Дисперсійний аналіз

року міністерство освіти Російської Федерации.

ДЕРЖАВНЕ ОСВІТНЄ УСТАНОВА ВЫСШЕГО.

ПРОФЕСІЙНОГО ОБРАЗОВАНИЯ.

«ОРЕНБУРГСКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНИВЕРСИТЕТ».

Факультет інформаційних технологий.

Кафедра прикладної информатики.

КУРСОВА РАБОТА.

По дисципліни: «Системний анализ».

На тему: «Дисперсионный анализ».

ГОУ ОДУ 71 900.5303.09 ПЗ.

|Руководитель роботи | |_____________Юдіна М.М. | |"___"_____________2003 р. | |Виконавець | |студент грн. 99 ИСЭ-2 | |_____________Жбанів В.В. | |"___"_____________2003 р. |.

р. Оренбург-2003.

с.

Введение

…3.

1. Дисперсионный анализ…4.

1.1 Основні поняття дисперсионного анализа…4.

1.2 Однофакторный дисперсионный анализ…6.

1.3 Багатофакторний дисперсионный анализ…12.

2. Застосування дисперсионного аналізу, у різних завдання й исследованиях…16.

2.1 Використання дисперсионного аналізу щодо міграційних процессов…16.

2.2 Принципи математико-статистического аналізу даних медико-біологічних исследований…17.

2.3 Биотестирование почвы…19.

2.4 Грип викликає підвищену вироблення гистамина…21.

2.5 Дисперсионный аналіз в химии…22.

2.6 Використання прямого навмисного навіювання в бодрствующем стані методиці виховання фізичних качеств…23.

2.7 Купірування гострої психотической симптоматики в хворих на шизофренію атипичным нейролептиком…26.

2.8 Снування фасонной пряжі з ровничным эффектом…28.

2.9 Супутня паталогия за цілковитої втрати зубів що в осіб літнього й старечого возраста…29.

3 Дисперсионный аналіз у тих статистичних методів… …31.

3.1 Векторні авторегрессии…34.

3.2 Факторний анализ…37.

3.3 Парна регресія. Імовірнісна природа регресійних моделей…41.

Укладання… 44.

Список використаних источников…45.

Мета роботи: познайомиться з такою статистичним методом, як дисперсионный анализ.

Дисперсионный аналіз (від латинського Dispersio — розсіювання) — статистичний метод, дозволяє аналізувати вплив різних чинників на досліджувану зміну. Метод розробили біологом Р. Фішером в 1925 року і застосовувався спочатку з метою оцінки експериментів у рослинництві. Надалі з’ясувалася общенаучная значимість дисперсионного аналізу для експериментів в психології, педагогіці, медицині та др.

Метою дисперсионного аналізу є перевірка значимості відмінності між середніми з допомогою порівняння дисперсій. Дисперсию вимірюваного ознаки розкладають на незалежні складові, кожна з яких характеризує вплив тієї чи іншої чинника чи його взаємодії. Наступне порівняння таких доданків дозволяє оцінити значимість кожного досліджуваного чинника, і навіть їх комбінації /1/.

При істинності нульової гіпотези (про рівність середніх у кількох групах спостережень, вибраних з генеральної сукупності), оцінка дисперсії, що з внутрішньогруповий мінливістю, мусить бути близька до оцінці межгрупповой дисперсии.

Під час проведення дослідження ринку часто йдеться про порівнянності результатів. Наприклад, проводячи опитування за приводу споживання будь-якого товару різних регіонах країни, необхідно здогадатися з вищесказаного, наскільки дані опитування відрізняються або відрізняються одна від друга. Зіставляти окремі показники втрачає сенс і тому процедура порівняння і наступного оцінки проводиться у разі деяким усередненим значенням і отклонениям від цього усередненій оцінки. Вивчається варіація ознаки. За міру варіації можна прийняти дисперсія. Дисперсія ?2 — міра варіації, обумовлена як середня з відхилень ознаки, зведених в квадрат.

Насправді часто виникають завдання загальнішого характеру — завдання перевірки суттєвості відмінностей середніх вибіркових кількох сукупностей. Наприклад, потрібно оцінити вплив різного сировини на якість готової продукції, вирішити завдання про який вплив кількості добрив на врожайність с/г продукции.

