випадку обчислюють величину t1−2 на підставі двох середніх арифметичних:

(2.105).

ступенями свободи, що асимптотично переходить в нормальний при великій кількості спостережень з математичним сподіванням М[t1−2]=0 і дисперсією D[t1−2]=1.

то гіпотеза про однаковість математичних сподівань приймається.

в групах ще не свідчить, що між іншими середніми відмінності також будуть незначущими. Причиною цього є відмінність дисперсій в окремих групах спостережень.

незначуще відрізняються одна від одної, то групи спостережень вважаються рівнорозсіяними. Це значить, що всі результати можна об'єднати і опрацьовувати як одну велику вибірку. Зрозуміло, що нові оцінки параметрів розподілу дозволяють мати більш певні результати вимірювання.

свідчить про те, що на формування результатів значно впливає якась причина або низка причин (факторів). Належить проаналізувати умови вимірювання, спробувати знайти причини систематичної похибки, визначити її значення та ввести поправку у відповідні результати. У випадку, коли відмінність дисперсій є значущою, а відмінність середніх арифметичних — незначуща, групи результатів називають нерівнорозсіяними.

Опрацювання нерівнорозсіяних низок спостережень Групи спостережень називаються нерівнорозсіяними (нерівноточними), якщо оцінки їх дисперсій значуще відрізняються одна від одної, а середні арифметичні є оцінками одного і того ж математичного сподівання.

Питання стоїть так: чи не можна об'єднати результати декількох груп спостережень, незважаючи на відмінність їх дисперсій.

Для демонстрації доцільності об'єднання результатів розглянемо приклад з результатами вимірювання, отриманими в двох рівноточних групах спостережень із різною кількістю спостережень n1 і n2.

Результат вимірювання в кожній групі буде записано так:

(2.106).

де x03C3хсереднє квадратичне відхилення, визначене наперед для даного методу та умов вимірювання. При об'єднанні всіх результатів в одну вибірку, отримаємо результат:

(2.107).

разів меншим від групового.

Розглянемо інший приклад, коли експериментатор має два результати вимірювання однієї і тієї ж величини, отримані різними вимірювальними засобами і в різних умовах. Щоби розв’язати це завдання вводиться поняття ваги результату кожного вимірювання та середньозваженого об'єднаних результатів вимірювань.

При застосуванні принципу максимальної правдоподібності, у відповідності до якого найкращою оцінкою для невідомого істинного значення буде така оцінка, ймовірність котрої є максимальна, визначається найкраща оцінка істинного значення за результатами j груп, яка має такий вигляд:

(2.108).

Величини, обернені до дисперсій результатів спостережень, називають вагами оцінок істинного значення вимірюваної величини. Позначивши ваги.

(2.109).

отримаємо середнє зважене.

(2.110).

.

Деколи застосовують безрозмірні відносні вагові коефіцієнти аj :

(2.111).

Тепер вираз для середнього зваженого набуде вигляду.

(2.112).

Дисперсія середнього зваженого визначається як обернена величина до суми ваг результатів вимірювання:

(2.113).

а його середнє квадратичне відхилення.

(2.114).

для нормованого нормального розподілу за заданою вірогідністю. При малих кількостях нормально розподілених результатів спостережень в групах для визначення tP користуються розподілом Стьюдента з числом ступенів свободи.

(2.115).

Якщо розподіли початкових даних невідомі, то на підставі центральної граничної теореми можна припустити, що розподіл середнього зваженого є нормальним, бо воно є сумою великої кількості випадкових величин з певними дисперсіями та математичними сподіваннями.

Опрацювання результатів опосередкованих вимірювань. Визначення сумарної похибки.

При опосередкованих вимірюваннях значення шуканої величини отримують на підставі відомої залежності, що пов’язує її з іншими величинами, які вимірюються безпосередньо (прямими вимірюваннями).

Розглянемо випадок, коли опосередковано вимірювана величина є сумою або різницею величин, визначених прямими вимірюваннями.

Нехай Z=X+Y. При одноразовому вимірюванні величин X та Y результат може бути записаний.

(2.116).

:

:

(2.117).

Математичне сподівання добутку випадкових похибок називається кореляційним моментом. Він визначає взаємозалежність відхилень X i Y. Кореляційний момент у рівняннях, що визначають сумарну дисперсію, виражають через коефіцієнт кореляції.

(2.118).

З врахуванням коефіцієнта кореляції рівняння () набуде вигляду.

. (2.119).

Нескладно показати, що для Z=X—Y.

. (2.120).

Коли ж дисперсії випадкових величин X та Y невідомі, то користуються їх оцінками.

(2.121).

де знак плюс відповідає умові (2.119), а знак мінус — умові (2.120).

Оцінки коефіцієнта кореляції обчислюють на підставі результатів спостережень початкових величин:

(2.122).

