Дослідження на збіжність числових рядів (за допомогою часткових сум та необхідної умови збіжності ряду) (реферат)

Реферат з математики.

Дослідження на збіжність числових рядів (за допомогою часткових сум та необхідної умови збіжності ряду) Приклад 1.

1). Нехай загальний член ряду $$a_n=\frac{2^n}{n^2+1}$$. Записати п’ять перших ленів ряду.

Розв’язання.

При п=1 маємо $$a_1=\frac{2}{1^2+1}=\frac{2}{2}=\mathrm{1,}$$.

При п=2 дістаємо $$a_2=\frac{2^2}{2^2+1}=\frac{4}{5}\text{.}$$ Аналогічно $$a_3=\frac{4}{5}\begin{array}{cc},& a_4\end{array}=\frac{\text{16}}{\text{17}}\begin{array}{cc},& a_5\end{array}=\frac{\text{16}}{\text{13}}\text{.}$$.

2). Записати можливий загальний член ряду $$\frac{1}{3}+\frac{4}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{\text{10}}{3^4}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Розв’язання.

Чисельники дробів утворюють арифметичну прогресію 1,4,7, …- її п-й член знайдемо за формулою $$b_n=b_1+d(n-1)$$, де $$b_1=1\begin{array}{cc},& d=3\text{.}\end{array}$$ Отже,.

$$b_n=1+3(n-1)=3n-2\text{.}$$.

Знаменники дробів утворюють геометричну прогресію 3, 32, 33, …, п-й член якої $$C_n=3^n\text{.}$$ Отже, $$a_n=\frac{b_n}{C_n}=\frac{3n-2}{3^n}\text{.}$$.

Приклад 2. Чи збігаються такі ряди:

$$\begin{array}{cc}a)\text{.}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{n}{2n+1}-& б)\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{2n}\end{array}\text{.}$$.

Розв’язання .

$$\begin{array}{c}a)\text{.}\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{a}_n=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{n}{2n+1}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{2+\frac{1}{n}}=\frac{1}{2}/=0-\\ б)\text{.}\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{a}_n=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{2n}={\left(\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)}^{2n}=1/=0\text{.}\end{array}$$.

Оскільки для кожного даного ряду $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{a}_n/=0$$, то ці ряди розбігаються.

Приклад 3. Дослідити на збіжність і знайти суми рядів:

$$\begin{array}{cc}a)\text{.}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{2n+1}{n^2(n+1{)}^2}-& б)\text{.}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\text{ln}\left(1+\frac{1}{n}\right)\text{.}\end{array}$$.

Розв’язання.

а). Оскільки ап можна подати у вигляді $$\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1{)}^2},$$ то часткову суму Sп ряду можна записати так:

$$S_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)+\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)+\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1{)}^2}\right)=1-\frac{1}{(n+1{)}^2}\text{.}$$.

Тоді сума $$S_n=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\left(1-\frac{1}{(n+1{)}^2}\right)=1$$ і ряд збігається.

б). У даному випадку.

$$a_n=\text{ln}\left(1+\frac{1}{n}\right)=\text{ln}\frac{n+1}{n}=\text{ln}(n+1)-\text{ln}n$$ і.

$$S_n=\text{ln}2-\text{ln}1+\text{ln}3-\text{ln}2+\text{ln}4-\text{ln}3+\text{.}\text{.}\text{.}+\text{ln}(n+1)-\text{ln}n=(n+1)$$ .

Тоді $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{S}_n\text{=+}\mathrm{}$$, ряд має суму $$S_n\text{=+}\mathrm{}$$, а тому збігається.

Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд.

$$\frac{1}{12}+\frac{1}{23}+\frac{1}{34}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{n(n+1)}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Розв’язання.

Через те, що $$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1},$$ суму n перших членів даного ряду можна записати.

$$S_n=\frac{1}{12}+\frac{1}{23}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{n(n+1)}=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$.

Після зведення подібних дістанемо $$S_n=1-\frac{1}{n+1},$$.

Отже,.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{s}_n=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\mathrm{1,}$$ $$s=1$$.

Як бачимо, ряд збіжностей і його сума дорівнює 1.

Приклад 5. Дано числовий ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}\text{.}$$ Знайти суму Sn — його п членів і суму ряду S.

Розв’язання.

Розкладемо загальний член ряду на суму найпростіших дробів:

$$a_n=\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{1}{3}\frac{(3n+1)-(3n-2)}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{1}{3}\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3}\frac{1}{3n+1}$$.