Іноді дисперсионный аналіз застосовується, аби з’ясувати однорідність кількох сукупностей (дисперсії цих сукупностей однакові за припущенням; якщо дисперсионный аналіз покаже, як і математичні очікування однакові, то цьому плані сукупності однорідні). Однорідні ж сукупності можна поєднати в цим отримати неї повнішу інформацію, отже, і більше надійні висновки /2/.

1 Дисперсионный анализ.

1.1 Основні поняття дисперсионного анализа.

У процесі контролю над досліджуваним об'єктом якісні чинники довільно чи заданим чином змінюються. Конкретна реалізація чинника (наприклад, певний температурного режиму, обраний обладнання, або матеріал) називається рівнем чинника чи способом обробки. Модель дисперсионного аналізу з фіксованими рівнями чинників називають моделлю I, модель зі випадковими чинниками — моделлю II. Завдяки варьированию чинника можна досліджувати його впливом геть величину відгуку. У цей загальна теорія дисперсионного аналізу розроблена для моделей I.

Залежно кількості чинників, визначальних варіацію результативного ознаки, дисперсионный аналіз поділяють на однофакторный і многофакторный.

Основними схемами організації вихідних даних із двома і більше чинниками являются:

— перехресна класифікація, характерна моделей I, у яких кожен рівень одного чинника поєднується у разі планування експерименту з кожної градацією іншого фактора;

— ієрархічна (гніздовий) класифікація, характерна моделі II, у якій кожному випадковому, наудачу обраному значенням одного чинника відповідає своє підмножина значень другого фактора.

Якщо одночасно досліджується залежність відгуку від якісних і кількісних чинників, тобто. чинників змішаної природи, то використовується ковариационный аналіз /3/.

Після обробітку даних експерименту найбільш розробленими і тому поширеними вважаються дві моделі. Їх відмінність зумовлено специфікою планування самого експерименту. У моделі дисперсионного аналізу з фіксованими ефектами дослідник свідомо встановлює суворо рівні досліджуваного чинника. Термін «фіксований ефект» в цьому контексті має всього, що самим дослідником фіксується кількість рівнів чинника і відмінності між ними. При повторенні експерименту він або інший дослідник вибере ті ж рівні чинника. У моделі зі випадковими ефектами рівні значення чинника вибираються дослідником випадково з широкого діапазону значень чинника, і за повторних експериментах, природно, цей діапазон буде другим.

Отже, дані моделі відмінними між собою способом вибору рівнів чинника, що, очевидним, що першу чергу, впливає до можливості узагальнення отриманих експериментальних результатів. Для дисперсионного аналізу однофакторных експериментів відмінність цих двох моделей менш істотно, однак у многофакторном дисперсионном аналізі він може бути вельми важным.

Під час проведення дисперсионного аналізу їх необхідно виконувати такі статистичні припущення: незалежно від рівня чинника величини відгуку мають нормальний (Гауссовский) закон і розподілу і однакову дисперсию. Таке рівність дисперсій називається гомогенністю. Отже, зміна способу обробки позначається тільки становищі випадкової величини відгуку, що характеризується середнім значенням чи медианой. Тому всі спостереження відгуку належать сдвиговому сімейству нормальних распределений.

Кажуть, що техніка дисперсионного аналізу є «робастной ». Цей термін, використовуваний статистиками, означає, що ці припущення можна певної міри порушено, але попри це, техніку можна использовать.

При невідомому законі розподілу величин відгуку використовують непараметричні (найчастіше рангові) методи анализа.

У основі дисперсионного аналізу лежить поділ дисперсії на частини чи компоненти. Варіацію, зумовлену впливом чинника, належного в основу угруповання, характеризує межгрупповая дисперсія ?2. вона є мірою варіації приватних середніх за групами [pic] навколо загальної середньої [pic] й по формуле:

[pic],.

де k — число груп; nj — число одиниць на j-ой группе;

[pic]- приватна середня по j-ой группе;

[pic] - загальна середня за сукупністю единиц.

Варіацію, зумовлену впливом інших чинників, характеризує в кожної групі внутригрупповая дисперсія ?j2.

[pic].

Між загальної дисперсией ?02, внутрішньогруповий дисперсией ?2 і межгрупповой дисперсией [pic]существует соотношение:

?02 = [pic]+ ?2.

Внутригрупповая дисперсія пояснює вплив неврахованих при угрупованню чинників, а межгрупповая дисперсія пояснює вплив чинників угруповання на середнє за групою /2/.

1.2 Однофакторный дисперсионный анализ.

Однофакторная дисперсійна модель має вид:

xij =? + Fj + ?ij,.

