Public Key Encryption (реферат)

Реферат на тему:

Public Key Encryption

Перший алгоритм кодування з відкритим ключем (Public Key Encryption, далі PKE) було запропоновано Вітфілдом Діффі та Мартіном Хелманом у Стендфордському університеті. Вони, а також незалежно від них Ральф Меркл, розробили основні його поняття у 1976 році. Перевага PKE полягає у відсутності потреби секретної передачи ключа.

PKE базується на нерозв’язності проблеми розкладу натурального числа на прості множники.

RSA схему шифрування було запропоновано у 1978 році та названо іменами трьох його винахідників: Роном Рівестом (Ron Rivest), Аді Шаміром (Adi Shamir) та Леонардом Адлеманом (Leonard Adleman). RSA належить до класу алгоритмів кодування з відкритим ключем.

У 80-х роках криптосистема переважно використовувалася для забезпечення секретності та достовірності цифрових даних. У сучасному світі RSA використовується в web — серверах та браузерах для зберігання таємності даних що передаються по мережі, .

Схема RSA базується на обчисленні виразів зі степенями. Відкритий текст шифрується блоками, довжина кожного із яких менша за деяке число n.

Алгоритм генерації ключа

A повинен згенерувати відкритий та секретний ключі:

1. Згенерувати два великих простих числа p та q приблизно однакової довжини;

2. Обчислити n = p * q, fi = (p — 1) * (q — 1);

3. Вибрати натуральне e, 1 < e < fi, взаємно просте з fi;

4. Використовуючи розширений алгоритм Евкліда, розв’язати рівняння.

d * e 1 (mod fi).

Відкритий ключ: (n, e). Секретний ключ: d.

Схема шифрування RSA.

B шифрує повідомлення m та надсилає A.

1. Шифрування. В робить наступні дії:

а) отримати відкритий ключ (n, e) від А;

б) представити повідомлення у вигляді натурального числа m з проміжку [1.n];

в) обчислити c = me mod n;

г) надіслати шифротекст c до А.

2. Дешифрування. Для отримання повідомлення m із шифротксту c, А робить наступні дії:

а) використовуючи секретний ключ d, обчислити m = cd mod n.

Теорема. Шифр c декодується правильно.

Оскільки p та q — прості числа, то * q) =) = (p — 1) * (q — 1), де функція Ейлера. З умови вибору ключа d маємо: d * e mod = 1, або d * e =) * k + 1 для деякого натурального k.

cd mod n = (me)d mod n = m (e * d) mod n = m ^ () * k + 1) mod n = (m) mod n) k * m = 1 k * m = m, оскільки за теоремою Ейлера m) mod n = 1.

Означення. RSA системою називають функцію RSAn, e (x) = xe mod n та обернену їй RSA-1n, e (y) = yd mod n, де e — кодуюча, а d — декодуюча експонента, x, y Zn*.

Приклад

1. Оберемо два простих числа: p = 17, q = 19;

2. Обчислимо n = 17 * 19 = 323, fi = (p — 1) * (q — 1) = 16 * 18 = 288;

3. Оберемо e = 7 (НСД (e, fi) = 1) та розв’яжемо рівняння 7 * d (mod 288), звідки d = 247.

Побудовано RSA систему: p = 17, q = 19, n = 323, e = 7, d = 247.

Відкритий ключ: n = 323, e = 7, секретний ключ: d = 247.

1. m = 4. Кодування: 47 mod 323 = 234. Декодування: 234 247 mod 323 = 4.

2. m = 123. Кодування: 1237 mod 323 = 251. Декодування: 251 247 mod 323 = 123.

Циклічна атака

За відомим шифром c (c = me mod n) злодій, маючи відкритий ключ e та n, бажає знайти повідомлення m. Він починає будувати послідовність чисел.

c, ce, $$c^{e^2}$$, , …

Оскільки обчислення відбуваються в групі Zn*, то елемпнти послідовності знаходяться в межах від 0 до n — 1. Отже існує таке натуральне k, що с = $$c^{e^k}$$. Враховуючи що c = me mod n, маємо: me = $$c^{e^k}$$ або m = .

Таким чином для знаходження повідомлення m за його шифром c необхідно побудувати послідовність c, ce, $$c^{e^2}$$, , …,, $$c^{e^k}$$ = c, і взяти її передостаннє число.

Приклад

Розв’язати рівняння: m7 mod 323 = 251.

e = 7, n = 323, c = 251.