Знайдемо часткову суму ряду.

$$S_n=a_1+a_2+a_3+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n=\frac{1}{14}+\frac{1}{47}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$$.

$$S_n=\left(\frac{1}{3}\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\frac{1}{7}\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+\left(\frac{1}{3}\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3}\frac{1}{3n+1}\right)$$.

$$S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\frac{1}{3n+1}$$.

Для визначення суми ряду знайдемо границю.

$$S=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{S}_n=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\frac{1}{3n+1}\right)=\frac{1}{3}\text{.}$$.

Відповідь: $$S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\frac{1}{3n+1},S_n=\frac{1}{3}\text{.}$$.

Приклад 6. Дослідити збіжність числового ряду $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{1}{5^n}\text{.}$$.

Розв’язання.

Необхідна умова $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{a}_n=0\begin{array}{cc},& a_n=\frac{1}{5^n}\begin{array}{cc},& \underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\end{array}\frac{1}{5^n}\end{array}=0$$ виконується.

Заданий ряд — геометричний, зі знаменником $$q=\frac{1}{5}<\mathrm{1,}$$ а значить збігається.

Відповідь: ряд збігається.

Приклад 7. Дослідити на збіжність ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{n}{3n-2}\text{.}$$.

Розв’язання.

Це числовий ряд. Перевіримо, чи виконується необхідна умова збіжності. Для цього запишемо загальний член ряду $$a_n=\frac{n}{3n-2}$$ і знайдемо його границю.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{a}_n=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{n}{3n-2}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{3-\frac{2}{n}}=\frac{1}{3}/=0\text{.}$$.

Оскільки $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{a}_n/=0$$, то наслідком з необхідної умови збіжності ряд розбігається.

Відповідь: ряд розбігається.

Приклад 8. Дослідити на збіжність ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n$$, використовуючи необхідну умову збіжності.

Розв’язування.

Для цього ряду не виконується необхідна умова збіжності ряду.

Дійсно,.

$$a_n={\left(1-\frac{1}{n}\right)}^2={\left(\frac{n-1}{n}\right)}^n=\left(\frac{n-1}{n}\right)\frac{n-1}{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right){\left(\frac{n}{n-1}\right)}^{-n+1}=\left(1-\frac{1}{n}\right){\left(1+\frac{1}{n-1}\right)}^{-n+1}=\frac{1-\frac{1}{n}}{{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)}^{n-1}}$$.

і, значить $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{a}_n=\frac{1}{e}\text{.}$$.

Таким чином, даний ряд збігається.

Приклад 9. Дано загальний член ряду:

$$\begin{array}{cc}a)\text{.}{b}_n=\frac{n^3+1}{n^2}-& б)\text{.}{a}_n=\frac{n^2+1}{n^3}\end{array}\text{.}$$.

Написати ряд в розгорнутому вигляді і перевірити, чи виконується необхідна умова збіжності ряду.

Розв’язання.

а). Знаходимо.

тобто.

Тому, що то необхідна ознака збіжності не виконується, отже ряд розбіжний.

б). Знаходимо.

$$a_1=\frac{1^3+1}{1^2}\begin{array}{cc},& a_2\end{array}=\frac{2^2+1}{2^3}=\begin{array}{cc},& a_3\end{array}=\frac{3^2+2}{3^3}=\frac{\text{11}}{\text{27}}\begin{array}{cc},& a_4\end{array}=\frac{4^2+1}{4^3}=\frac{\text{17}}{\text{64}}\text{.}$$.

Записуємо ряд: $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{n^2+1}{n^3}=2+\frac{5}{8}+\frac{\text{11}}{\text{27}}+\frac{\text{17}}{\text{61}}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Необхідна ознака збіжності виконується, бо.

Проте зробити висновок про збіжність ряду в даному випадку неможливо. Для встановлення збіжності ряду треба перевірити чи виконуються достатні умови збіжності.

Приклад 10. Дослідимо на збіжність ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(23^{-n}+32^{1-n})\text{.}$$.

Розв’язання.

Загальний член цього ряду має вигляд $$C_n=2{\left(\frac{1}{3}\right)}^n+32\left(\frac{1}{2}\right)$$.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{3^n}=0$$ і $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{2^n}=0$$, тому ряди з загальними членами $$a_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$$ і збігаються і $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2},$$ $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1\text{.}$$.

