Диференціал функції (реферат)

Реферат на тему:

ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ.

Нехай функція y = f (x) має в даній точці похідну.

$$\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{\mathit{}}{\mathit{}}=f^{\text{'}}(x),$$ (1).

тоді

$$\frac{\mathit{}}{\mathit{}}=f^{\text{'}}(x)+,$$ (2).

де, а $$->$$ 0, якщо $$$$

х $$->$$ 0.

.

Помноживши обидві частини (2) на Ах, дістанемо:

$$\mathit{}=f^{\text{'}}(x)\mathit{}+\mathit{}$$ (3).

Перший з доданків лінійний відносно $$$$

х і при.

$$$$

х $$->$$ 0 та f'(x0) $$$$ 0 є нескінченно малою одного порядку з.

$$$$

х, тому що:

.

$$\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{f^{\text{'}}(x)\mathit{}}{\mathit{}}=f^{\text{'}}(x)\text{.}$$.

Другий доданок — нескінченно мала вищого порядку, ніж $$$$

х, тому що:

.

$$\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{\mathit{}}{\mathit{}}=\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}=0$$.

Цей доданок не є лінійним відносно $$$$

х, тобто містить.

$$$$

х в степені, вищому від одиниці.

.

Тоді доданок f'(x)· $$$$ x називається головною частиною суми двох нескінченно малих. У даному випадку це головна частина приросту функції $$$$

у і називається диференціалом функції.

.

Диференціал функції визначається добутком похідної на приріст незалежної змінної і позначається dy або df (x).

Отже, маємо

dy = f'(x) · $$$$ x (4).

Диференціалом dy називають також диференціал першого порядку. З виразу (4) бачимо що диференціал функції є функція двох незалежних змінних х і $$$$ х. Якщо y = х, то у' = х' =1, тому dy = dx· $$$$ x. Тобто диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом, тобто диференціал незалежної змінної дорівнює приросту незалежної змінної.

На цій підставі для будь-якої диференційованої функції y = f (x) можемо формулу (4) записати так:

dy = f' (x) dx (5).

Останній вираз називатимемо канонічним виразом диференціала функції y = f (x). З (5) діленням на dх (dх $$$$ 0), безпосередньо знаходимо:

$$f^{\text{'}}(x)=\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$$ (6).

Виходить, що похідну можна розглядати як відношення двох диференціалів. Тепер у позначенні похідної $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$$ можемо надавати dy і dx самостійного значення:

Вираз (3) можемо записати ще так:

$$\mathit{}=\text{dy}+\mathit{}$$ (7).

Звідки.

$$\mathit{}=(1+)\text{dy},$$.

де $$=\frac{\mathit{}}{f^{\text{'}}(x)\mathit{}}=\frac{}{f(x)}\text{.}$$ Якщо $$$$

х $$->$$ 0, то й $$->0$$ отже, і $$->$$ 0.

.

Зауважимо, що коли в точці х0 похідна $$f^{\text{'}}(x_0)=\mathrm{0,}$$ то перший доданок f формулі (3) дорівнює нулю і вже не є головною частиною приросту $$$$ y. Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (5).

Геометричний зміст диференціалу зрозумілий з рисунка.

Рис. 1.

Маємо PN = $$$$ y, QN = MN tg $$$$ = $$$$ хf'(x) = f'(x) dx = dy.

Отже, маємо функції f (x) при заданих значеннях x0 і $$$$

х дорівнюють приросту ординати дотичної до кривої y = f (x) в точці х0. Приріст функції.

$$$$

у при цьому дорівнює приросту ординати кривої. Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометричне означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ. Зрозуміло, що така заміна доцільна для достатньо малих значень.

$$$$

x.

.

Формули диференціювання.

1. $$y=x^n$$ $$\text{dy}={\text{nx}}^{n-1}\text{dx}$$.

2. $$y=a^x$$ $$\text{dy}=a^x\text{ln}\text{adx}$$.

3. $$y=e^x$$ $$\text{dy}=e^x\text{dx}$$.

4. $$y={\text{log}}_{a}x$$ $$\text{dy}=\frac{\text{dx}}{x\text{ln}a}$$.

5. $$y=\text{ln}x$$ $$\text{dy}=\frac{\text{dx}}{x}$$.

6. $$y=\text{sin}x$$ $$\text{dy}=\text{cos}\text{xdx}$$.

7. $$y=\text{cos}x$$ $$\text{dy}=-\text{sin}\text{xdx}$$.

8. $$y=\text{tgx}$$ $$\text{dy}=\frac{\text{dx}}{{\text{cos}}^{2}x}$$.

