Проявление симетрії у різних формах материи

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНІВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ.

Інститут інформаційних системам управління Спеціальність: Документоведение і Документационное забезпечення управления.

Р Є Ф Є Р, А Т на задану тему: Прояв симетрії у різних формах материи Выполнен студентом: Кошелев А.І. Студентський квиток №: 121−00 Група: I — 1 Дата виконання роботи: Керівник: Горбатова Р.К.

Москва 2000 г.

1. Зміст 2.

2. Запровадження 3.

3. Види симетрій 5.

4. Наука кристалографія 7.

5. Симетрія фізичних явищ 9.

5.1 Симетрія в механіці 9.

5.1.1 Однорідність простору 10.

5.1.2 Изотропия простору 11.

5.1.3 Однорідність часу 12.

6. Симетрія на живу природі 14.

6.1 Біологічні дробу 15.

7. Укладання 17.

8. Література 18.

Симетрія є фундаментальним властивістю природи, уявлення про якому, як зазначав академік У. І. Вернадський (1863—1945), «слагалось в протягом десятків, сотень, тисяч поколінь ». «Вивчення археологічних пам’яток показує, що біля підніжжя своєї культури мало уявлення про симетрії і здійснювало їх у малюнку й у предметах побуту. Швидше за все, що «застосування симетрії в первісному виробництві визначалося як естетичними мотивами, але у відомої мери і упевненістю людини у більшої придатності для практики правильних форм ». Це слова іншого нашого чудового співвітчизника, присвятив вивченню симетрії все своє довге життя, академіка А. У. Шубнікова (1887—1970). — Початковий поняття про геометричній симетрії як і справу гармонії пропорцій, як «про «домірності», як і означає у перекладі грецького слово «симетрія», з часом набуло універсальний характері і було осмислене як загальна ідея інваріантності (т. е. незмінності) щодо деяких перетворень. Отже, геометричний об'єкт чи фізична явище вважаються симетричними, якщо з ними зробити щось таке, після що вони залишаться незмінними. Наприклад, п’ятикутна зірка, будучи повернена на 72° (360°: 5), займе початкове становище, а ваш будильник однаково дзвенить у будь-якому розі кімнати. Перший приклад дає поняття одного із видів геометричній симетрії — поворотною, а другий ілюструє важливу фізичну симетрію — однорідність і ізотропність (рівнозначність усіх напрямів) простору. Завдяки останньої симетрії все фізичні прилади (зокрема і будильник) однаково працюють у різних точках простору, якщо, звісно, не змінюються оточуючі фізичні умови. Легко уявити, яка б панувала Землі плутанина, якби та симетрія була нарушена!

Отже, як симетричні форми оточують нас всюди, але й які самі різноманітні фізичні й біологічні закони гравітації, електрики і магнетизму, ядерних взаємодій, спадковості пронизані загальним всім них принципом симетрії. «Новим у науці стало не виявлення принципу симетрії, а виявлення його загальності», — писав Вернадський. Справді, ще Платон мислив атоми чотирьох стихій — землі, води, вогню й повітря — геометрично симетричними як правильних багатогранників. І хоча б сьогодні «атомна фізика» Платона здається наївною, принцип симетрії і крізь дві тисячі залишається основним принципом сучасної фізики атома. Упродовж цього терміну наука пройшла цей шлях від усвідомлення симетрії геометричних тіл до розуміння симетрії фізичних явлений.

Отже, в сучасному розумінні симетрія — це общенаучная філософська категорія, характеризує структуру організації систем. Найважливішим властивістю симетрії є збереження (инвариантность) тих чи інших ознак (геометричних, фізичних, біологічних тощо. буд.) стосовно до цілком певним перетворенням. Математичним апаратом вивчення симетрії сьогодні є теорія груп, і теорія инвариантов.

Види симметрий.

На відміну від мистецтва чи техніки, краса у природі не створюється, а лише фіксується, виражається. Серед безконечної різноманітності форм живий і неживої природи багато зустрічаються такі скоєні образи, чий вид незмінно приваблює нашу увагу на. До таких образів ставляться деякі кристали, багато растения.

