Нелінійні системи автоматичного керування

Загальні відомості.

Нелінійними САК називаються системи, математичне описання яких не задовольняє умови лінійності. Ці умови полягають у тому, що при зміні зовнішньої дії на ланку або систему в «а» разів характер перехідного процесу не змінюється, а змінюється лиш масштаб вихідної величини в «а» разів.

Якщо САК містить хоча б одну нелінійну ланку, то у цілому вона є нелінійною.

Нелінійні ланки описуються нелінійними рівняннями. Ознакою нелінійних рівнянь є залежність коефіцієнтів рівнянь від координат системи, або їх похідних, а також наявність у рівняннях добутків деяких координат чи їх похідних.

Усі реальні САК електроприводами нелінійні. Це пояснюється тим, що основним елементом електропривода є електрична машина, яка містить кола з феромагнітними матеріалами. Рівняння, що описують динамічні процеси в електричній машині, нелінійні, бо індуктивність є функцією струму, ЕРС внаслідок насичення магнітної системи нелінійно залежить від струму збудження. Крім того, в електроприводах використовуються підсилювачі з насиченням, елементи механічних передач з люфтами і сухим тертям та інші нелінійні елементи.

Теорію лінійних САК можна застосувати для аналізу і синтезу реальних систем електропривода лише при досить малих відхиленнях від режиму, що досліджується. В цьому разі реальна нелінійна система лінеаризується методами, які ми розглядали раніше. Проте існує велика кількість САК, у яких нелінійні ланки застосовуються спеціально з метою забезпечення обмеження координат.

Задачі аналізу і синтезу нелінійних САК набагато складніші за аналогічні задачі для лінійних систем. Це пояснюється великою різноманітністю та складністю динамічних процесів у нелінійних системах.

Типові не лінійності

Нелінійні ланки САК дуже різноманітні. Нелінійні характеристики деяких з них при обмеженому діапазоні зміни вхідного сигналу мало відрізняються від лінійних. Такі нелінійності називають слабкими, або несуттєвими. Після лінеаризації цих нелінійностей САК зводять до лінійних і для їх дослідження використовують методи теорії лінійних САК. Іншу групу становлять нелінійні елементи, характеристики яких не можна замінити лінійними. Вони надають САК якісно нових властивостей і, як правило, описуються розривними або близькими до них функціями. Такі нелінійності називають суттєвими.

Характеристики суттєво нелінійних елементів часто ідеалізують, тобто реальну нелінійну характеристику замінюють кількома лінійними ділянками, кожна з яких описується своїм рівнянням. У точках переходу від однієї ділянки до іншої спостерігається розрив похідної, тобто похідна має різні значення при підході до точки розриву зліва і справа. Якщо ідеалізувати суттєво нелінійні характеристики, то їх можна звести до обмеженої кількості типових. Розглянемо найбільш поширені з них. У загальному вони мають вигляд.

де — вихідна і вхідна змінні, — нелінійна функція.