(1).

де хij — значення досліджуваної зміною, отриманої на 1-му рівні чинника (i=1,2,…, т) з j-м порядковим номером (j=1,2,…, n);

Fi — ефект, обумовлений впливом i-го рівня фактора;

?ij — випадкова компонента, чи обурення, викликане впливом неконтрольованих чинників, тобто. варіацією зміною всередині окремого уровня.

Основні передумови дисперсионного анализа:

— математичне очікування обурення? ij одно нулю для будь-яких і, т. е.

M (?ij) = 0;

(2).

— обурення? ij взаємно независимы;

— дисперсія перемінної xij (чи обурення? ij) постійна для любых і, j, т. е.

D (?ij) = ?2;

(3).

— змінна xij (чи обурення? ij) має нормальний закон распределения N (0;?2).

Вплив рівнів чинника може бути як фіксованим чи систематичним (модель I), і випадковим (модель II).

Нехай, наприклад, необхідно з’ясувати, чи є суттєві різницю між партіями виробів по деякому показнику якості, тобто. перевірити впливом геть якість одного чинника — партії виробів. Якщо включити у дослідження все партії сировини, вплив рівня такого чинника систематичне (модель I), а отримані висновки застосовні тільки до тих окремим партіям, які залучалися для дослідження. Якщо ж включити лише відібрану випадково частина партій, вплив чинника випадкове (модель II). У багатофакторних комплексах можлива змішана модель III, в якої одні чинники мають випадкові рівні, інші - фиксированные.

Нехай є m партій виробів. З кожної партії відібрано відповідно n1, n2, …, nm виробів (для простоти потрібно було, що n1=n2=…=nm=n). Значення показника якості цих виробів представлені у матриці спостережень: x11×12 … x1n x21×22 … x2n.

… = (xij), (і = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n). xm1 xm2 … xmn.

Необхідно перевірити суттєвість впливу партій виробів з їхньої качество.

Якщо думати, що елементи рядків матриці спостережень — це чисельні значення випадкових величин Х1, Х2,…, Хm, виражають якість виробів і мають нормальний закон розподілу з математичними очікуваннями відповідно a1, а2,…, аm і однаковими дисперсиями ?2, то дана завдання зводиться до перевірки нульової гіпотези Н0: a1=a2 =…= аm, здійснюваної в дисперсионном анализе.

Усереднення по якомусь індексу позначений зірочкою (чи точкою) замість індексу, тоді середній показник якості виробів i-го партії, чи групова середня для i-го рівня чинника, прийме вид:

[pic],.

(4).

де [pic]i* - середнє по столбцам;

[pic]ij — елемент матриці спостережень; n — обсяг выборки.

А загальна средняя:

[pic]. (5).

Сума квадратів відхилень спостережень хij загальної середньої [pic]** виглядає так:

[pic]2=[pic]2+[pic]2+.

+2[pic]2. (6).

или.

Q = Q1 + Q2 + Q3.

Останнє складова одно нулю.

[pic]=0. (7) адже суму відхилень значень перемінної від неї середньої дорівнює нулю, т. е.

[pic]2=0.

Перше складова можна записати в виде:

[pic].

У результаті виходить тождество:

Q = Q1 + Q2,.

(8) де [pic]- загальна, чи повна, сума квадратів отклонений;

[pic]- сума квадратів відхилень групових середніх загальної середньої, чи межгрупповая (факторная) сума квадратів отклонений;

[pic]- сума квадратів відхилень спостережень від групових середніх, чи внутригрупповая (залишкова) сума квадратів отклонений.

У розкладанні (8) міститься стрижневу ідею дисперсионного аналізу. Що стосується аналізованої завданню рівність (8) показує, що це загальна варіація показника якості, вимірювана сумою Q, складається з цих двох компонент — Q1 і Q2, характеризуючих мінливість цей показник між партіями (Q1) і мінливість всередині партій (Q2), характеризуючих однакову всім партій варіацію під впливом неврахованих факторов.

У дисперсионном аналізі аналізуються не самі суми квадратів відхилень, а звані середні квадрати, є несмещенными оцінками відповідних дисперсій, які виходять розподілом сум квадратів відхилень відповідний число ступенів свободы.

