Дослідження випадкових процесів

ПЕРША ЧАСТИНА. Дослідження випадкових процесів

Завдання 1. Характеристика випадкових процесів

Метою даного завдання є дослідження заданого та теоретичного закону розподілу випадкового процесу.

Завдання: За заданої щільності розподілу визначити, який це закон розподілу. У результаті побудувати щільність розподілу, функцію розподілу, а також гістограму розподілу випадкового процесу. Одномірні щільності розподілу задано в табл. 1. Після проведених досліджень визначити кількісні характеристики випадкового процесу: математичне сподівання, дисперсію, «асиметрія» і ексцес.

Номер варіанту — 1.

Заданий параметр розподілу — 10.

Згідно варіанту задана одномірна щільність розподілу ймовірності = стаціонарного у вузькому сенсі випадкового процесу. Область значень випадкових величин: і параметр: =10.

Заданий закон є експоненційним законом розподілу випадкових величин.

Експонеційний закон розподілу відіграє велику роль в теорії масового обслуговування та теорії надійності.

Безперервна випадкова величина X має експоненційний закон розподілу з параметром, якщо її щільність ймовірності f (x) має вигляд:

На рис 1.8 показано графік щільність розподілу ймовірності експоненційного закону розподілу.

Графік щільності розподілу ймовірності еспоненційного закону Функція розподілу випадкової величини X, розподіленої по експоненційному закону, є

Графік функції F (х) наведений на рис 1.9.

Визначимо числові характеристики випадкової величини з рівномірним розподілом.

Математичне очікування Дисперсія Середньоквадратичне відхилення Коефіцієнт асиметрії

.

Ексцес дорівнює

Графік функції розподілу експоненційного закону Дослідження заданого закону.

Так як щільність =, а заданий параметр b=10, то

а отже функція розподілу випадкового процесу має вигляд:

а щільність розподілу:

.

Потім було виміряно параметри експоненційного закону:

Потім було побудовано гістограму експоненційного закону. Для цього було задано кількість випробувань, знайдено нормовані висоти столбців, сформовано дані для гістограми за допомогою функції hist (intervals, data), що повертає вектор з числом точок з data, що потрапили у відповідний інтервал з кордонами, заданих b вектором intervals:

де int — інтервал частот.

Отже, числові статистичні характеристики заданого закону розподілу:

.

Завдання № 2. Перетворення випадкових процесів

Метою даного завдання є дослідження перетворення випадкових процесів, а саме щільності розподілу на виході безінерційного пристрою.

Завдання: На безінерційний радіотехнічний пристрій впливає стаціонарний випадковий сигнал і має щільність розподілу. Знайти в загальному вигляді щільність розподілу сигналу на виході цього пристрою по заданій щільності розподілу ймовірностей розрахованій в завданні 1 та заданій характеристиці пристрою (детермінованій функції) .

За результатами проведених теоретичних та практичних досліджень побудувати графік залежності щільності розподілу на виході безінерційний пристрою. В результаті проведених досліджень порівняти вхідну та отриману щільність розподілу випадкового процесу на виході цього пристрою.

Варіант: (m — n), де m — передостання; n — остання цифри номера студентського квитка — (10−1)=9.

: .

Сигнал на вході пристрою має вигляд:

та його щільність:

.

Щільність розподілу сигналу на виході знаходимо за формулою:

.

Характеристика пристрою, що залежить від y має вигляд:

Для того, щоб знайти, потрібно прийняти, тоді.

Потім було знайдено похідну від оберненої детермінованої функції, що дорівнює Ѕ.

Отже, в загальному вигляді функція щільності сигналу на виході має таке рішення:

І має такий графік:

Якщо порівняти щільність на вході і виході неінерційного виходу, то можна побачити, що характеристики сигналу не змінюються зі зміною його аргументу:

ДРУГА ЧАСТИНА. Дослідження параметричних алгоритмів виявлення сигналів

Мета завдання:

1) Ознайомлення з основними алгоритмами виявлення сигналів.

