Аналітична геометрія

Зміст

Вступ

Завдання 1

Завдання 2

Завдання 3

Завдання 4

Завдання 5

Завдання 6

Завдання 7

Завдання 8

Завдання 9

Завдання 10

Література

Вступ

Контрольна робота з дисципліни «Вища математика» по курсу «Аналітична геометрія» і «Вступ до математичного аналізу»

У роботі розглянуто:

— розв'язання системи рівнянь методом Крамера, методом оберненої матриці та методом Гаусса;

— розрахунок довжини ребра, кута між ребрами, рівняння площини грані і кута між ребром та гранню, площу грані та об'єм піраміди, рівняння прямої та рівняння висоти, опущеної з вершини на грань;

— знаходження границь, не користуючись правилом Лопіталя;

— знаходження точки розриву функції, якщо вони існують;

— знаходження першої та другої похідних заданих функцій;

— знаходження границь функцій за допомогою правила Лопіталя;

— дослідження функції та побудува її графіку;

— знаходження рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні;

— знаходження найбільшого та найменшого значення функції в трикутнику, обмеженому прямими;

— знаходження кута між градієнтами поля в точках.

Завдання 1

Розв’язати систему рівнянь методом Крамера, методом оберненої матриці та методом Гаусса.

Розв’язок

а) Знайдемо визначник системи, складений з коефіцієнтів при невідомих системи, шляхом його розкладу по елементам першого рядка

Знайдемо одержані з визначника системи заміною в ньому стовпця коефіцієнтів при відповідних невідомих стовпцем вільних членів

;

Знайдемо невідомі за формулами Крамера

б) Метод оберненої матриці

Позначивши

Одержимо матричне рівняння Помноживши обидві частини цього рівняння на одержимо матричне рівняння:

Знайдемо обернену матрицю, для чого визначимо алгебраїчні доповнення елементів матриці

Звідси:

в)/ Метод Гаусса.

Метод Гаусса (метод виключення змінних) полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системи східчастого (або трикутного) вигляду, з якої послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, визначаються всі інші змінні.

Існують різні схеми реалізації метода Гаусса. Однією із зручних схем є схема перетворень розширеної матриці системи.

Складемо розширену матрицю системи

та позначимо її вихідні рядки буквами тобто .

Змінюючи верхній індекс позначки рядка після кожного перетворення, покажемо, які саме перетворення відбуваються над відповідними рядками.

Перший етап розв’язку системи (прямий хід) має вигляд:

матрица гаусс кут ребро крамер

Система рівнянь прийняла трикутний вигляд. Другий етап розв’язку (зворотний хід) можна виконати в матричній формі, як це зроблено вище, а можна шукані змінні знайти безпосередньо із системи рівнянь.

Відповідь: х₁=1; х₂=2; х₃=3.

Завдання 2

Задані координати вершин піраміди Знайти:

а) довжину ребра б) кут між ребрами і в) рівняння площини грані і кут між ребром та гранню

г) площу грані д) об'єм піраміди; є) рівняння прямої

ж) рівняння висоти, опущеної з вершини на грань

з) виконати малюнок.

Розв’язок:

Дано:

Рис. 1.

а) Знайдемо вектор

Довжина ребра: .

б) Знайдемо вектор

Косинус кута між ребрами і:

в) Знайдемо рівняння площини, в якій лежить грань

або

Нормальний вектор цієї площини

Знайдемо синус між ребром і гранню :

г) Знайдемо вектор

Векторний добуток векторів і :

Шукана площа грані

д) Знайдемо змішаний добуток векторів, та

Шуканий об'єм піраміди дорівнює 1/6 модуля змішаного добутку векторів

є) Рівняння прямої запишемо, як рівняння прямої, що проходить через дві точки

ж) Рівняння висоти, проведеної з вершини на площину знайдемо як рівняння прямої, перпендикулярної до площини, що проходить через точку, у вигляді

З умов перпендикулярності маємо

Звідси і рівняння шуканої висоти

або

Завдання 3

Знайти границі, не користуючись правилом Лопіталя.

а) б) в)

г) д) є)

Розв’язок

Якщо функція елементарна та граничне значення аргументу належить її області визначення, то обчислення границі функції полягає в простій підстановці у функцію граничного значення аргументу. Коли ж аргумент прагне до нескінченності або до числа, яке не належить області визначення функції, тоді в кожному такому випадку потрібні спеціальні дослідження.

