Теорія ігор

Зміст Вступ Розділ 1. Теоретико-методологічні відомості з теорії ігор, двостороння монополія та рівновага Курно

1.1 Застосування теорії ігор

1.2 Двостороння монополія

1.3 Рівновага Курно Розділ 2. Практичне завдання

2.1 Перевірка даних на наявність тенденції

2.2 Визначення типу зростання

2.3 Побудова ліній тренду

2.4 Обчислення прогнозу на наступний період

2.5 Перевірка якості моделі

Висновки Література

Вступ Дослідження теорії ігор наразі є досить актуальним, так як теорія ігор вивчає конфліктні ситуації, тобто ситуації в яких інтереси сторін не збігаються.

Теорія ігор все ширше проникає в практику економічних рішень і досліджень. Її можна розглядати як інструмент, що допомагає підвищити ефективність планових і управлінських рішень. Це має велике значення при вирішенні завдань у промисловості, сільському господарстві, на транспорті, в торгівлі, особливо при укладанні договорів з іноземними партнерами на будь-яких рівнях. Так, можна визначити науково обґрунтовані рівні зниження роздрібних цін і оптимальний рівень товарних запасів, вирішувати завдання екскурсійного обслуговування та вибору нових ліній міського транспорту, завдання планерування порядку організації експлуатації родовищ корисних копалин у країні та ін.

Мета даної роботи є на основі даних представленої вибірки про вартість основних фондів підприємства перевірити на наявність тенденції використовуючи метод середніх, визначити тип зростання на основі абсолютних приростів, побудувати трендові моделі, перевірити якість побудованої моделі та обчислити прогноз на наступний період.

Розділ 1. ТЕОРЕТИЧНЕ ЗАВДАННЯ

1.1 Застосування теорії ігор Нині існує багато різних визначень того, що таке теорія ігор. Наприклад:

1. Теорія ігор — це теорія раціональної поведінки людей з не співпадаючими інтересами.

2. Теорія ігор — це розділ прикладної математики, який досліджує моделі прийняття рішень.

3. Теорія ігор — це наука про стратегічне мислення. [4, 17]

Теорія ігор являється математичною дисципліною, яка вивчає ситуації, в яких прийняття рішень залежить від декількох учасників. Дисципліна отримала таку назву, тому що аналогічні, з математичної точки зору, ситуації виникають у загальновідомих «салонних» іграх (наприклад, в таких, як покер, бридж, шамати, гра в хрестики і нулики та інші). Область застосування теорії ігор виходить далеко за рамки таких ігор і включає, наприклад, математику, економіку, політику, воєнну стратегію та ін. Проте термінологія теорії ігор багато в чому запозичила з загальновідомих «салонних» ігор. [2, 25]

Отже, учасники, які приймають рішення, називають гравцями, в цільова функція — платіжна функція. Виграші кожного з гравців визначаються платіжною функцією.

Хід — це момент гри, коли гравці повинні провести вибір одного з можливих варіантів. Партією гри називають сукупність ходів і виборів.

Стратегія — це набір правил які сформовані до гри. Загалом, ми привикли до того, що гравець приймає рішення про свій хід тільки на декілька ходів наперед, а зазвичай — навіть тільки в той момент, коли він повинен зробити даний хід. На практиці так і повинно бути виходячи з того, що число можливих ходів настільки велике, що неможливо запланувати завчасно свої дії, включаючи всі обставини. Проте з теоретичної точки зору можна допустити, що вже до початку гри кожен гравець вирішив, як він буде діяти в кожному випадку. Таким чином, фактично ми допускаємо, що кожен гравець вибирає певну стратегію ще до початку гри. [2, 25]

Теорія ігор має певну класифікацію. Перш за все ігри поділяють на ігри двох гравців та багатьох гравців. Найбільш широко досліджуваною частиною теорії ігор є гра двох гравців, проте в практичному використанні найбільш часто зустрічаються ігри багатьох гравців.

Залежно від суми виграшу виділяють ігри з нульовою сумою та ігри з довільною сумою.