9. $$y=\text{ctgx}$$ $$\text{dy}=-\frac{\text{dx}}{{\text{sin}}^{2}x}$$.

10. $$y=\text{arcsin}x$$ $$\text{dy}=\frac{\text{dx}}{\sqrt{1-x^2}}$$.

11. $$y=\text{arccos}x$$ $$\text{dy}=-\frac{\text{dx}}{\sqrt{1-x^2}}$$.

12. $$y=\text{arctgx}$$ $$\text{dy}=\frac{\text{dx}}{1+x^2}$$.

13. $$y=\text{arcctgx}$$ $$\text{dy}=-\frac{\text{dx}}{1+x^2}$$.

Правила диференціювання:

I. $$\text{dc}(\text{cu})=\text{cdu}\text{.}$$.

II. $$d(u\pm \text{dv})=\text{du}\pm \text{dv}\text{.}$$.

III. $$d(uv)=\text{vdu}+\text{udv}\text{.}$$.

IV. $$d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{\text{vdu}-\text{udv}}{v^2}\text{.}$$.

Ці правила легко одержати із відповідних правил для похідних. Доведемо, наприклад, два останніх:

$${d(\text{uv})=(\text{uv {})}^{\text{'}}\text{dx}=(u^{\text{'}}v+v^{\text{'}}u)\text{dx}=v(u^{\text{'}}\text{dx})+u(v^{\text{'}}\text{dx})=\text{vdu}+\text{udv}\text{.}$$.

$$d\left(\frac{u}{v}\right)={\left(\frac{u}{v}\right)}^{}\text{dx}=\frac{u^{\text{'}}v-v^{\text{'}}u}{v^2}\text{dx}=\frac{v(u^{\text{'}}\text{dx})-u(v^{\text{'}}\text{dx})}{v^2}=\frac{\text{vdu}-\text{udv}}{v^2}$$.

Інваріантність форми диференціала.

Правило знаходження похідної функції від функції (складної функції) має можливість одержати важливу власність диференціала.

Нехай функції y = f (x) i x = $$$$ (t) такі, що з них можна одержати складну функцію y = f ($$$$ (t)). Якщо існують похідні ух ' xt ', то.

$$y_{t^{\text{'}}}=y_{x^{\text{'}}}{x}_{t^{\text{'}}}$$ (8).

Диференціал dy, коли х вважати незалежною змінною, визначається за формулою dy = уx '· dx. Перейдемо тепер до незалежної змінної t: y цьому випадку маємо другий вираз для диференціала dy = yt'· dt.

Заміною похідної уt' її виразом (8) одержимо.

$$\text{dy}=y_{x^{\text{'}}}{x}_{t^{\text{'}}}\text{dt}$$ але $$x_{t^{\text{'}}}\text{dt}=\text{dx}$$ (9).

тому $$\text{dy}=y_{x^{\text{'}}}\text{dx}$$.

Отже, канонічний вираз диференціала функції виявляється справедливим незалежно від вибору останнього аргументу (незалежної змінної).

Канонічний вираз диференціала функції залишається незмінним при різному доборі аргументу. Ми завжди можемо записати диференціал dx y вигляді:

dy = yx’dx.

не дивлячись на те, чи буде х незалежною змінною, чи нірізниця лише в тому, що якщо за незалежну змінну вибране t. То dx не довільний приріст $$$$ х, а диференціал dx як функцію від t. Цю властивість і називають інваріантність форм.

Застосування диференціала функції в наближених обчисленнях.

При досить малому прирості х аргументу $$$$ х диференційованої функції f (x) приріст у функції $$$$ у буде близький за своєю величиною до диференціала функції. Тому приріст функції можна наближено прирівнювати до диференціала функції.

$$\mathit{}\text{dy},$$ або $$\mathit{}(x_0+\mathit{})=f(x_0+\mathit{})-f(x_0)f^{\text{'}}(x_0)\mathit{}$$ (10).

якщо позначити $$$$

х = х — х0, то рівняння (10) приймає вигляд.

.

$$f(x)-f(x_0)f^{\text{'}}(x_0)(x-x_0),$$ або $$f(x)f(x_0)+f^{\text{'}}(x_0)(x-x_0)$$ (11).

Таким чином, для значення де, близьких до х0, функцію f (x) наближено можна замінити лінійною функцією. Геометричне це заміні ділянки кривої y=f (x), прилеглої до точки (x0,f (x0), відрізком дотичної до кривої в цій точці:

$$y=f(x_0)+f^{\text{'}}(x_0)(x-x_0)$$.