а) У даному випадку границю функції не можна знайти шляхом безпосередньої підстановки у дріб тому, що отримаємо невизначеність вигляду. Щоб усунути цю невизначеність, поділимо чисельник та знаменник дробу на старший степінь знаменника (на).

б) Невизначеність вигляду усунемо шляхом скорочення дробу на. Для цього помножимо чисельник та знаменник на добуток і виконаємо відповідні перетворення.

в) При маємо невизначеність вигляду .

Треба скоротити дріб на. Для цього знайдемо корені чисельника та розкладемо його на множники. Ірраціональність знаменника усунемо шляхом переносу її у чисельник, тобто помножимо чисельник та знаменник на .

г) У цьому прикладі порівнюються нескінченно малі чисельника та знаменника при. Для усунення невизначеності вигляду використовуємо уявлення про еквівалентні нескінченно малі величини.

д) При обчисленні границь тригонометричних функцій використовуємо, коли в цьому є необхідність, відповідні тотожні тригонометричні перетворення.

є) При маємо невизначеність вигляду. Таку невизначеність можна усунути за допомогою тотожних перетворень заданої функції до вигляду другої визначеної границі.

Завдання 4.

Задана функція

різними аналітичними виразами для різних областей зміни незалежної змінної. Знайти точки розриву функції, якщо вони існують. Зробити малюнок.

Розв’язок

Функція задана трьома різними аналітичними виразами. В першому інтервалі функція неперервна, в другому інтервалі (0,3) функція неперервна в усіх внутрішніх точках інтервалу, крім границь, в третьому інтервалі функція неперервна. Значить, ця функція може мати розрив тільки при і .

Розглянемо, як поводиться функція в точці .

Функція неперервна в точці, коли:

1. Визначена в точці і в точках її деякого околу;

2. Має в цій точці однобічні границі та виконуються рівняння

Знайдемо в кожній з цих точок границі зліва і справа.

Так як границі зліва і справа існують і різні, то функція в точці має кінцевий розрив. Скачок функції

Для встановлення неперервності функції в точці знайдемо границі ліворуч і праворуч в точці .

обчислимо значення функції в точці

Так як границі ліворуч і праворуч в точці однакові і дорівнюють значенню функції в точці, то вона в цій точці неперервна. Побудуємо графік функції

Рис. 2.

Завдання 5

Знайти першу та другу похідні заданих функцій:

а) б) в)

г) д)

Розв’язок

а) Явно задана функція уявляє собою добуток степеневої функції на складну логарифмічну функцію. Похідні функції знаходимо відповідно з її будовою та правилами диференціювання: похідна добутку, похідні степеневої та логарифмічної функцій, похідна складної функції. Тоді

Друга похідна є похідною від першої похідної. Тобто :

б) Добуток многочлена на обернений тангенс диференціюється за правилами, наведеними у попередньому прикладі.

Розв’язок:

в) Якщо функція задана неявно, то для відшукання похідної треба продиференціювати обидві частини заданої рівності по х, пам’ятаючи, що у є функцією від х, та розв’язати отримане рівняння відносно відповідної похідної

Другу похідну знаходимо у тій же послідовності з рівняння, позначеного .

Першу похідну можна усунути з останнього рівняння, приймаючи до уваги рівняння

Тоді

г) Перша похідна функції, заданої параметрично:

обчисляється за формулою:

Тоді

Друга похідна:

Тоді

д)

Завдання 6

Знайти границі функцій за допомогою правила Лопіталя.

а) б) .

Розв’язок

Більш потужним засобом розкриття невизначеностей при обчисленні границь функцій є правило Лопіталя: границя відношення двох нескінченно малих або двох нескінченно великих дорівнює границі відношення їхніх похідних, якщо остання існує.

а)

б) У цьому прикладі маємо невизначеність вигляду. Щоб використати правило Лопіталя треба спочатку цю невизначеність перетворити до вигляду або. А саме

Тоді

Завдання 7

Дослідити функцію та побудувати її графік.

Розв’язок

1. Знаходимо область визначення функції: Функція має розрив в точці х=0.

2. Знайдемо вертикальні та невертикальні асимптоти графіка, для чого знаходимо односторонні границі функції:

Пряма х=0 є вертикальна асимптота графіка функції. Лінія наближається до асимптоти праворуч зверху.