У конформной (кругової) симетрії головним перетворенням є інверсія стосовно царини. Для простоти візьмемо коло радіуса R з центром у точці O. Інверсія цього кола окреслюється таке перетворення симетрії, яке будь-який пункт P переводить в точку P ", що лежить на продовженні радіуса, який струменіє через точку P з відривом від центра:

OP «=R2 / OP.

Конформная симетрія має великий спільністю. Усі відомі перетворення симетрії: дзеркальні відображення, повороти, паралельні зрушення є лише окремі випадки конформной симметрии.

Головна особливість конформного перетворення у тому, що його завжди зберігає кути постаті і сферу і завжди перетворюється на сферу іншого радиуса.

Відомо, що кристали будь-якого речовини може мати самий різний вид, але кути між гранями завжди постоянны.

Поміркуємо про дзеркальній симетрії. Легко встановити, кожна симетрична пласка постать може бути із допомогою дзеркала сполучена самотужки над собою. Гідно подиву, такі складні постаті, як п’ятикутна зірка чи рівносторонній п’ятикутник, теж симетричні. Як це у складі осей, вони різняться саме високої симетрією. І навпаки: негаразд просто зрозуміти, чому така, начебто, правильна постать, як скіс паралелограм, несиметрична. Спочатку представляється, що паралельно одній з його сторін міг би проходити вісь симетрії. Але варто подумки спробувати скористатися нею, як відразу переконуєшся, що це так. Несиметрична і спираль.

Тоді як симетричні постаті цілком відповідають своєму відображенню, несиметричні відмінні від цього: з спіралі, закручивающейся справа-наліво, у дзеркалі вийде спіраль, закручивающаяся зліва направо.

Якщо ви хоч помістіть літери перед дзеркалом, розмістивши його паралельно рядку, то помітите, що їх, які мають вісь симетрії проходить горизонтально, можна прочитати й у дзеркалі. І це ті, які мають вісь розташована вертикально або відсутня зовсім, стають «нечитабельными».

Існують мови, у яких накреслення знаків спирається на наявність симетрії. Так було в китайської писемності ієрогліф означає саме справжню середину.

Архітектура осі симетрії використовують як способи вираження архітектурного задуму. У техніці осі симетрії найчіткіше позначаються там, де потрібно оцінити відхилення від нульового становища, наприклад на рулі вантажівки чи штурвалі корабля.

Симетрія проявляється у різноманітних структурах і явищах неорганічної світу і живий природи. На світ неживої природи зачарування симетрії вносять кристали. Кожна сніжинкаце маленьке кристал замерзлій води. Форма сніжинок може дуже різноманітної, але вони мають симетрією — поворотною симетрією 6-го порядку й, ще, дзеркальній симметрией.

Хіба таке кристал? Тверде тіло, мають природну форму багатогранника. Характерна риса тієї чи іншої речовини полягає у сталості кутів між відповідними гранями і ребрами всім образів кристалів однієї й тієї ж вещества.

Гвинтова симетрія. У просторі існують тіла, які мають гвинтовій симетрією, тобто. совмещаемые зі своїми початковою становищем після повороту на будь-якої кут навколо осі, доповненого зрушенням вздовж тієї ж осі. Якщо цей кут поділити 360 градусів — раціональне число, то поворотна вісь виявляється також віссю переноса.

Наука кристаллография.

На середину XVII століття вивченні зовнішньої форми кристалів скінчився період накопичення експериментальних даних. Була вивчена форма багатьох конкретних мінералів і формулирован закон сталості кутів між гранями. Цей Закон мав дуже важливого значення поширення на кристали ідеї симетрії. Справді у світі дуже багато кристалів кожного виду мінералів. Зовнішній їхній вигляд різний: тільки в кристалів межі добре розвинені, в інших деякі межі відсутні зовсім, третіх одні межі розвинені, інші - немає. Які ж тоді дізнатися однакові ці кристали зі своєї природі чи ні? Ось і допомагає закон сталості гранных кутів. Необхідно виміряти кути поміж усіма гранями кристалів, як між добре розвиненими, і між невідь що розвиненими, і якщо вони виявляться однаковими, то ці кристали належать одному минералу.