А тому, вихідний ряд збігається, як сума збіжних рядів і.

$$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(23^{-n}+32^{1-n})=2\frac{1}{2}+6=7\text{.}$$.

Приклад 11. Дослідити на збіжність числовий ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$$ користуючись означенням збіжності ряду.

Розв’язання .

Для визначення збіжності будь-якого ряду треба знайти часткову зрізану суму Sп, яка в нашому випадку становить.

$$S_k=\frac{1}{123}+\frac{1}{234}+\frac{1}{345}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{k(k+1)(k+2)},$$.

де загальний член часткової суми $$a_n=\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\text{.}$$.

Ряд збігається $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{S}_n=s$$ і ця границя дорівнює кінцевій величині. Для відшкодування lim Sп перетворимо загальний член ап, розглядаючи його як раціональний дріб від числа п, а 0, -1, -2, — як корені цілої раціональної функції, що міститься в знаменнику, тобто $$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+2},$$ де А, В, С — визначені коефіцієнти. Маємо.

$$A=\frac{1}{2}-B=-1-C=\frac{1}{-2(-1)}=\frac{1}{2}-$$.

$$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n\text{++}2}\right)-$$.

$$S_n=\frac{1}{2}\underset{n=1}{\overset{k}{}}\left(\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)$$.

Вираз $$\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}$$ запишемо у вигляді.

$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\text{.}$$.

Тепер

$$\begin{array}{c}{S}_n=\frac{1}{2}\underset{n=1}{\overset{k}{}}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)=\\ \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{23}\right)+\left(\frac{1}{23}-\frac{1}{34}\right)+\left(\frac{1}{34}-\frac{1}{45}\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right)\right]\text{.}\end{array}$$.

Звільнившись від дужок, знаходимо, що доданки, які стоять на парних і непарних місцях, взаємо знищуються. Залишається лише перший доданок і останнє $$\frac{1}{(k+1)(k+2)}\text{.}$$.

Тоді.

$$S_k=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{12}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right]\text{.}$$.

Переходячи до границі, маємо:

$$\underset{k->\mathrm{}}{\text{lim}}{S}_k=\frac{1}{4}\text{lim}\left[1-\frac{2}{(k+1)(k+2)}\right]=\frac{1}{4}\text{.}$$.

Відповідь: ряд збігається і його сума $$S=\frac{1}{4}\text{.}$$.

Приклад 12. Дослідити на збіжність ряди:

$$\begin{array}{ccc}a)\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(-1{)}^{n-1}-& б)\underset{k=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\text{sin}\frac{k!}{\text{180}}-& в)\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\left(\frac{1}{2^n}-\frac{1}{3^n}\right)\end{array}\text{.}$$.

Розв’язання.

а). Ряд із загальним членом (-1)п-1 не є збіжним, оскільки не виконується необхідна умова збіжності ряду.

б). Ряд $$\underset{k=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\text{sin}\frac{k!}{\text{180}}$$ є збіжним, тому що його п-й залишок $$\underset{k=n+1}{\overset{\mathrm{}}{}}\text{sin}\frac{k!}{\text{180}}=0$$ при $$n>=\text{179},$$ оскільки $$\frac{k!}{\text{180}}=\frac{12\text{.}\text{.}\text{.}\text{180}\text{181}\text{.}\text{.}\text{.}k}{\text{180}}=\begin{array}{cc}\mathit{m},& mN\end{array}\text{.}$$.

Тому $$\text{sin}\frac{k!}{\text{180}}=0$$ при $$k>=\text{180}\text{.}$$.

в). Ряд $$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\frac{1}{8}-\frac{1}{\text{27}}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{2^n}-\frac{1}{3^n}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ можна розглядати, як різницю двох геометричних рядів $$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{2^n}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ і $$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{\text{27}}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{3^n}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ суми якиїх відповідно дорівнюють:

$$A=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\begin{array}{ccc}1& i& B=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\end{array}\text{.}$$.

Тому, враховуючи, що $$\frac{1}{2^n}->\begin{array}{ccc}0& i& \frac{1}{3^n}->0\end{array}$$ при $$n->\mathrm{}$$ маємо.

$$\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+\left(\frac{1}{2^n}-\frac{1}{3^n}\right)+\text{.}\text{.}\text{.}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{2^n}-\frac{1}{3^n}+\text{.}\text{.}\text{.}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2},$$ тобто сума заданого ряду дорівнює $$\frac{1}{2}\text{.}$$.