У наукові праці «Теорія ігор» Г. Оуена, ігри з нульовою сумою також називаються антагоністичними іграми або строго конкурентними, так як цілі гравці є прямо протилежними, а виграш одним гравцем певної суми означає програш іншим гравцем тієї ж самої суми. Тобто все те, що хтось виграв, повинно бути кимось програно. Більшість салонних ігор є іграми такого типу.

Антагоністичні ігри відрізняються від інших тим, що в них немає ніяких основ для переговорів між гравцями. [2, 35]

За рівнем інформованості гравців розрізняють такі ігри: ігри з повною інформованістю, ігри з неповною інформованістю. Повна інформованість означає, що відсутні всі інші види невизначеності, окрім невизначеності ігрової.

За повторністю ігор виділяють ігри одноразові та динамічні ігри, тобто послідовні. Динамічні ігри описуються диференціальними та різницевими рівняннями, тому їх називають диференціальними іграми. Такі рівняння застосовуються для моделювання управління неживими об'єктами.

Також ігри поділяють на кооперативні та некооперативні. В кооперативних іграх гравці формують свої стратегії спільно, формуючи коаліції. Некооперативні характеризуються тим, що гравці не можуть формувати свої стратегії спільно.

Некооперативні ігри мають дві властивостей:

· Персональність — означає, що виграші присвоюються тільки тим чи іншим гравцям;

· Супераддивність — властивість, при якому для двох коаліцій, які не перетинаються сума їх користі окремо не більше користі при об'єднані.

Існує дві найбільш поширені форми представлення некооперативних

ігор. Перша це позиційна форма гри. Вона задає:

1. порядок ходів гравців;

2. множини сценаріїв, які доступні гравцеві на кожному із його ходів (ці множини можуть бути різними для різних ходів);

3. інформацію, яку гравець має при виборі кожного із своїх ходів;

4. виграші (функції виграшу), які гравець має під час кожного ходу;

5. ймовірнісний розподіл на множині ходів Природи.

Друга — це гра в нормальній (стратегічній) формі, коли задається:

1. сукупність гравців;

2. сукупність стратегій для кожного гравця;

3. функції виграшів для кожної із стратегій.

Нарешті, є ігри, в яких явно вводиться ймовірність вибору гравцем тієї чи іншої стратегії. Оптимізують тут математичне очікування виграшу, а самі такі ігри звуться байєсівськими. Одну й ту ж саму соціально-економічну задачу часто можна представити у вигляді різних ігор. Задачею дослідника у цьому випадку є перш за все обґрунтування форми представлення гри, а вже потім концепції її рішення. [4, 13]

Теорія ігор широко застосовується в економіці. У наукові праці американських математиків Дж. фон Неймана та О. Моргенштерна «Теорія ігор і економічна поведінка», науковці обґрунтували необхідність застосування математичних методів в досліджені економіки та пояснили які проблеми можуть виникнути на шляху інтеграції математичної стратегії в економіку. Вони провели паралель між фізикою та економікою з метою ілюстрації прогресування фізики завдяки математичних методів та який розвиток здобуде економіка завдяки тих же математичних методів. Чимало соціологів виступали проти твердження Дж. Фон Неймана та О. Моргенштерна, так як вони вважали, що оскільки в економічних теоріях беруться до уваги соціальні, людські фактори, так як в них приходиться приймати в розрахунки людські фактори, то економічна теорія не може моделюватися по зразку фізичних теоріях. Аргументом проти думки соціологів було те, що економічна теорія потребує розвитку, який призвиде до перевороту в економічних науках.

Отже, в економіці теорія ігор застосовується з метою отримання пояснень та прогнозів про те, що буде діятися в економічному просторі.

Американські математики Дж. фон Неймана та О. Моргенштерна стверджували, що за допомогою застосування теорії ігор можна точно описати прагнення індивідуума до вилучення максимальної користі або, у випадку підприємця, до отримання максимального прибутку. Відомо що на шляху вирішення даної задачі виникають значні і фактично непереборні труднощі, навіть при обмеженому числі ситуацій, як, наприклад, у випадку непрямого обміну товарами між двома і більше лицями, двосторонньої монополії, дуополії, олігополії, двоїстої монополії та вільній конкуренції. Вони стверджували, що теорія стратегічних рішень є адекватним апаратом для розвитку теорій економічної поведінки. [1, 650]

В наш час застосування теорії ігор в економіці до моделювання задач організації промисловості є вже класичними. На промислових підприємствах теорія ігор може застосовуватися для вибору оптимальних рішень, наприклад, при створені раціональних запасів сировини, матеріалів, полу фабрикатів, коли протистоять дві тенденції: збільшення запасів, які гарантують безперебійну роботу виробництва, зменшення запасів у цілях мінімізації затрат на їх зберігання.