Кути між гранями кристалів мінералу як його паспорт, якісь константи. Користуючись ними, можна побудувати ідеальний кристал даного мінералу, яка має всі грані дома і однаково добре розвинені. Це теж якийсь еталон даного мінералу, а реальні кристали будуть у тієї чи тієї іншою мірою наближатися щодо нього. Форма кристалла-эталона — це форма якогось геометричного тіла, багатогранника, і її вже можна вивчати, не боючись, що якихось граней бракуватиме, інші межі виявляться зайвими. Тут форма кристала постає як в ідеалізованому вигляді, вона очищена від України всього випадкового і привходящего.

Усе це прискорило розпочати першим серйозним узагальнень, що призвело до виникнення самостійної науки — кристалографії, що вивчає освіту, властивості і зовнішню форму кристалів. Створення кристалографії пов’язаний з ім'ям француза Жана-Батіста Ромэ-Делиля (1736−1790).

Насамперед Ромэ-Делиль підкреслював правильну геометричну форму кристалів з закону сталості кутів поміж їхніми гранями. Він: «До розряду кристалів стали відносити всі тіла мінерального царства, для яких знаходили постать геометричного багатогранника…» Правильна форма кристалів виникає з двох причин. По-перше, кристали складаються з елементарних частинок — молекул, які самі мають правильну полиэдрическую форму. По-друге, «такі молекули мають чудове властивість з'єднуватися між собою у симетричному порядке».

Остання фраза нас досить важлива. Адже це перше по часу застосування ідеї симетрії до кристалам. Щоправда, вони стосуються не симетрії зовнішньої форми, яку ми сьогодні говоримо, а належить до розташуванню полиэдрических молекул в кристалі. Але від прийняття цього важливість узагальнення Ромэ-Делиля зовсім на зменшується. Навпаки, описуючи розташування молекул в кристалі як симетричний. Ромэ-Делиль цим мовчазно думав, як і зовнішня форма кристала — слідство такого розташування — теж симетрична. У цьому під симетрією зовнішньої форми кристала слід було розуміти закономірне розташування його однакових граней, ребер і вершин в пространстве.

Вивчаючи закони зовнішньої форми кристалів, Ромэ-Делиль виділив у ролі основних п’ять форм: тетраэдр, куб, октаэдр, ромбоэдр і гексагональную діпіраміду. Він помилково думав, що форми решти кристалів можна отримати гроші з цих основних форм.

Симетрія фізичних явлений.

«Гадаю, було б цікаво вводити на вивчення фізичних явищ ще й розгляд властивостей симетрії, настільки знайоме кристаллографам».

Такими словами розпочиналася невеличка стаття П'єра Кюрі «Про симетрії в фізичних явищах: симетрія електричного і магнітного полів», опублікована у 1894 року французькій «Фізичному журнале».

До Кюрі фізики часто використовували міркування, які з умов симетрії. Варто сказати, що багато завдань механіки, і особливо статики, вирішувалися лише з умов симетрії. Але зазвичай цих умов досить прості і наочні і вимагають детальний розгляд. Вперше фізики зіштовхнулися з нетривіальним проявом симетрії фізичних властивостей щодо кристаллов.

Вперше чітке визначення симетрії фізичних явищ дав Кюрі у своїй статті. «Характеристичний симетрія деякого явища, — писав Пауль, — є максимальна симетрія, сумісна з тривалим існуванням явища». Загальний підхід до симетрії фізичних явищ, розвинений їм, якраз роз’яснила Марія Кюрі в біографічному нарисі про своє чоловіка: «П. Кюрі безмежно розширив поняття про симетрії, розглядаючи останню як стан простору, у якому відбувається дане явище. Для визначення цього стану треба знати як будова середовища, а й врахувати характер руху досліджуваного об'єкта, і навіть які діють нього фізичні чинники. При характеристиці симетрії середовища важливо пам’ятати такі ідеї Кюрі: слід визначити особливу симетрію кожного явища і запровадити класифікацію, що дозволить ясно бачити основні групи симетрії. Маса, електричний заряд, температура мають і той ж тип симетрії, званий скалярним; це є, інакше кажучи, симетрія сфери. Потік води та постійний електричний струм мають симетрію стріли типу полярного вектора. Симетрія прямого кругового циліндра належить до типу тензора».