3. Знаходимо невертикальну асимптоту у вигляді :

Невертикальна асимптота. Знайдемо взаємне розташування графіка функції та асимптоти

При і лінія знаходиться під асимптотою.

При і лінія знаходиться понад асимптотою.

4. Знаходимо інтервали монотонності та екстремуми функції:

.

Прирівнюємо похідну до нуля і знаходимо критичні точки:

Крім того, похідна не існує в точці .

Ці точки ділять область визначення на чотири інтервали:

.

Знаходимо знак похідної в кожному інтервалі:

В інтервалі функція зростає.

В інтервалі функція спадає.

В інтервалі функція спадає.

В інтервалі функція зростає.

Функція має максимум при :

Функція досягає мінімуму при

5. Знаходимо точки перегину та інтервали опуклості та вгнутості графіка функції, для чого знаходимо другу похідну:

— критична точка.

Крім того друга похідна не існує в точці х=0.

Інтервали опуклості та вгнутості

Знак другої похідної в кожному інтервалі

В інтервалі графік функції опуклий.

В інтервалі графік функції вгнутий.

Точка є абсциса точки перегину. Знаходимо ординату точки перегину:

Точка перегину А

в) Побудуємо графік функції:

Рис. 3.

Завдання 8

Знайти найбільші та найменші значення функції в трикутнику, обмеженому прямими х=0; у=0; х+у-1=0.

Розв’язок

1. Знайдемо стаціонарні точки цієї функції, для чого знайдемо частинні похідні

Прирівнюємо їх до нуля

Ця точка лежить в трикутнику.

Обчислимо значення функції в цій точці:

Дослідимо функцію на границях області (сторонах трикутниках). На прямій х=0 вираз для функції буде:

Знаходимо

Ця точка лежить на стороні трикутника і знаходимо значення функції

На прямій у=0 вираз для функції буде: .

Ця точка лежить на стороні трикутника і знаходимо значення функції

На прямій і вираз для функції буде

Знаходимо

Точка лежить на стороні трикутника, обчислимо значення функції в цій точці

Вершинами області являються точки (0;0), (0;1), (1;0).

Обчислимо значення функції в вершинах області:

Отже, найменше значення функція приймає в точці, найбільше значення в двох точках

Відповідь: найменше .

Найбільше

Завдання 9.

Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні:

в точці .

Розв’язок.

Тут:

Знайдемо

Обчислимо значення частинних похідних в точці

Рівняння дотичної площини

Підставляючи значення похідних, маємо:

Рівняння нормалі до поверхні:

Підставляючи значення похідних

або

Відповідь: ;

Завдання 10

Знайти кут між градієнтами поля в точках і

Розв’язок

Знайдемо частинні похідні

Обчислимо значення частих похідних в точках, А і В.

Знаходимо градієнти поля в точках, А і В:

Знаходимо косинус кута між градієнтами:

Відповідь: .

Література

1. Высшая математика для экономистов: Учебник./ Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.- М.: ЮНИТИ, 2004.

2. Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу высшей математики./ Под ред. А. И. Карасева и Н. Ш. Кремера.- М.: Экономическое образование, 1989.

3. Міхайленко В.М., Федоренко Н. Д. Алгебра та геометрія для економістів.- К.:УФІМБ «Пошук», 1998.

4. Міхайленко В.М., Федоренко Н. Д. Математичний аналіз для економістів.- К.: Європейський університет фінансів, інформаційних систем, менеджменту і бізнесу, 1999.

5. Беклемешев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник для вузов. -М.: Наука, 1987.

6. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Учебное пособие для вузов. -М.: Наука, 1971.

7. Бугров Я. М., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Учебное пособие для вузов. -М.: Наука, 1988.

8. Бугров Я. М., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебное пособие для вузов. -М.: Наука, 1988.

9. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1. Учебное пособие. -М.: Высшая школа, 1986.

10. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. Учебное пособие. -М.: Высшая школа, 1986.

11. Демидович Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов.- М.: Наука, 1990.

12. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1973.

13. Мышкис А. Д. Математика для втузов. Специальные курсы.- М.: Наука, 1971.

14. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1986.

15. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебное пособие. Т.1. -М.: Наука, 1978.

16. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебное пособие. Т.2. -М.: Наука, 1985.

17. Пак В. В., Носенко Ю. Л. Высшая математика. Учебник.- Д.: Сталкер, 1997.