Проте її застосовують практично до кожної задачі, що має економічний контекст. Такими задачами є:

1. Математичні моделі торгів та аукціонів (мікрорівень).

2. Виробнича поведінка фірм як на рівні продукту, так і на рівні його виробництва, — включаючи також і поведінку внутрішніх для фірми суб'єктів (на проміжному рівні економіки).

3. Моделі конкуренції країн та торгівельна політика держав, монетарна політика (макрорівень).

Також основою для сучасних теорій: міжнародної торгівлі, оподаткування, суспільного блага, монетарної економіки, теорій виробничих організацій — став апарат теорії рівноваги та теорії ігор.

Слід, однак, вказати і на наявність певних меж застосування аналітичного інструментарію теорії ігор. У таких випадках він може бути використаний лише за умови отримання додаткової інформації.

По-перше, це той випадок, коли у підприємств склалися різні уявлення про гру, в якій вони беруть участь, або коли вони недостатньо інформовані про можливості один одного. Наприклад, може мати місце неясна інформація про платежі конкурента (структурі витрат). Якщо неповнотою характеризується не занадто складна інформація, то можна оперувати зіставленням подібних випадків з урахуванням певних відмінностей.

По-друге, теорію ігор важко застосовувати при безлічі ситуацій рівноваги. Ця проблема може виникнути навіть у ході простих ігор з одночасним вибором стратегічних рішень.

По-третє, якщо ситуація прийняття стратегічних рішень дуже складна, то гравці часто не можуть вибрати кращі для себе варіанти. Легко уявити більш складну ситуацію проникнення на ринок, ніж та, яка розглянута вище. Наприклад, на ринок в різні терміни можуть вступити кілька підприємств або реакція вже діючих там підприємств може виявитися більш складною, ніж бути агресивною або дружньою.

Експериментально доведено, що при розширенні гри до десяти і більше етапів гравці вже не в змозі користуватися відповідними алгоритмами і продовжувати гру з рівноважними стратегіями.

Аж ніяк не безперечно і принципове, лежаче в основі теорії ігор припущення про так званий «загальному знанні». Воно свідчить: гра з усіма правилами відома гравцям і кожен з них знає, що всі гравці інформовані про те, що відомо іншим партнерам по грі. І такий стан зберігається до кінця гри.

Але щоб підприємство в конкретному випадку прийняло переважне для себе рішення, дане умова потрібно не завжди. Для цього часто достатні менш жорсткі передумови, наприклад «взаємне знання» або «раціоналізіруемие стратегії». [7, 450 ]

1.2 Двостороння монополія Двостороння монополія являє собою таку ринкову структуру, при якій єдиний продавець і єдиний покупець здійснюють купівлю продаж чинників виробництва (для продавця — це готова продукція). І покупець, і продавець володіють можливостями, достатніми для контролю над цінами послуг факторів виробництва. Відображає випадок двосторонньої монополії коли, монопсоніст має справу з монополією, що продає один з факторів виробництва. Коли монопсоніст стикається з монополією, в результаті можна спостерігати картину, що нагадує битву титанів. Можна тільки гадати про можливі наслідки для учасників. Ситуація чистої двосторонньої монополії зустрічається рідко. Час від часу вона має місце, коли державна монопольна компанія (наприклад, по тютюну, алкоголю) закуповує продукцію у єдиного продавця, якому дозволено торгувати нею на території країни. Ця модель також може бути застосована до переговорів профспілок з асоціаціями підприємців.