1 Симетрія в механике.

П'єр Кюрі дійшов симетрії фізичних явищ від симетрії кристалів (геометричних постатей) через симетрію матеріальних постатей. Це дало важливі результати в описах фізичних властивостей кристалів і вона обіцяє великих успіхів за іншими областях физики.

Але роботи П'єра Кюрі не вплинули в розвитку ідеї симетрії в фізиці. Спричинено це дивного парадоксу, крім зазначених раніше (кристаллографичность робіт Кюрі, стислість, а то й конспективність їх викладу), ще що у цьому, що же вони з’явились занадто пізно, тоді, коли фізика вже нагромадила великий політичний досвід трохи вільнішого підходи до симетрії фізичних явищ, який із розвитком механіки в XVII—XIX вв.еках.

Тоді механіка була фактично всієї фізикою. Найголовнішим вважалося вивчення руху, і взаємодії тіл. Відповідні закони, удавані нам зараз такими очевидними, зажадали колосального праці кількох поколінь видатних учених. Коперник, Кеплер, Галілей, Декарт, Гюйгенс крок по кроку рухалися до розуміння істинних законів, управляючих рухом матеріальних тел.

Остаточно цих законів було сформульовано Ісааком Ньютоном (1643—1727). Але оскільки рух відбувається у просторі та у часі, йому довелося узагальнити і сформулювати якісь становища, постулирующие їх свойства.

Ньютон вважав, що є абсолютне простір, вільне і незалежне від якихось тіл. Це абсолютне простір изотропно, то є будь-які напрями у ньому однакові. З іншого боку, однорідний, оскільки будь-які дві точки простору нічим немає друг від друга. Існує також абсолютне час, незалежне від якихось процесів, поточне вічно і рівномірно. Рівномірність течії часу передбачає його однорідність: швидкість течії часу згодом не меняется.

1 Однорідність пространства.

Щоб осягнути, як може вона не має з механікою, розпочнемо з простого питання: чому камінь падає вниз? Відповідь: адже нього діє тяжкість. Інакше кажучи, простір поблизу земної поверхні фізично неоднорідне: все тіла прагнуть зайняти найнижчі становища, ближче до Земле.

Так само неоднорідне простір поблизу Сонця: орбіти всіх тіл сонячної системи скривлені. Та все Сонячна система як єдине ціле рухається прямолінійно, по крайнього заходу, протягом мільйонів років відхилення від прямолінійності у її русі не было.

Простір, у якому рухається, уникло тяжіють тіл, і тут можна говорити про однорідності. Інакше кажучи, на сонячну систему як єдине ціле не діють зовнішні сили За другим закону Ньютона зовнішня сила дорівнює зміни імпульсу тіла за одиницю часу. (Імпульс системи тіл називається їх сумарна маса, помножена так швидкість центру інерції. Він дорівнює також векторної сумі імпульсів всіх тіл системи. Замість «імпульс» часто кажуть «кількість руху», номы думати користуватимуться цим терміном.) Коли результуюча зовнішня сила, діюча на систему, дорівнює нулю, імпульс системи не змінюється згодом, т. е. сохраняется.

Не спробуємо підмінити другий закон Ньютона міркуванням про однорідності простору. Навпаки, стверджується, що з другого закону Ньютона слід прямолінійність і рівномірність руху центру інерції системи тіл в однорідному просторі. Ніякі внутрішні сили у системі не порушують однорідності простору стосовно системі як цілому. Тому дію внутрішніх сил залишає імпульс системи неизменным.

2 Изотропия пространства.

Простір має ще однією виглядом симетрії — щодо поворотів координатних систем. Ця ідея давалася людству з великими труднощами; адже коли те думали, що земля пласка, і вертикальне напрям абсолютно. Те, що земля — кулю, став відомий освіченим людям ще давнини. Для них вертикальне напрям був абсолютним, а змінювалося на земної поверхні від точки до точки. Але Земля у виставі більшості начитаних людей до епохи Коперника була центром світобудови. Тож них рівноцінними були всі напрямки у просторі, проте прямі, які відбуваються через центр Землі. Там перебувала особлива, виділена точка, центр симетрії Вселенной.

