Безкінченно малі функції (реферат)

Безкінченно малі функції.

Визначення 1. Функція f (x) називається безкінченно малою функцією (або просто безкінченно малою) в точці х=х0 (або при х), якщо $$\underset{x->x_0}{\text{lim}}$$ f (x)=0. Аналогічно визначаються безкінечно малі функції при $$\begin{array}{c}x->\mathrm{},x->+\mathrm{},x->x_0-i\begin{array}{c}\\ x->x_0+\end{array}\\ \end{array}$$.

Так як межа нескінченно малої функції рівна нулю $$|f(x)-A|=|f(x)-0|=|f(x)|$$, то можна дати рівносильне визначення нескнченно малої функції. Функція f (x) називається нескінченно малою в точці х=х0, якщо для любого $$>0$$ існує $$>0$$, таке, що для всіх $$xX,x/=x_o$$, задовільняющих нерівності $$|x-x_0|<$$, виконується нерівність $$|f(x)|<$$ і на язику послідовності: функція $$f(x)$$ називається безкінечно малою в точці х=х0, якщо для любої зводящоїсі до х0 послідовність $$\left\{f(x_n)\right\}$$ являється нескінченно малою.

Теорема. Для виконання рівняння $$\underset{x->x_0}{\text{lim}}$$ f (x)=A необхідно і достатньо, щоб функція була х нескінченно малою при х $$(х)=f(х)-A$$.

Бескінченно малі функції володіють такими ж свойствами, що і бескінечно малі послідовності.

Теорема. Алгебраїчна сума і проізвідєніє кінцевого числа нескінченно малих функцій при х, а також проізвідєніє безкінечно малої функції на обмежену функцію являються нескінченно малими функціями при х .

Нескінченно великі функції.

Визначення. Функція f (x)називається безкінченно великою функцією в точці х=х0 (або при х), якщо для любого $$>0$$ існує $$>0$$ таке, що для всіх $$xX,x/=x_o$$ задовольняючих нерівність $$|x-x_0|<$$, виконується нерівність $$|f(x)|>$$ .

В цьому випадку пишуть $$\underset{x->x_0}{\text{lim}}$$ f (x)= $$\mathrm{}$$ і говорять, що функція стремиться до нескінченності при х або, що вона має нескінченну межу в точці х=х0.

Якщо виконується нерівність $$f(x)>(f(x)<-)$$, то пишуть $$\underset{x->x_0}{\text{lim}}$$ f (x)= $$+\mathrm{}$$ $$\underset{x->x_0}{\text{lim}}f(x)=-\mathrm{}$$ і говорять, що функція має в точці х0 нескінченну межу, рівну $$+\mathrm{}(-\mathrm{})$$ .

Так наприклад, пишуть $$\underset{x->x_0}{\text{lim}}$$ f (x)= $$+\mathrm{}$$, якщо для любого $$>0$$ існує $$>0$$, таке, що для всіх $$xX$$, задовольняючих нерівностями $$x_0<x<x_0+$$, виконується нерівність $$f(x)>$$ .

" На язику послідовності" це визначення записується так: $$\underset{x->x_0}{\text{lim}}f(x)\text{=+}\mathrm{}$$, якщо для любої зводящої ??? до х0 послідовності $$\left\{{х}_n\right\}$$ значення аргументу х, елементи хn який більше x0, відповідають послідовності $$\left\{f({х}_n)\right\}$$ значення функцій являється нескінченно великий позитивного знака.

Аналогічно визначаються нескінченно великі функції при $$х->\mathrm{},х->+\mathrm{},х->-\mathrm{}$$. Так, наприклад: функція f (x)називається нескінченно великою при $$х->\mathrm{}$$, якщо для любого $$>0$$ існує $$>0$$ таке, що для всіх $$xX$$ задовольняючих нерівність $$|x_0|>$$, виконується нерівність $$|f(x)|>$$. При цьому пишуть $$\underset{x->x_0}{\text{lim}}$$ f (x)= $$\mathrm{}$$. Якщо виконується нерівність $$f(x)>(f(x)<-)$$, то пишуть $$\underset{x->x_0}{\text{lim}}$$ f (x)= $$+\mathrm{}$$ ($$\underset{x->x_0}{\text{lim}}f(x)=-\mathrm{}$$).

На завершення покажем, що між нескінченно малими і нескінченно великими функціями існує такий же зв’язок, як і між відповідними послідовностями, функціями, зворотньо безкінечно малої, являється безкінченно вищою і наоборот.

Насправді, нехай $$\underset{x->x_0}{\text{lim}}$$ f (x)=0 і f (x) $$$$ 0 при $$х/={х}_0$$ .

Докажем, що $$\underset{x->x_0}{\text{lim}}$$ $$\frac{1}{f(x)}=\mathrm{}$$ .

Задамо довільне $$>0$$. Так як f (х) — нескінченно мала функція в точці х0, то для числа 1/ $$$$ існує $$>0$$ таке, що для всіх $$xX$$, задовільняющих нерівностям $$0<|x-x_0<|$$, виконується нерівність $$|f(x)|<\frac{1}{}$$. Но тоді для тих же х виконується нерівність $$|\frac{1}{f(x)}|>$$, т.с. $$\frac{1}{f(x)}$$ — нескінченно велика функція в точці х=х0, що і потрібно було доказати.