Отже, при двохсторонній монополії на ринку існує один виробник певного продукту і один споживач цього продукту. Всі інші споживачі і виробники на цьому ринку діють в умовах досконалої конкуренції, тому всі ціни на всі блага, окрім монопольної, вважаються встановленими. З точки зору теорії ігор виробник є гравцем А, а споживає є гравцем В. В ході гри гравці повинні домовитися про ціну і кількість товару, який обмінюється. Тому ходами гравців, А будуть визначення ціни, ходи у відповідь гравців В будуть купівля за визначену ціну певну кількість. товару. Наприклад, ходом А1 може бути визначення ціни (р) у розмірі 10 грн./кг, ходами В1, В2, В3 може бути купівля відповідно 4 кг, 5 кг, 6 кг товару (у). Так як, ціна і кількість товару можуть зазначатися в межах від нуля до безкінечності, то кількість ходів гравців А, В утворюють незліченну кількість. Тому задати платіжну матрицю з безкінечним числом строк і стовбців не вдається. Така гра буде непереривною і плата за неї завчасно встановлюється у вигляді непереривних функцій.

Для гравця, А оплата за гру або виграш задається функцією:

Wa (p, y) =p*yC (y), де

· виробництво (р*у) означає вартість продаж кількості у за ціну р гравцю В;

· С (у) — це витрати гравця, А на виробництво товару.

Для гравця В оплата за гру чи виграш задається функцією:

Wb (p, y) =R (y) — -p*y, де

· Виробництво (р*у) означає вартість купівлі;

· R (y) — це прибуток від використання кількості товару у.

Двохстороння монополія не являється грою з мулевою сумою, так як виграшем гравця не являється програшем іншого. Це було б так, якщо ми б не враховували б дії ринку в досконалій конкуренції. Без врахування ринку досконалої конкуренції для гравця, А отримуємо виграш:

Wa (p, y) = p· y, а C (y)=0

Для гравця В отримуємо виграш:

Wb (p, y) = -p· y, а R (y)=0

Тоді отримаємо гру з мулевою сумою, так як Wa (p, y)= - Wb (p, y).

Платіжні функції Wa (p, y) і Wb (p, y) називаються також цінами гри для гравців, А і В відповідно. Перед початком гри гравець В зазвичай не знаж вигляду функції C= C (y) гравця А, а гравець не знає вигляду функції R= R (y) гравця В. Таким чином, платіжні функції один одного їм не відомі.

Гра або торгівля починається з того, що гравець, А виходить на ринок і встановлює ціну за свій товар. Гравець В намагається максимально збільшити свій виграш, відповідаючи купівлею певного товару. Максимізуємо Wb (p, y), знаходячи першу похідну по у при постійні ціні р і прирівнюючи першу похідну до нуля:

де, тоді R (y)=p

Рівняння R '(y) = p визначає певну межу. Гравець А, виходячи на ринок і знаючи, що він є монополістом, найчастіше встановлює дуже високу ціну p. Якщо виявиться, що p > R '(y), то гравець В взагалі нічого не купить, тобто відповідним ходом y = 0. Такий початковий етап гри при ходах p> R '(y), y = 0 називається некооперованою рівновагою і відповідно до математичною теорією ігор може тривати нескінченно довго. [6, 400 ]

1.3 Модель рівновага Курно Почнемо з простої моделі — дуополії — дві фірми, що конкурують між собою, — яку вперше ввів французький економіст Августин Курно в 1838 р.. Припустімо, що фірми виробляють однорідний товар і знають криву ринкового попиту. Кожна фірма має вирішити, який обсяг виробляти, і обидві фірми приймають рішення одночасно. Приймаючи своє виробниче рішення, кожна фірма бере до уваги і свого конкурента.

Адміністрація фірми знає, що конкурент також вирішує, яку кількість виробляти, а ціна, яку фірма призначить, залежатиме від сумарного обсягу виробництва обох фірм.