Відкриття Коперника позбавило Землю її переважного становища. Центр Землі для мислячих людей перестав бути центром Всесвіту. Чим він фізично виділено нам? Вочевидь, тим, що до нього спрямована сила тяжіння Землі. Та досить далеке від всіх тяжіють тіл всі крапки простору рівноцінні, як і все прямі, проведені через будь-яку точку Навколо будь-який прямий можна повернути координатну систему про всяк кут, і повернута система буде під усіх відношеннях рівноцінна первоначальной.

Отже, ми сформулювали ще одне властивість симетрії простору. Домовимося про термінологію. Симетрію щодо поворотів називатимемо изотропией, а щодо переносів — однородностью.

3 Однорідність времени.

Перейдемо тепер до конкретних властивостями симетрії часу. Розглянемо спочатку симетрію щодо перенесення вздовж будь-який прямий. Перенесення у кожному напрямі, можна розкласти за трьома взаємно перпендикулярным осях. Таким чином, простір має групу симетрії щодо довільних переносів за трьома взаємно перпендикулярным напрямам (див. выше).

Час задається однієї величиною, а чи не трьома, як точка у просторі. Можна вважати, що симетрія часу нагадує симетрію прямий щодо переносів, т. е. що й абстрактна група симетрії сама й та ж? Адже 12 годин дня учора й сьогодні, чи завтра, зовсім одне і те нам. Але симетрія — поняття відносне. Симетрія часу, вже, ніж симетрія безкінечною прямий, якщо розглядати час на усіх її аспектах, але з тих щонайменше не виключена можливість, що час симетрично стосовно одному певному класу законів природы.

До цього класу належать закони механіки, яким підпорядковано руху тіл у просторі й часі. Зручніше всього вибрати приклад суто механічного руху, не ускладненого силами тертя або якимсь іншим важко контрольованим впливом довкілля. Тертя завжди супроводжується переходом руху до молекул, що становить тіла, і тому сильно ускладнює процес механічного движения.

Без тертя, або «майже без тертя, рухаються небесні тіла (невеличке тертя за її русі походить від припливних хвиль, однак коли ми відвернемося від цього явища). Саме небесні тіла послужили моделлю Ньютону, що він формулював закони механіки, оскільки у астрономічних явищах вони виявлялися в найменш ускладненому вигляді. Звернення Землі навколо Сонця відбувається однакова у протягом десятків тисячі років; але впливали інші планети і припливи і Сонце не втрачала поступово свою масу внаслідок випромінювання, орбіта Землі залишалася б незмінною як завгодно довго. Звідси треба укласти, що час однорідний, т. е. усі його моменти рівноцінні, по крайнього заходу стосовно суто механічним явлениям.

Рік наша епоху, і на варі перелому людської історії дорівнював Зб51/4 дня. Отже, як початковій дати літочислення то, можливо узята будь-яка. Закони небесної механіки цілком симетричні стосовно кожному вибору початкового моменту времени.

Оскільки простір изотропно і однорідний, то рівняння руху не змінюють свого виду за зміни напрями руху. Не змінюють вони свого виду та під час звільнення точки відліку руху у просторі й у часу. Математично перетворення координат і часу, відповідальні таким змін, утворюють групу. Цю групу часто називають групою ГалілеяНьютона. Тому кажуть, що рівняння руху класичної механіки инвариантны (не змінюють своєї форми) щодо групи Галилея-Ньютона.

Отже, у «класичній механіці симетрія втратила наочний геометричний сенс. Тепер вона в абстрактної формі за умови, у якому рівняння, яке описує той чи інший фізичний закон, не змінює свого виду. У цьому самі умови повинні утворювати групу в математичному смысле.

Симетрія на живу природе.

Живий організм немає кристалічного будівлі тому, що й окремі його органи що немає просторової решеткой.

