Узагальнене рівняння стану електричної системи

Систему взаємонезалежних рівнянь першого закону Кірхгофа в.

матричному вигляді можна записати наступним чином:

М · І +J = 0

де: М — перша матриця інциденцій; І — вектор-стовпчик струмів у гілках схеми; J — вектор-стовпчик струмів навантаження у вузлах.

Систему взаємонезалежних рівнянь другого закону Кірхгофа в матричному вигляді можна записати наступним чином:

N· UД=0.

де: U_Д — стовпчик падінь напруги у гілках схеми.

Закон Ома можна записати матричним рівнянням:

UД =Zд · І - E.

де: U_Д — діагональна матриця опорів гілок; E — вектор-стовпчик ЕРС у гілках.

Після підстановки (1.3) у (1.2) отримаємо матричне рівняння другого закону Кірхгофа:

N (Zд · І - E) = 0;

яке можна записати наступним чином:

N· Z_{д· І=Eк}

де: Е_{к = N * Е — стовпчик контурних ЕРС, які визначаються як алгебраїчна сума ЕРС гілок, що входять до кожного незалежного контуру.}

Після об'єднання матричних рівнянь законів Кірхгофа та Ома у загальну систему, отримаємо узагальнене рівняння стану електричної системи:

M· I= - J.

N· Z_{д· І = Eк}

де: Е_{к — вектор-стовпчик контурних ЕРС.}

Ці рівняння можна з'єднати в одне, якщо матриці М та добуток N· Z_{д розглядати як блоки однієї об'єднаної матриці параметрів схеми заміщення електричної системи:}

A=.

а матриці J і Е_{к розглядати як блоки однієї об'єднаної матриці вихідних параметрів режиму електричної системи:}

F=.

Отже, узагальнене рівняння стану електричної системи приймає наступний вигляд:

А · І = F.

Отримане рівняння розв’язують відносно вектор-стовпчика невідомих струмів гілок.

Узагальнене рівняння стану електричної системи характеризується значною розмірністю, тому для практичних розрахунків використовують більш компактну контурну або вузлову моделі.