Рис. 1.1. Рішення фірми № 1 щодо обсягу виробництва Суть моделі Курно полягає в тому, що кожна фірма розглядає рівень виробництва свого конкурента як фіксований, а потім вирішує, скільки потрібно виробляти. Щоб побачити, як діє ця модель, розглянемо, як приймає виробниче рішення фірма № 1. Припустімо, на думку адміністрації фірми № 1, фірма № 2 нічого не вироблятиме. Тоді крива попиту на товар фірми № 1 — це крива ринкового попиту. На мал. 1. вона показана кривою П (0),

що означає криву попиту для фірми № 1 за умови, що фірма № 2 не виробляє продукції взагалі. На мал. 1. також показана крива відповідної граничної виручки ГВІ (0). Ми припустили, що граничні витрати ГВтІ фірми № 1 постійні. Як показано на графіку, обсяг виробництва фірми № 1, який максимізує прибуток, становить 50 одиниць, що відповідає точці перетину кривих ГВІ (0) та ГВть Отже, якщо фірма № 2 не виробляє нічого, фірмі № 1 слід виробляти 50 одиниць.

Припустімо, натомість, що, на думку фірми № 1, фірма № 2 вироблятиме 50 одиниць. Тоді крива попиту для фірми № 1 є крива ринкового попиту, зміщена ліворуч до поділки 50. На мал. 1. вона позначена ЯІ(50), а відповідна крива граничної виручки — ГВІ (50). Обсяг виробництва фірми № 1, який максимізує прибуток, тепер становить 25 одиниць, що відповідає точці, де ГВІ (50) = ГВтІ. А тепер припустімо, що, на думкуфірми № 1, фірма № 2 вироблятиме 75 одиниць. Тоді крива попиту для фірми № 1 — це та сама крива ринкового попиту, зміщена вліво до поділки 75. На мал. 1. вона позначена П (75), а відповідна крива граничної виручки — ГВІ (75). Тепер обсяг виробництва, що максимізує прибуток фірми № 1, становить 12,5 одиниць, це відповідає точці на графіку, де ГВІ (75) = ГВтІ. Нарешті припустимо, що, на думку фірми № 1, фірма № 2 вироблятиме 100 одиниць. Тоді криві попиту і граничної виручки для фірми № 1 (не показані на малюнку) перетинали б криву її граничних витрат на вертикальній осі; якщо, на думку фірми № 1, фірма № 2 вироблятиме 100 або більше одиниць, то їй не слід виробляти нічого.

Підіб'ємо підсумки: якщо, на думку фірми № 1, фірма № 2 не вироблятиме нічого, вона вироблятиме 50 одиниць; якщо фірма № 2 вироблятиме 50, вона вироблятиме 25; якщо ж фірма № 2 вироблятиме 75, вона вироблятиме 12,5; а якщо, на її думку, фірма № 2 вироблятиме 100 одиниць, то вона не вироблятиме нічого. Обсяг виробництва, що максимізує прибуток фірми № 1, є, таким чином, спадною шкалою обсягу, який, на думку фірми № 1, вироблятиме фірма № 2. Ми називаємо цю шкалу кривою реакції фірми № 1 і позначаємо її К* (К2>. Ця крива зображена на мал. 12.4, де кожна з чотирьох наведених комбінацій обсягу виробництва має позначку ?*?. Аналогічний аналіз ми можемо виконати для фірми № 2 (тобто визначити кількість, максимізуючи прибуток фірми № 2, вважаючи заданими різноманітні припущення щодо обсягу виробництва фірми № 1). Результатом буде крива реакції для фірми № 2, тобто шкала КІ*(К), що співвідносить обсяг її виробництва із обсягом, котрий, на її думку, вироблятиме фірма № 1. Якщо крива граничних витрат фірми № 2 відрізняється від такої ж кривої фірми № 1, крива її реакції буде також відрізнятись за формою від відповідної кривої для фірми № 1. Наприклад, крива реакції фірми № 2 могла б мати вигляд, як зображено на мал. 2.

Скільки ж вироблятиме кожна фірма? Крива реакції для кожної фірми підказує їй оптимальний обсяг виробництва за заданого обсягу її конкурента. В точці рівноваги кожна фірма планує обсяг відповідно до кривої своєї реакції, так що рівні виробництва в умовах рівноваги перебувають у точці перетину двох кривих реакції. Такий набір рівнів виробництва називаємо рівновагою Курно. За такої рівноваги кожна фірма реально оцінює обсяг, що вироблятиме її конкурент, і відповідно максимізує свій прибуток.