Проте впорядковані структури у ній представлено дуже широко. Якщо вони самі рідкі, їх називають рідкими кристалами. У цих структурах сильно витягнуті молекули розташовані тож їхній довгі осі загалом орієнтовані до однієї бік. У окремих випадках утворюються додаткові сверхструктуры: виникає закручування чи шаруваті структуры.

Рідкі кристали, як і тверді, мають анізотропією фізичних властивостей. Проте просторової грати рідкі кристали не имеют.

До рідким кристалам ставляться окремі компоненти жовчі і крові, кришталик очі, оболонки нервів, сіра речовина мозку, голівка сперматозоїда тощо. буд. Та особливо віра важливого значення грає жидкокристаллическая структура мембран клітин. Це те «шкірочка», яка утримує речовина клітини від розтікання і є їй хіба що зовнішнім органом. Мембрана — в’язка рідина, у якій молекули фосфоліпідів (жирів) мають довгі осі, розташовані паралельно. При кімнатної температурі молекули фосфоліпідів вільно переміщаються вздовж площині мембрани, просторової грати немає, і цей стан — нормальне стан живою клітиною. При зниженні температури мембрана «замерзає», молекули фосфоліпідів зупиняються, утворюється просторова решітка. Позбавлена рухливості мембрана неспроможна виконувати своїх функцій, та клітинка гине. Настала кристалізація, клітина виявилася «впійманою» решеткой.

Цікаву спробу пояснити п’ятиразову симетрію морського їжака зробив професор Оксфордського університету Девід Никлз. Він, що справа в міцності. Скелет їжака складається з десятків тендітних, тонких пятиугольных .платівок, але він надійно служить свого господаря. Найслабкіші місця скелета — це шви, де одна платівка сполучається з інший. Якщо перша платівка — квадрат чи шестикутник, то, на лінії дії сили будуть два поздовжніх шва. Якщо ж перша платівка п’ятикутна, то шов лише одне. Така конструкція набагато міцніше. Але постає законний питання: чому перша платівка не семиугольная, девятиугольная тощо. буд. Відповідь то, можливо лише одне: при пятиугольнике число швів найменше і, отже, такий скелет міцніше. Але швів дає трикутник. Тоді не він? Річ у тім, стверджує Никлз, що морські їжаки майже круглі організми, та якщо з трикутників важче скласти багатокутник, близька до сфере.

Представники іншого класу мешканців глибин— морські хробаки — мають циліндричне тіло, а ротовій порожнині - масу гострих зубів. Зуби розташовані отже коли з'єднати їх прямими .лініями, вийде п’ятикутник. Такий феномен Никлз пояснює так. Якби число зубів було четным, всі вони заважали одна другу. Мінімальна парне число — три, але трикутник відрізняється від кола і відповідає циліндричному тілу хробака. Сім, дев’ять місяців і більше зубів — надмірна розкіш, яку природа неспроможний дозволити. Тому реалізується оптимальний випадок, що відповідає кругового перерізу ротового отвори, пятиугольник.

Коли дивитися на царство живого, будь-кому його представнику, від найпростішої водорості до евкаліпта, від крихітного жучка до кити, від черв’яка до людини, можна приписати жодну з груп симетрії (точкових чи просторових), виведених для матеріальних фигур.

Біологічні дроби.

Гвинтові осі симетрії видно в розташуваннях лусочок шишок і укладанні кори пальм, структурі кістковій тканині й у пагони різних рослин. На стеблі соняшнику явно видно гвинтова вісь п’ятого порядку. Кожен знову виріс лист пов’язані з попереднім поворотом на 72°, а при повороті та 360° листя переміщаються на цілу величину трансляції. За правилами, що у кристалографії, таку вісь слід позначати 51. Однак у ботаніки прийнято представляти гвинтові осі як дробу, в знаменнику якою стоїть число обертів за листовому циклі (кількість оборотів навколо стебла до переходу від нижнього аркуша до вищестоящому, розташованому з нього), а чисельнику — число листя у тому циклі. Відповідно до цим розташування листя у соняшнику задається дробом 5/1.