Коефіцієнт кореляції показує наскільки добре точки XiYi апроксимуються прямою лінією. Якщо нанести на графіку точки сумісного розподілу пар XiYi в координатах X i Y, то можна отримати чотири типи графіків, показаних на рис. 2.15.

Якщо rXY > 0 — додатня кореляція, то величини X i Y змінюються узгіднено в одному напрямку (рис. 2.15,а), тобто збільшення одної величини супроводжується зростанням іншої, і чим ближче rXY до одиниці, тим тісніше будуть лягати точки вздовж прямої лінії, котра визначає взаємозалежність величин X i Y (рис. 2.15,б).

Якщо rXY < 0, кореляція називається від'ємною (рис. 2.15,в), коли збільшення одної величини тягне за собою зменшення іншої.

Якщо r = 0 (рис. 2.15,г), величини X i Y є некорельованими, тобто вони незалежні. Тоді рівняння (2.119), (2.120) приймають вигляд.

. (2.123).

В загальному випадку опосередковано вимірювана величина становить собою якусь функцію.

(2.124).

Розглядаючи Z як функцію m змінних Xj, можемо записати її повний диференціал.

. (2.125).

Рис. 2.15. Вигляд кореляційних зв’язків величин X i Y.

Кожна із величин Xj виміряна з деякою похибкою x2206Xj. Вважаючи, що похибки x2206X є малими, можна замінити dXj на x2206Xj :

(2.126).

є частковою похибкою результату опосередкованого вимірювання, спричиненою похибкою x2206Xj визначення величини Xj. Часткові похідні носять назву коефіцієнтів впливу відповідних похибок. Варто зауважити, що хоч формула (2.126) є приблизною, оскільки враховує лише лінійну частину приросту функції, але в переважній більшості практичних випадків вона забезпечує задовільну точність оцінки похибок результатів опосередкованих вимірювань.

Систематичні похибки x2206mXj, якщо вони визначені або відомі, використовуються для визначення систематичної похибки x2206mZ із врахуванням їх знаків через підставляння в (2.126). Ця ж формула використовується і для визначення граничної похибки опосередковано вимірюваної величини за граничними похибками аргументів.

похибки x2206Z, прийнявши до уваги, (2.126):

(2.127).

де rij — коефіцієнти кореляції похибок всіх випробувань j та і, крім j=і.

Якщо похибки x2206Xj некорельовані, що найчастіше буває при незалежних вимірюваннях, то.

(2.128).

За оцінку опосередковано вимірюваної величини приймається величина, розрахована за такою формулою:

(2.129).

Зауважимо, що коефіцієнти впливу, наведені в формулах у випадку нелінійної функції F (.), залежать від значень величин Xj. Коефіцієнти впливу визначаються підставлянням відповідних параметрів у вираз для часткових похідних. Тому, коефіцієнти впливу визначені неточно, бо використовуються їх оцінки, а це є додатковим джерелом похибок. При експериментальному визначенні коефіцієнтів впливу також виникає похибка їх визначення.

Розглянемо два часткових випадки функції F.

Функція Z=F (.) є лінійною, наприклад,.

(2.130).

а оцінки похибок опосередковано вимірюваної величини набудуть такого вигляду:

(2.131).

Функція Z=F (.) піддається логарифмуванню, наприклад,.

(2.132).

де Yj — дійсні числа. Продиференціювавши цей вираз отримаємо:

(2.133).

Замінивши диференціали відповідними приростами та позначивши через x03B4 відносні похибки.

отримаємо відносну похибку величини Z.

(2.134).

Дисперсія випадкової відносної похибки визначається так:

(2.135).

— дисперсія випадкових відносних похибок прямих вимірювань значень Xj.

Критерій нехтовних похибок. Правила округлень.

При опрацюванні результатів спостережень всі проміжні обчислення треба виконувати, зберігаючи необхідну кількість значущих цифр і правильно округлювати результати і похибки вимірювань.Похибка результату вимірювання має бути виражена однією або двома значущими цифрами. Найменші розряди числових значень результату і похибки вимірювання мають бути одні і ті ж самі. Двома значущим цифрами похибка виражається: при точних вимірюваннях і коли в старшому розряді її числового значення стоїть цифра, не більша за три.

Похибку проміжних обчислень треба виражати не більше, ніж трьома значущими цифрами. Значущих цифр у результатах проміжних обчислень має бути на одну-дві більше, ніж у числовому значенні результату вимірювання. При такій умові похибки обчислень не спотворять числового значення результату вимірювання більше, ніж на половину одиниці найменшого розряду.

Результат вимірювання треба округлювати за такими правилами.

1.Найменший розряд числового значення округленого результату вимірювання повинен бути той самий, що й останній розряд числового значення похибки вимірювання. Наприклад 53,0138 при числовому значенні похибки 0,05 округлюється до 53,01.