Зауважте, що рівновага Курно є різновидом рівноваги Неша1. Слід пам’ятати, що при рівновазі Неша кожна фірма повністю реалізує свій потенціал, приймаючи як заданий обсяг виробництва конкурентів. Як результат, жодна з фірм не має причин міняти свою виробничу політику. За рівноваги Курно кожен з дуополістів виробляє ту кількість, яка максимізує його прибуток, приймаючи як заданий обсяг виробництва свого конкурента. Таким чином, жоден з дуополістів не має причин змінювати обсяги виробництва.

Рис. 1.2. Криві реакції фірм і точка рівноваги Курно Припустімо, що початкові рівні виробництва фірм далекі від рівноваги Курно. Чи будуть фірми вирівнювати обсяги свого виробництва, щоб досягти рівноваги Курно? На жаль, модель Курно нічого не говорить про динаміку перехідних процесів вирівнювання. Справді, протягом будь-якого процесу вирівнювання основне припущення моделі, згідно з яким кожна з фірм припускає, що обсяги виробництва її конкурента фіксовані, не відповідає дійсності. Обсяг виробництва жодної з фірм не буде фіксованим, оскільки обидві фірми вирівнювали б обсяги свого виробництва. Нам потрібні різні моделі для розуміння динаміки вирівнювання За яких умов для кожної фірми раціональним було б припустити, що обсяг виробництва її конкурента фіксований? Це було б раціональним за тієї умови, якщо обидві фірми встановлюють обсяги свого виробництва лише одноразово, оскільки вони не можуть бути зміненими. Це також було б раціональним за тієї умови, якщо вони перебувають в стані рівноваги Курно, оскільки жодна з фірм не має причин змінювати обсяг виробництва. Використовуючи модель Курно, ми, отже, маємо зрозуміти специфіку поведінки фірм у стані рівноваги. [3, 171]

Розділ 2. ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ Теоретичні відомості.

Взявши за основу типізації економічного розвитку динаміку абсолютних приростів можна виділити як мінімум чотири типи економічного зростання:

I — постійне зростання (характеризується постійним або близьким до нього абсолютним приростом);

ІІзростання, що збільшується (характеризується абсолютним приростом, що збільшується);

III — зростання, що зменшується (характеризується абсолютним приростом, що зменшується);

ІV — зростання з якісною зміною характеристик впродовж даного періоду.

Розглянемо трендові моделі, що відображають основні особливості типів економічного зростання. Оскільки важливою властивістю тренда є його гладкість, при виборі трендових моделей перевага віддається неперервним функціям, що диференціюються. На відміну від показника фактичного динамічного ряду значення трендів позначатимемо .

Тип зростання I. Економічне зростання з постійним абсолютним приростом описується лінійною функцією де, а — теоретичний рівень базисного року; b — постійний щорічний абсолютний приріст Темп приросту монотонно спадає та асимптотично наближається до нуля Тип зростання II. Характерний випадок розвитку зі зростаючим абсолютним приростом описується показниковою або експоненціальною функціями:

де, а — теоретичний початковий рівень (а > 0); b — постійний темп приросту.

Абсолютні прирости даних функцій безперервно зростають.

Інший характерний випадок в рамках типу II — ріст з постійним абсолютним прискоренням, який описується параболою другого порядку з додатніми параметрами:

Темп приросту в цьому випадку або монотонно спадає або на початковому інтервалі часу зростає, а потім спадає.

Функція може змінюватися двояким чином:

1) або монотонно убуває;

2) або на початковому інтервалі часу зростає, а потім убуває

Функція гарно відображає тенденції розвитку багатьох економічних процесів, коли абсолютні прирости продовжують збільшуватися, а темпи приросту знижуються.

Тип зростання III. В рамках даного типа доцільно розрізняти: IIIa — зростання, що зменшується та не має межі; IIIб — зростання, що зменшується та має межу (насичення).

Моделями тренда, що відображають тип економічного зростання Ша, можуть служити, наприклад, функції з позитивними параметрами: лінійно-логарифмічна та степенева ,

Функції, що служать моделями зростання типу IIIб, мають межу. Це, наприклад, гіпербола першого порядку

.