У рослин існує лише певні, суворо фіксовані осі, але здебільшого інші, як в кристалів. Тож якщо злаки, липа, бук, береза утворюють вісь 21 (ботанічна дріб 2/1), осока, тюльпан, ліщина, виноград і вільха — 31 (3/1), то дуб, вишня смородина, зливу мають вісь 52 (5/2), капуста, малина, груша, тополя, редька, льон, барбарис — 83 (8/3), а ялина, миндальник, обліпиха і жасмин — 1З5 (13/5). Для хвойних гуль типові осі 218 (21/8), 3413 (34/13) і 5521 (55/21).

Чому такі осі, а чи не інші — невідомо. Але віддавна було помічено, що біологічні дробу не довільні, а є члени двох послідовностей, що складаються з чисел Фібоначчі. Їх увів у математику італійський купець Леонардо з Пізи на прізвисько Фібоначчі, що означає син Боначчо. У його «Книзі абака» приведено оригінальна завдання про кроликах, яке належить самому Фібоначчі. У задачі запитувалося, скільки пар кроликів може відбутися від однієї пари протягом року, якщо кожне подружжя щомісяця породжує нову пару, що з другого місяці теж стає виробником, і кролики не дохнут.

Виконання цього завдання пов’язане з появою числового низки 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. … Ці числа і називаються числами Фибоначчи.

Біологічні дробу, описують гвинтову симетрію рослин, складено з п’яти членів двох рядів. У обох лавах числители є числа Фібоначчі, починаючи з четвертого члена — двійки. Знаменатели рядів різні. У першому числа Фібоначчі розпочинаються з третього числа, тоді як у другому — зі второго.

Отже, перший ряд:

2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13…

Другий ряд:

2/1, 3/1, 5/2, 8/3, 13/5, 21/8…

До цього часу незрозуміло, чому симетричний гвинтове розташування листя чи лусочок в гулях точно пов’язані з величиною певного відносини, є у просторових об'єктах, які виробляють особливе естетичне враження? Тут можна висловити лише саме загальне твердження, формування естетичних критеріїв людини відбувається під впливом просторових закономірностей природних об'єктів. Проте це твердження це не дає конкретний у відповідь поставлений вопрос.

Заключение

.

Симетрія, проявляючись найрізноманітніших об'єктах матеріального світу, безсумнівно, відбиває найбільш загальні, найбільш фундаментальні його властивості. Тому дослідження симетрії різноманітних природних об'єктів і зіставлення її результатів є зручним і був надійним інструментом пізнання основних закономірностей існування материи.

Можна сподіватися, що у основі біологічних законів збереження, різноманітних інваріантів, симетрії законів живої природи щодо тих чи інших перетворень рано чи пізно вдасться глибше поринути у сутність живого, пояснити хід еволюції, її вершини, глухі куточки, передбачити невідомі зараз галузі, теоретично можливі і справжні числа типів, класів, семейств… организмов. І взагалі потрібно проаналізувати питання у тому, чи можна еволюцію матерії загалом і усередині окремих її форм уявити, як групові перетворення, відшукати їхні інваріанти на основі останніх визначити всіх можливих варіанти еволюції в цело й у деталях, передбачити можливі її галузі - число, характері і т.д. Отже, розвинений тут підхід дає можливість порушити питання неединственности тієї картини розвитку, що її знаем.

Жёлудев І.С. симетрія і її докладання. -М.: Энергоатомиздат, 1983 г.

Компанієць О.С. Симетрія в мікроі макросвіті. -М.: НАУКА, 1978 г., 206с.

Пидоу Ден. Геометрія і мистецтво М.: Світ, 1979 г.

Сонин О.С. Розуміння досконалості: симетрія, асиметрія, диссимметрия, антисимметрия. -М.: ЗНАННЯ, 1987 р., 208с.

Трофимов У. Введення у геометричному різноманітті з симетріями М.: МДУ 1989 г.

Урманцев Ю.О. Симетрія природи й природа симетрії. -М.: МЫСЛЬ, 1974 г., 232с.

Шубніков А.В. Обрані праці з кристалографії. -М.: НАУКА, 1975 г.