З таблиці маємо: c = = 251. Оскільки me = $$c^{e^6}$$, то m = $$c^{e^5}$$ = 123.

Атака методом осліплення

Припустимо, А має секретний ключ RSA системи, а Z — злодій, який перехопив шифр c і хоче декодувати його. При цьому, А відмовляє видати Z вихідний текст m. Тоді Z обирає деяке значення b *, обчислює c' = be * c і просить, А дешифрувати його. А погоджується дешифрувати c' своїм секретним ключем d, оскільки зміст повідомлення c' йому ні про що не говорить і виглядає невинним. Отримавши m' = c’d mod n, злодій Z обчислює m = m' / b і отримує шукане m. Шифром m дійсно є c, оскільки me = m’e / be = c’de / be = c' / be = c.

Така атака можлива, оскільки, А не знає повної інформації про шифр c', який дає йому злодій Z.

Приклад. Нехай, А має RSA систему: p =17, q = 19, n = 323, e = 7, d = 247.

Злодій Z перехопив шифр c = 234 і хоче знайти таке m, що m7 = 234 mod 323.

1. Z обирає b = 10 23*, обчислює c' = 107 * 234 mod 323 = 14 і просить, А дешифрувати його.

1. 2.A обчислює m' = 14 247 mod 323 = 40 і передає його Z.

3. Z знаходить шукане повідомлення обчислюючи.

m = 40 / 10 = 40 * 10−1 = 40 * 97 = 4 mod 323.

Таким чином 47 = 234 mod 323.

Прискорення дешифрування

За допомогою китайської теореми про лишки можна прискорити процес дешифрування, знаючи секретні прості числа p та q.

Алгоритм

Дешифрування. А має декодуючу експоненту d, а також p та q (n = p * q). А отримує від В шифр с та повинен виконати операцію cd (mod n).

1. Обчислити dp = d mod (p — 1), dq = d mod (q — 1).

2. Обчислити mp = $$c^{d_p}$$ mod p, mq = $$c^{d_q}$$ mod q.

3. Розв’язати систему лінійних порівнянь.

$$\begin{array}{c}m{m}_p(\text{mod}p)\\ m=m_q(\text{mod}q)\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Розв’язком системи буде декодоване повідомлення: m = cd (mod n).

Приклад

Нехай RSA система має вигляд: p = 17, q = 19, n = 323, e = 7, d = 247.

Для розв’язку рівняння m7 mod 323 = 251 (c = 251) обчислимо 251 247 mod 323:

1. dp = 247 mod 16 = 7, dq = 247 mod 18 = 13;

2., mp = 2517 mod 17 = 4, mq = 25 113 mod 19 = 9;

3. Розв’яжемо систему лінійних порівнянь.

$$\begin{array}{c}m4(\text{mod}\text{17})\\ m=9(\text{mod}\text{19})\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Розв’язуючи її методом Гауса, отримаємо m = 123.

Отже 1237 mod 323 = 251.

Мала декодуюча експонента

Приклад. Виберемо аовідомлення m = 13 та зашифруємо його трьома різними RSA системами.

1. p = 5, q = 17, n = 85, e = 3, d = 57,.

m3 mod 85 = 72;

2. p = 11, q = 23, n = 253, e = 3, d = 169,.

m3 mod 253 = 173;

3. p = 17, q = 23, n = 391, e = 3, d = 261,.

m3 mod 391 = 242;

Для знаходження повідомлення m за відкритими ключами (ni, ei) та перехопленими шифрами ci складемо систему порівнянь.

$$\begin{array}{c}x\text{72}(\text{mod}\text{85})\\ x\text{173}(\text{mod}\text{253})\\ x\text{242}(\text{mod}\text{331})\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Одним із її розв’язків буде x = 2197 = 133. Тобто шуканим повідомленням буде m = 13.

Неприховані повідомлення

Означення. Повідомлення m називається неприхованим, якщо його шифр дорівнює самому повідомленню, тобто me = m (mod n).

Наприклад, повідомлення m = 0 та m = 1 завжди є неприхованими для довільних значень e та m.

Твердження. Кількість неприхованих повідомлень в RSA системі дорівнює.

(1 + НСД (e — 1, p — 1)) * (1 + НСД (e — 1, q — 1)).

Оскільки значення e — 1, p — 1 та q — 1 — парні, то НСД (e — 1, p — 1) НСД (e — 1, q — 1) а отже кількість неприхованих повідомлень завжди не менша за 9.