Тип росту IV. Характерною властивістю трендових моделей, що описують даний тип розвитку, є наявність точки перегину t*, у якій абсолютне прискорення рівне нулю і змінює свій знак:

Цією властивістю володіє ряд функцій, які розглядалися вище, але мають параметри різного знаку. Обмежимося ситуацією, коли зростання, що збільшується, змінялося зростанням, що зменшується. Для цієї ситуації застосовні наступні функції: лінійно-логарифмічна другого порядку при с < 0, парабола третього порядку при .

До цього класу відносять також логістичну функцію.

2.1 Перевірка даних на наявність тенденції

Таблиця 2.1. Вхідні дані

Для перевірки даних на наявність тенденцій використовуємо метод середніх. Для цього розділимо ряд на дві приблизно однакові частини. В нашому випадку розіб'ємо вибірку на 2 частини по 12 елементів в кожній. Т.т. n1 = n2 = 12.

Таблиця 2.2

Для кожної з частин обчислимо величини середніх та дисперсій

(),

Після цього перевіряється гіпотеза про рівність дисперсій на рівні значимості, для чого формулюються дві гіпотези:

.

Значимість відмінностей перевіряється шляхом обчислення

Знайдена величина порівнюється з критичним значенням F при та на рівні значимості. Якщо, то приймається гіпотеза H0.

Так як 0,139 < 2,227, тому не виконується гіпотеза Н (1).

Після цього перевіряється основна гіпотеза та гіпотеза. Для цього розраховується величина

Троз > Т (tab), а отже робимо висновок про наявність тренду.

2.2 Визначення типу зростання Обчислимо середній абсолютний приріс, абсолютний ланцюговий приріст, абсолютни базисний приріст. Отримали наступні значення:

Таблиця 2.3

На основі обчислення абсолютних приростів будуємо точкові діаграми.

Рис. 2.1. Діаграма абсолютного середнього приросту Рис. 2.2. Діаграма абсолютного базисного приросту Рис. 2.3. Діаграма абсолютного ланцюгового приросту

На основі обчислення абсолютний прирості та побудованих діаграм, можна зробити висновок, що даний ряд даних можна віднести як і до першого так і до другого типу зростання (I — постійне зростання (характеризується постійним або близьким до нього абсолютним приростом);

ІІзростання, що збільшується (характеризується абсолютним приростом, що збільшується);), на даному періоді дослідження точно визначити не можливо.

2.3 Побудова ліній тренду Для проведення вибору найкращої математичної функції, що відповідає даному економічному процесу, скористаємося побудовою ліній трендів.

Рис. 2.4. Лінійна лінія тренда Рис. 2.5. Експоненціальна лінія тренда Рис. 2.6. Логарифмічна лінія тренда Рис. 2.7. Поліноменіальна (3) лінія тренда Рис. 2.8. Поліноменіальна (2) лінія тренда Рис. 2.9. Степенева лінія тренда Найкраща математична функція, що відповідає даному економічному процесу визначається поліноменіальною з кроком 3. Після побудови ліній тренду можна зробити висновок, що даний ряд даних можна віднести до I — постійне зростання, який характеризується постійним або близьким до нього абсолютним приростом.

2.3 Обчислення прогнозу на наступний період Вивчення властивостей економічного процесу в майбутніх періодах здійснюється на основі аналізу вибіркової сукупності окремих реалізацій цього процесу.

Для обчислення прогнозу на основі побудованої моделі використаємо вбудовану функцію ЛИНЕЙН, щоб знайти параметри регресії. Отримали наступні дані: а0=5,0176, а1=0,2583, а2=-0,0133, а3=0,0002.

З допомогою параметрів знаходимо розрахункові значення вартості основних фондів підприємства за формулою:

Y = a0 + a1 * х + а* х² + а3 * х³.

Таблиця 2.4

2.5 Перевірка якості моделі

Таблиця 2. 5. Вхідні дані

Обчислення параметрів лінійної регресії виконується за допомогою вбудованої функції ЛИНЕЙН в MS Excel. В результаті використання функції ЛИНЕЙН отримаємо:

Таблиця 2.6

Коефіцієнт детермінації дорівнює 0,8894, тобто дані відповідають лінії регресії.