Кількість ступенів свободи окреслюється загальна кількість спостережень мінус число що пов’язують їх рівнянь. Тож середнього квадрата s12, що є несмещенной оцінкою межгрупповой дисперсії, число ступенів свободи k1=m-1, бо за його розрахунку використовуються m групових середніх, пов’язаних між собою одним рівнянням (5). Щодо середнього квадрата s22, що є несмещенной оцінкою внутрішньогруповий дисперсії, число ступенів свободи k2=mn-m, т.к. у її розрахунку використовують усі mn спостережень, пов’язаних між собою m рівняннями (4).

Таким образом:

[pic]= Q1/(m-1),.

[pic]= Q2/(mn-m).

Якщо знайти математичні очікування середніх квадратів [pic] і [pic], підставити у тому формули вираз xij (1) через параметри моделі, то получится:

[pic].

[pic][pic].

[pic].

[pic].

(9).

т.к. з урахуванням властивостей математичного ожидания.

[pic] а.

[pic].

[pic].

[pic] (10).

Для моделі I з фіксованими рівнями чинника Fi (i=1,2,…, m) — величини невипадкові, поэтому.

M (S[pic]) =[pic]2 /(m-1) +?2.

Гіпотеза H0 набуде вигляду Fi = F*(i = 1,2,…, m), тобто. вплив всіх рівнів чинника один і той ж. Що стосується справедливості цієї гипотезы.

M (S[pic])= M (S[pic])= ?2.

Для випадкової моделі II складова Fi у натуральному вираженні (1) — величина випадкова. Позначаючи її дисперсией.

[pic].

одержимо з (9).

[pic].

(11).

як і й у моделі I.

M (S[pic])= ?2.

У таблиці 1.1 представлений загальний вигляд обчислення значень, з допомогою дисперсионного анализа.

Таблиця 1.1 — Базова таблиця дисперсионного аналізу |Компоненти |Сума квадратів |Кількість |Середній |Математичне | |дисперсії | |степене|квадрат |очікування середнього| | | |і | |квадрата | | | |свободи| | | |Межгрупповая |[pic] |m-1 |[pic]= |[pic] | | | | |Q1/(m-1) | | |Внутригрупповая|[pic] |mn-m |[pic]= |M (S[pic])= ?2 | | | | |Q2/(mn-m) | | |Загальна |[pic] |mn-1 | | |.

Гіпотеза H0 набуде вигляду? F2 =0. Що стосується справедливості цієї гипотезы.

M (S[pic])= M (S[pic])= ?2.

Що стосується однофакторного комплексу як моделі I, і моделі II середні квадрати S2 і S2, є несмещенными і незалежними оцінками одному й тому ж дисперсії ?2.

Отже, перевірка нульової гіпотези H0 звелася до перевірки суттєвості відмінності несмещенных вибіркових оцінок S[pic] і S[pic] дисперсії ?2.

Гіпотеза H0 відхиляється, якщо фактично розрахований значення статистики F = S[pic]/S[pic] більше критичного F?:K1:K2, певного на рівні значимості? при числі ступенів свободи k1=m-1 і k2=mn-m, і приймається, якщо F < F?:K1:K2 .

Fрозподіл Фішера (для x > 0) має таку функцію щільності (для [pic]= 1, 2, …; [pic]= 1, 2, …):

[pic].

де [pic] - ступеня свободы;

Р — гамма-функция.

Що стосується даної завданню спростування гіпотези H0 означає наявність суттєвих відмінностей як виробів різних партій на аналізованому рівні значимости.

Для обчислення сум квадратів Q1, Q2, Q це часто буває зручно використовувати такі формулы:

[pic] (12).

[pic] (13).

[pic].

(14) тобто. самі середні, власне кажучи, знаходити не обязательно.

Отже, процедура однофакторного дисперсионного аналізу полягає у перевірці гіпотези H0 у тому, що маємо одну група однорідних експериментальних даних проти альтернативи у тому, що такі групи більше, ніж одна. Під однорідністю розуміється однаковість середніх значень і дисперсій у кожному підмножині даних. У цьому дисперсії може бути як відомі, і невідомі заздалегідь. Якщо є підстави вважати, що відома чи невідома дисперсія вимірів однакова у всій сукупності даних, то завдання однофакторного дисперсионного аналізу зводиться до дослідження значимості відмінності середніх в групах даних /1/.

1.3 Багатофакторний дисперсионный анализ.