(див. Рис. 1). Беручи значення х0 = 0 і обмежуючись малими значеннями х, одержимо наближену формулу.

$$f(x)f(0)+f^{\text{'}}(0)x$$.

Звідси, підставляючи замість f (x) різні елементарні функції, легко одержати ряд формул.

$$(1+x{)}^{}1+\mathit{}-$$ (наприклад $$\sqrt{1+x}1+\frac{1}{2}x$$) ;

$$l^{x}1+x\text{-ln}(1+x)x\text{-sin}xx,\text{tgx}x\text{.}$$.

Приведемо декілька прикладів.

Приклад 1) Обчислимо наближено sin 46°.

Приймемо за початкове значення незалежної змінної х0 = 45° = $$\frac{}{4}$$, а за $$$$

х= 1° = $$\frac{}{\text{180}}$$. Тоді згідно (11).

.

$$\text{sin}{\text{46}}^0=\text{sin}({\text{45}}^0+1^0)=\text{sin}\left(\frac{}{4}+\frac{}{\text{180}}\right)\frac{}{4}+\text{soc}\frac{}{4}\frac{}{\text{180}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{}{\text{180}}\mathrm{0,}\text{7194}\text{.}$$.

Приклад 2) Обчислити наближено $$\sqrt{\mathrm{3,}\text{9978}}$$ .

Розглянемо функцію $$\sqrt{x}$$ і приймемо за початкове значення незалежної змінної x0 = 4, а за $$$$

х = -0,0022. Тоді.

.

$$\sqrt{\mathrm{3,}\text{9978}}=\sqrt{4-\mathrm{0,}\text{0022}}=2-\frac{\mathrm{0,}\text{0022}}{2\sqrt{4}}=\mathrm{1,}\text{9945}\text{.}$$.

Диференціал функцій, заданих у параметричній формі.

У випадку многозначної функції ми повинні ставити такі додаткові умови, внаслідок яких треба розглядати окремі частини цієї функції, тобто однозначні функції. Наприклад розглянемо еліпс, віднесений до його осей симетрії. Рівняння еліпса буде:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2=1}$$.

Тут у — двозначна функція від х: $$y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\text{.}$$.

Щоб дістати однозначну функцію, умовимося брати праву частину або тільки із знаком плюс або тільки із знаком мінус. Отже, визначатимемо тільки частину еліпса, що на практиці створює часто певні незручності. Щоб їх подолати і вивчити криву в цілому, вдаються до іншого аналітичного запису функції, а саме: виражають х і у як однозначні функції якогось параметра, підібраного так, щоб із зміною в певних межах цього параметра точка за координатами (х-у) описувала всю криву. Так, для еліпса параметри рівняння матимуть вигляд х = а cost, y = b sin t, де t змінюється від 0 до 2 $$$$ .

У загальному випадку функція складається в параметричній формі так: x=x (t), y = y (t) (a).

При умові існування для функції у (t) оберненої функції t = $$$$ (х), то у= $$$$ ($$$$ (х)) = f (x).

У випадку, якщо функція задана параметричне, можна безпосередньо за рівнянням (а), не переходячи до рівняння y = f (x), знайти похідну від у по х.

Це можна зробити, використовуючи формулу похідної функції від функції (складної функції) та формули похідної від оберненої функції, а саме:

$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\frac{\text{dy}}{\text{dt}}\frac{\text{dt}}{\text{dx}}=\frac{\text{dy}}{\text{dt}}\frac{1}{\frac{\text{dx}}{\text{dt}}}=\frac{\frac{\text{dy}}{\text{dt}}}{\frac{\text{dx}}{\text{dt}}}=\frac{{}^{\text{'}}(t)}{{}^{\text{'}}(t)}\text{.}$$.

Можна вивести цю формулу і іншим способом, використовуючи поняття похідної як відношення двох диференціалів:

$$\text{dy}={}^{\text{'}}(t)\text{dt},$$ $$\text{dx}={}^{\text{'}}(t)\text{dt}$$.

$$y^{\text{'}}=\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\frac{{}^{\text{'}}(t)\text{dt}}{{}^{\text{'}}(t)\text{dt}}=\frac{{}^{\text{'}}(t)}{{}^{\text{'}}(t)}$$.

Для еліпса, заданого рівнянням х = a cos t, y = b sin t.

Маємо $$y^{\text{'}}=\frac{b\text{cos}t}{-a\text{sin}t}=-\frac{b}{a}\text{ctgt}\text{.}$$.