Стандартна похибка обчислюється за формулою:

Стандартна похибка моделі у відсотках становить 2,49%, вона є меншою 15%, тому модель якісна.

Для перевірки моделі на достовірність за критерієм Фішера нам потрібні значення F розрахункового та F табличного.

F (розрах.) = 53,6307, F табличне знаходимо за допомогою функції FРАСПОБР. В нашому випадку F (таб.) =4,2793. F (розрах.) > F (таб.), тобто модель є достовірною.

Перевіряємо достовірність коефіцієнтів моделі за критерієм Стюдента. Знаходимо t (а0), t (а1), t (а2), t (а3) за формулою:

та t табличне з використанням функції СТЮДРАСОБР.

В результаті ми отримали:

Коефіцієнти t (tab) < t (a0), t (a1), отже вони є достовірні, t (а2) та t (а3) < t (tab), тобто вони статистично не відрізняються від нуля.

ВИСНОВКИ Теоретична частина В результаті виконання даної роботи можна зробити висновок, що дослідження теорії ігор є важливим завданням не тільки економічних наук, а й політичних, соціальних, біологічних, комп’ютерних та ін.

Теорія ігор зародилася ще в XVII ст. проте першою істотною науковою працею слід вважати статтю Дж. фон Неймана «До теорії стратегічних ігор» 1928 р., тобто значний час вона ніяк не розвивалася. В наш час вивчення теорій ігор є перспективним, оскільки вона широко застосовується в багатьох наукових сферах.

На практиці часто доводиться стикатися із завданнями, в яких необхідно приймати рішення в умовах невизначеності, тобто виникають ситуації, в яких дві (або більше) сторони переслідують різні цілі, а результати будь-якої дії кожної із сторін залежать від заходів партнера.

В економіці конфліктні ситуації зустрічаються дуже часто і мають різноманітний характер. До них відносяться, наприклад, взаємовідносини між постачальником і споживачем, покупцем і продавцем, банком і клієнтом. У всіх цих прикладах конфліктна ситуація породжується відмінністю інтересів партнерів і прагненням кожного з них приймати оптимальні рішення, які реалізують поставлені цілі найбільшою мірою.

Для грамотного вирішення задач з конфліктними ситуаціями необхідні науково обґрунтовані методи. Такі методи розроблені математичною теорією конфліктних ситуацій, яка носить назву теорія ігор.

Практична частина За допомогою методу середніх було виявлено наявність тенденції в представлені вибірці даних. На основі абсолютних приростів визначено, що для даної вибірки підходить два типи зростання: I — постійне зростання (характеризується постійним або близьким до нього абсолютним приростом);

ІІзростання, що збільшується (характеризується абсолютним приростом, що збільшується). Проте після побудови трендових ліній було визначено, що вибірка характеризується першим типом зростання, найкращою лінію тренду є поліноменіальна з кроком 3.

Якість побудованої моделі перевірялася за допомогою таких показників: коефіцієнт детермінації, стандартну похибку, критерій Фішера, критерій Стюдента.

За коефіцієнтом детермінації модель відповідає лінії регресії, стандартна похибка не перевищує 15%, тому модель є якісною, за критерієм Фішера модель достовірна, проте за критерієм Стюдента два коефіцієнта статистично не відрізняються від 0.

теорія гра курно тренд

Література

1. Нейман Дж. Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970 — 708 c.

2. Г. Оуен, Теория игр, пер. С анг., М., 1971

3. Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. — 1985. — 272 с.

4. А. А. Шиян, Теорія ігор: основи та застосування в економіці та менеджменті. Навчальний посібник. — Вінниця: ВНТУ, 2009. — 164 с.

5. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики (учебное пособие). — М.: МАКС Пресс, 2005 г. — 272 с.

6. Роберт С. Піндайк Деніел Л. Рубінфелд, мікроекономіка, пер. З анг., К., 1996 — 648 ст.

7. Льюс Р., Райфа Х., Игры и решения, пер. с англ., М., 1961 — 642 c.