2) Вивчення особливостей виявлення нормального сигналу на фоні нормального шуму методом накопичення відліків згинаючої випадкового процесу.

3) Вивчення особливостей виявлення нормального сигналу на фоні нормального шуму використовуючи різні критерії прийняття рішення згідно заданому варіанту.

4) Оцінка ефективності алгоритмів виявлення сигналів методом математичного проектування в середовищі MathCAD

Завдання:

1. сформувати випадковий процес згідно заданому варіанту (табл.4);

2. сформувати інформаційний сигнал згідно заданому варіанту (табл.4);

3. сформувати адитивну суміш;

4. визначити кількісні характеристики (математичне сподівання, дисперсію, середньоквадратичне відхилення) для випадкового процесу, інформаційного сигналу, адитивної суміші;

5. побудувати щільність розподілу і розрахувати вузькополосний випадковий процес на вході детектора огинаючої за відсутності корисного сигналу ();

6. побудувати щільність розподілу і розрахувати корисний сигнал у вигляді адитивної суміші сигналу і шуму на вході детектора огинаючої ();

7. побудувати і розрахувати густину обвідної нормального випадкового процесу при лінійному детектуванні, яке описується законом Релея при відсутності сигналу і при наявності сигналу;

8. побудувати і розрахувати криві розподілу відліків обвідної процесу за відсутності та за наявності сигналу;

9. побудувати і розрахувати криві розподілу перевірочної статистики ;

10. розрахувати поріг прийняття рішення на основі кривих розподілу перевірочної статистики дослідним шляхом для різної кількості відліків перевірочної статистики;

11. на підставі розрахованого порогу прийняття рішення знайти ймовірність правильного прийняття рішення та ймовірності помилкової тривоги для різної кількості відліків перевірочної статистики;

12. провести оцінку точності процедури прийняття рішення на підставі побудови графічної залежності ймовірності правильного прийняття рішення від співвідношення сигнал/шум і кількості відліків перевірочної статистики;

13. результати сформувати у вигляді зведеної таблиці і побудувати графічні залежності ймовірності правильного прийняття рішення від співвідношення сигнал / шум і кількості відліків перевірочної статистики .

Номер варіанту — 30

Спочатку було створено для всіх процесів корисний сигнал (радіоімпульс з амплітудою 14мВ та структурою сигнала 11 011 000):

та виміряно його параметри:

Отже, тепер можна сформувати перший випадковий процес для =0,5 та знайти його характеристики за допомогою вбудованих функцій MathCad.

1. mean (A) — Повертає середнє значення елементів масиву A розмірності mxn;

2. var (A) — Повертає дисперсію елементів масиву A розмірності mxn;

3. stdev (A) Повертає середньоквадратичне відхилення (квадратний корінь з дисперсії) елементів mxn.

Потім було сформовано адитивну суміш заданого радіоімпульсу та випадкового процесу. Також було визначено характеристики:

Потім було побудовано щільність розподілу і розраховано вузькополосний випадковий процес на вході детектора огинаючої за відсутності корисного сигналу.

Структурна схема виявлення з накопиченням відліків огинаючої випадкового процесу:

Звідси видно, що на вхід детектора огинаючої за відсутності корисного сигналу () надходить вузькополосний випадковий процес, який представляє собою стандартний (гаусівський) шум з математичний очікуванням і має щільність розподіл ймовірності виду:

де — дисперсія (потужність) шуму. При наявності на вході, детектора корисного сигналу () з математичним очікуванням щільність розподілу адитивної суміші сигналу і шуму також має нормальний розподіл:

де — дисперсія (потужність) адитивної суміші сигналу і шуму,

— потужність сигналу (потужністю інформативного сигналу виступає його амплітуда).