2.Якщо перша (зліва направо) із цифр, що замінюються нулями (цілі числа) або відкидаються (десятковий дріб), менша за 5, то збережені цифри залишають без зміни. Наприклад, якщо треба зберегти три значущих цифри, то 123 429 округлюється до 123(103, а 12,3429×2500 до 12,3.

3.Якщо перша із цифр, що замінюється нулями або відкидається, менша за 5, то роблять округлення до парного числа (якщо остання цифра парна, то вона залишається без зміни, а якщо непарна, то збільшується на одиницю). Наприклад, якщо треба зберегти три значущі цифри, то 35 450 округлюється до 354(102, а 145,5×2500 до 146.

4.Якщо перша із цифр, що замінюються нулями або відкидаються, не менша за 5 і після неї йдуть цифри, відмінні від нуля, то останню цифру збільшують на одиницю. Наприклад, якщо треба зберегти три значущі цифри, то 12 560 округлюється до 126(102, а 30,651×2500 до 30,7.

Отже, найбільша відмінність в двох значущих цифрах, яка може бути при округленні, складає 5%.

При визначенні сумарної похибки випадкових похибок результат отримується за формулою.

для котрої справедливим є.

(2.136).

то такою похибкою можна знехтувати, бо отримана відмінність при округленні губиться, оскільки число 1,0499 приймається як 1. Звідси витікає умова.

(2.137).

Ця формула в метрології називається критерієм нехтовних похибок, а самі похибки називаються нехтовними, чи нехтовно малими. При великій кількості похибок за критерієм нехтовних похибок оцінюються суми квадратів часткових похибок:

(2.138).

Використання критерію нехтовних похибок при аналізі часткових похибок дає можливість виділити ті величини, які суттєво впливають на похибку результату. Підвищення точності вимірювання цих величин позволить зменшити сумарну похибку. Крім цього, можна навіть знизити точність тих вимірювань, похибки котрих мізерні, але, річ ясна, тільки тоді, коли це економічно доцільно.

Опрацювання сукупних та сумісних вимірювань При сукупних та сумісних вимірюваннях шукані значення фізичних величин G1, G2,…, Gm і отримані в і-ому досліді внаслідок прямих або опосередкованих вимірювань значення фізичних величин Ai, Bi зв’язані між собою рівняннями :

.

отримуємо рівняння.

(2.139).

де знак рівності має вже чисто умовний характер, бо отримані в результаті експерименту коефіцієнти, що входять у вираз () містять похибки. Тому рівняння типу () називають умовними.

Якщо рівняння (2.139) складені із однойменних величин, то вимірювання називають сукупними; якщо ж фізичні величини, що входять до рівняння, мають різні розмірності, вимірювання називають сумісними.

при котрих сума квадратів випадкових похибок буде найменшою, тобто в рівняннях.

(2.140).

Оскільки.

.

то вимогу мінімізації суми квадратів залишкових похибок можна записати у вигляді:

(.) досягне мінімуму в точці, де часткові похідні дорівнюють нулю. Тому оцінку фізичних величин Gj, що нас цікавлять, знаходимо із системи рівнянь.

j=1,2,…, m. (2.141).

Знаходження оцінок способом найменших квадратів, особливо при застосуванні, сучасної обчислювальної техніки створює можливість опрацювання великих масивів експериментальних даних, внаслідок чого точність знаходження оцінок може бути значно підвищена за рахунок кількості умовних рівнянь і, отже, кількості спостережень, до декількох десятків і навіть сотень.

При опрацюванні великої кількості спостережень вже можна визначити дисперсію випадкових похибок для рівняння оцінок результатів:

(2.142).

— похибки, що легко обчислюються після визначення Gj.

Один із найпоширеніших експериментів полягає в знаходженні функціональної залежності між величинами. Порівняно простим завданням є встановлення лінійної залежності між величинами, визначеними при сумісних вимірюваннях.

Розглядаються дві фізичні змінні величини x та y, котрі, як ми припускаємо, пов’язані лінійною залежністю.

(2.143).

При виконанні низки вимірювань отримаємо результати, на підставі котрих потрібно знайти рівняння прямої лінії, що найкращим чином апроксимує отримані результати. Ця задача може бути розв’язана графічно або аналітично при допомозі методу максимальної правдоподібності. Аналітичний метод визначення найкращої прямої лінії, яка апроксимує серію експериментальних точок, називається лінійною регресією, чи апроксимацією прямої методом найменших квадратів.

Задача зводиться до визначення коефіцієнтів рівняння регресії А і В:

(2.144).

що базуються на точках, визначених за результатами вимірювання. Отримана лінія називається лінією регресії y від x.

x.

в).

y.

x.

г).

y.

y.

x.

y.

x.

а) б).