Слід відразу ж потрапляє відзначити, що принципової різниці між многофакторным і однофакторным дисперсионным аналізом немає. Багатофакторний аналіз не змінює загальну логіку дисперсионного аналізу, а лише кілька ускладнює її, оскільки, крім обліку впливу залежну зміну кожного із чинників окремо, слід оцінювати та його спільне дію. Отже, те нове, що вносить в аналіз даних багатофакторний дисперсионный аналіз, стосується основному можливості оцінити межфакторное взаємодія. Проте, продовжує залишатися можливість оцінювати вплив кожного чинника окремо. У цьому сенсі процедура багаточинникового дисперсионного аналізу (у варіанті її комп’ютерного використання) безсумнівно економічніша, оскільки всього за запуск вирішує відразу два завдання: оцінюється вплив кожного з факторів, і їхню взаємодію /3/.

Загальна схема двухфакторного експерименту, дані якого обробляються дисперсионным аналізом має вид:

Малюнок 1.1 — Схема двухфакторного эксперимента.

Дані, подвергаемые многофакторному дисперсионному аналізу, часто позначають відповідно до кількістю факторів, і їх уровней.

Припустивши, що у аналізованої завданню якість різних m партій вироби виготовлялися різних t верстатах і потрібно з’ясувати, чи є істотні розбіжності як виробів в кожному фактору:

А — партія изделий;

B — станок.

У результаті виходить перехід до завданню двухфакторного дисперсионного анализа.

Усі дані представлені у таблиці 1.2, у якій по рядкам — рівні Ai чинника По столбцам — рівні Bj чинника У, а відповідних осередках, таблиці перебувають значення показника якості виробів xijk (i=1,2,…, m; j=1,2,…, l; k=1,2,…, n).

Таблиця 1.2 — Показники якості виробів | |B1 |B2 |… |Bj |… |Bl | |A1 |x11l,…, x11k |x12l,…, x12k |… |x1jl,…, x1jk |… |x1ll,…, x1lk| |A2 |x21l,…, x21k |x22l,…, x22k |… |x2jl,…, x2jk |… |x2ll,…, x2lk| |… |… |… |… |… |… |… | |Ai |xi1l,…, xi1k |xi2l,…, xi2k |… |xijl,…, xijk |… |xjll,…, xjlk| |… |… |… |… |… |… |… | |Am |xm1l,…, xm1k |xm2l,…, xm2k |… |xmjl,…, xmjk |… |xmll,…, xmlk|.

Двухфакторная дисперсійна модель має вид:

xijk=?+Fi+Gj+Iij+?ijk, (15).

де xijk — значення спостереження осередку ij з номером k;

? — загальна средняя;

Fi — ефект, обумовлений впливом i-го рівня чинника А;

Gj — ефект, обумовлений впливом j-го рівня чинника В;

Iij — ефект, обумовлений взаємодією двох чинників, тобто. відхилення середньої за спостереженнями в осередку ij від суми перших трьох доданків в моделі (15);

?ijk — обурення, обумовлене варіацією перемінної всередині окремої ячейки.

Передбачається, що? ijk має нормальний закон розподілу N (0; с2), проте математичні очікування F*, G*, Ii*, I*j рівні нулю.

Групові середні перебувають по формулам:

— в ячейке:

[pic], по строке:

[pic] по столбцу:

[pic] загальна средняя:

[pic].

У таблиці 1.3 представлений загальний вигляд обчислення значень, з допомогою дисперсионного анализа.

Таблиця 1.3 — Базова таблиця дисперсионного аналізу |Компоненти |Сума квадратів |Кількість |Середні | |дисперсії | |степеней|квадраты | | | |свободи | | |Межгрупповая |[pic] |m-1 |[pic] | |(чинник А) | | | | |Межгрупповая |[pic] |l-1 |[pic] | |(чинник B) | | | | |Взаимодействи|[pic] |(m-1)(l-|[pic] | |е | |1) | | |Залишкова |[pic] |mln — ml|[pic] | |Загальна |[pic] |mln — 1 | |.

Перевірка нульових гіпотез HA, HB, HAB про відсутність впливу аналізовану зміну чинників А, B та його взаємодії AB здійснюється порівнянням відносин [pic], [pic], [pic] (для моделі I з фіксованими рівнями чинників) чи відносин [pic], [pic], [pic] (для випадкової моделі II) з відповідними табличными значеннями F — критерію Фішера — Снедекора. Для змішаної моделі III перевірка гіпотез щодо чинників з фіксованими рівнями виробляється як і в моделі II, а чинників зі випадковими рівнями — як і моделі I.