Для її виведення використана теорема складання дисперсій: дисперсія суми некорельованих випадкових величин дорівнює сумі дисперсій доданків. Крім того, відомо, що сума нормальних процесів також розподілена за нормальним законом. Розподіл (18) зручно записати у вигляді

де — відношення огинаючої потужності сигналу до потужності завади.

Отже, На виході детектора виділяється обвідна вхідного випадкового процесу і завдання полягає у побудові і розрахунку густину цієї обвідної при лінійному детектуванні. Щільність розподілу обвідної нормального випадкового процесу при лінійному детектуванні описується законом Релея:

при відсутності сигналу:

і при наявності сигналу

Для цього було побудовано і розраховано густину обвідної нормального випадкового процесу при лінійному детектуванні, яке описується законом Релея при відсутності сигналу і при наявності сигналу:

Математичне очікування та дисперсія дискретних релеївських відліків при відсутності сигналу:

та при наявності сигналу:

Потім потрібно побудувати і розрахувати криві розподілу перевірочної статистики; розрахувати поріг прийняття рішення на основі кривих розподілу перевірочної статистики дослідним шляхом для різної кількості відліків перевірочної статистики; на підставі розрахованого порогу прийняття рішення знайти ймовірність правильного прийняття рішення та ймовірності помилкової тривоги для різної кількості відліків перевірочної статистики.

Криві розподілу відліків огинаючої процесу за відсутності та за наявності сигналу:

Криві розподілу перевірочної статистики :

Для прийняття рішення про те, що на вході детектора є корисний сигнал, необхідно, щоб випадкова величина перевищила поріг .

Значення порогу при виявлення сигналів вибирають при розрахунках відповідно до критерію Неймана-Пірсона так, щоб ймовірність перевищення його статистикою за відсутності сигналу була б не більш наперед заданої:

після спрощення отримаємо:

де — табульований інтеграл ймовірності.

При заданому значенні ймовірності помилкової тривоги значення порогу вирішенні може бути знайдено за допомогою таблиць з попереднього рівняння.

Вірогідність правильного виявлення сигналу визначається виразом:

або Отже, спочатку перша перевірочна статистика для 2 дискретних відліків:

Потім друга перевірочна статистика для 4 дискретних відліків:

випадковий процес очікування розподіл Третя перевірочна статистика для 10 дискретних відліків:

Четверта перевірочна статистика для 100 дискретних відліків:

Аналогічні обчислення були використані й для другого та третього випадкового процесу:

Оцінка точності процедури прийняття рішення проводиться на підставі побудови графічної залежності ймовірності правильного прийняття рішення від співвідношення сигнал/шум і кількості відліків перевірочної статистики.

Задана ймовірність правильного виявлення при збільшенні обсягу накопичення може бути досягнута при меншому значенні відношенні сигнал/шум .

При заданому збільшення забезпечує збільшення ймовірності правильного виявлення сигналів на фоні шумів.

Висновки Випадковий процес називається стаціонарним випадковим процесом, якщо його характеристики не змінюються зі зміною його аргументу, тобто, однакові у всіх перетинах процесів X (t) і () 0 X t t, де 0 t — будь-яке фіксоване число.

Математичне сподівання та кореляційна функція інваріантні відносно зміни аргументу. Зауважимо, що випадкові процеси стаціонарні у вузькому розумінні, завжди стаціонарні у широкому розумінні. Зворотне твердження в загальному випадку не вірне. Прикладом стаціонарних процесів є величина струму, напруги в побутовій електромережі, ритм серця людини при постійному навантаженні та емоціях та ін. Стаціонарні процеси є частковим випадком більш широкого класу — нестаціонарних процесів. Якщо будь-яка зі щільностей розподілу змінюється при зміні початку відліку часу, то випадковий процес називається нестаціонарним. В цьому випадку хоча б одна з моментних характеристик залежить від часу.

Вид щільності розподілу зміниться після безінерційного перетворення.