Якщо n=1, тобто. за одного спостереженні в осередку, то ми не все нульові гіпотези можуть бути перевірені оскільки випадає компонента Q3 із загальної суми квадратів відхилень, і з з нею й середній квадрат [pic], позаяк у цьому разі може йти мова про взаємодії факторов.

З погляду техніки обчислень перебування сум квадратів Q1, Q2, Q3, Q4, Q доцільніше використовувати формулы:

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

Q3 = Q — Q1 — Q2 — Q4.

Відхилення від основних передумов дисперсионного аналізу — нормальності розподілу досліджуваної перемінної і рівності дисперсій в осередках (якщо вона надмірне) — позначається істотно на результатах дисперсионного аналізу при рівному числі спостережень в осередках, але, можливо відчутно при нерівному тому числі. З іншого боку, при нерівному числі спостережень в осередках різко зростає складність апарату дисперсионного аналізу. Тому рекомендується планувати схему з однаковим числом спостережень в осередках, і якщо зустрічаються відсутні дані, то відшкодовувати їх середніми значеннями інших спостережень в осередках. У цьому, проте, штучно запроваджені відсутні дані годі було враховувати в підрахунку числа ступенів свободи /1/.

2 Застосування дисперсионного аналізу, у різних процесах і исследованиях.

2.1 Використання дисперсионного аналізу щодо міграційних процессов.

Міграція — складне соціальне явище, що визначала економічне й політичне аспекти життя суспільства. Дослідження міграційних процесів пов’язані з виявленням чинників зацікавленості, задоволеності умовами праці, і оцінкою впливу отриманих чинників на міжгруповое рух населения.

?ij=ciqijaj, де? ij — інтенсивність переходів з вихідної групи і (виходу) в нову j (входу); ci — можливість й уміння залишити групу і (ci?0); qij — привабливість нової групи з порівнянню із вихідною (0?qij?1); aj — доступність групи j (aj?0).

Якщо брати чисельність групи і рівної ni, то оцінкою випадкової величини? ij — числа переходів з і в j — буде niciqijaj:

?ij? ni? ij=niciqijaj. (16).

Насправді для окремої людини ймовірність p переходу до іншої групу мала, а чисельність аналізованої групи n велика. І тут діє закон рідкісних подій, тобто межею? ij є розподіл Пуассона з параметром ?=np:

[pic].

Зі збільшенням? розподіл наближається до нормальному. Перетворену ж величину?? ij вважатимуться нормально распределенной.

Якщо прологарифмировать вираз (16) і зробити необхідні заміни змінних, можна отримати модель дисперсионного анализа:

ln??ij=Ѕln?ij=Ѕ(lnni+lnci+lnqij+lnaj)+?ij,.

Xi, j=2ln??ij-lnni-lnqij,.

Ci=lnci,.

Aj=lnaj,.

Xi, j=Ci+Aj+?.

Значення Ci і Aj дозволяють отримати модель двухфакторного дисперсионного аналізу з однією наглядом у клітині. Зворотним перетворенням з Ci і Aj обчислюються коефіцієнти ci і aj.

Під час проведення дисперсионного аналізу, у ролі значень результативного ознаки Y взяти величины:

Yij=Xi, j-X,.

Х=(Х1,1+Х1,2+:+Хmi, mj)/mimj,.

де mimjоцінка математичного очікування Хi, j;

Хmi і Хmj — відповідно кількість груп виходу і входа.

Рівнями чинника I будуть mi груп виходу, рівнями чинника J — mj груп входу. Передбачається mi=mj=m. Постає завдання перевірки гіпотез HI і HJ про равенствах математичних очікувань величини Y при рівнях Ii і за рівнях Jj, i, j=1,…, m. Перевірка гіпотези HI полягає в порівнянні величин несмещенных оцінок дисперсії sI2 і so2. Якщо гіпотеза HI правильна, то величина F (I)= sI 2/so2 має розподіл Фішера з числами ступенів свободи k1=m-1 і k2=(m-1)(m-1). Для рівня значимості? перебуває правобічна критична точка xпр,?кр. Якщо числове значення F (I)чис величини потрапляє у інтервал (xпр,?кр, +?), то гіпотеза HI відхиляється і вважається, що чинник I впливає результативний ознака. Ступінь цього впливу за результатами спостережень вимірюється вибірковим коефіцієнтом детермінації, що свідчить про, яка частина дисперсії результативного ознаки в вибірці обумовлена впливом нею чинника I. Якщо ж F (I)чис.