Метод варіації довільної сталої побудови частинного розв"язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння (реферат)

Реферат на тему:

Метод варіації довільної сталої побудови частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння

Метод варіації довільної сталої полягає в тому, що розв’язок неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв’язок однорідного, але сталі $$C_i,i=\stackrel{\text{\_\_\_\_\_}}{\mathrm{1,}n}$$ вважаються невідомими функціями. Нехай загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння.

$$a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)y=0$$.

записано у вигляді $$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{y}_n(x)$$ .

Розв’язок лінійного неоднорідного рівняння.

$$a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)y=b(x)$$.

шукаємо у вигляді $$y=C_1(x)y_1(x)+C_2(x)y_2(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n(x)y_n(x)$$, де $$C_i(x),i=\stackrel{\text{\_\_\_\_\_}}{\mathrm{1,}n}$$ — невідомі функції. Оскільки підбором $$n$$ — функцій необхідно задовольнити одному рівнянню, тобто одній умові, то $$n-1$$ умову можна накласти довільно. Розглянемо першу похідну від записаного розв’язку.

$$y\text{'}=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i(x)y_i^{\text{'}}(x)+\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i^{\text{'}}(x)y_i(x)$$.

і зажадаємо, щоб $$\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i^{\text{'}}(x)y_i(x)=0$$. Розглянемо другу похідну.

$$y\text{''}=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i(x)y_i^{\text{''}}(x)+\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i^{\text{'}}(x)y_i^{\text{'}}(x)$$.

і зажадаємо, щоб $$\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i^{\text{'}}(x)y_i^{\text{'}}(x)=0$$. Продовжимо процес взяття похідних до $$(n-1)$$ -ї.

$$y^{(n-1)}=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i(x)y_i^{(n-1)}(x)+\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i^{\text{'}}(x)y_i^{(n-2)}(x)$$.

і зажадаємо, щоб $$\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i^{\text{'}}(x)y_i^{(n-2)}(x)=0$$. На цьому $$(n-1)$$ — умова вичерпалася. І для $$n$$ -ї похідної справедливо.

$$y^{(n)}=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i(x)y_i^{(n)}(x)+\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i^{\text{'}}(x)y_i^{(n-1)}(x)$$ .

Підставимо взяту функцію та її похідні в неоднорідне диференціальне рівняння.

$$\begin{array}{c}{a}_0(x)\left[\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i(x)y_{{}_i}^{(n)}(x)\right]+a_0(x)\left[\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_{{}_i}^{\text{'}}{y}_{{}_i}^{(n-1)}(x)\right]+\text{.}\text{.}\text{.}\\ +a_1(x)\left[\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_{{}_i}{y}_{{}_i}^{(n-1)}(x)\right]+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)\left[\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i(x)y_i(x)\right]=b(x)\text{.}\end{array}$$.

Оскільки $$y=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i(x)y_i(x)$$ — розв’язок однорідного диференціального рівняння, то після скорочення одержимо $$n$$ -у умову.

$$\left[\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_{{}_i}^{\text{'}}{y}_{{}_i}^{(n-1)}(x)\right]=\frac{b(x)}{a_0(x)}\text{.}$$.

Додаючи перші $$(n-1)$$ — умови, одержимо систему.

$$\begin{array}{c}{C}_1^{\text{'}}{y}_1(x)+C_2^{\text{'}}{y}_2(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{{}_n}^{\text{'}}{y}_n(x)=0\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ C_{{}_1}^{\text{'}}{y}_{{}_1}^{(n-2)}(x)+C_{{}_2}^{\text{'}}{y}_{{}_2}^{(n-2)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{{}_n}^{\text{'}}{y}_{{}_n}^{(n-2)}(x)=0\\ C_{{}_1}^{\text{'}}{y}_1^{(n-1)}(x)+C_{{}_2}^{\text{'}}{y}_{{}_2}^{(n-1)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{{}_n}^{\text{'}}{y}_{{}_n}^{(n-1)}(x)=\frac{b(x)}{a_0(x)}\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Оскільки визначником системи є визначник Вронського і він відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок.

$$\begin{array}{c}0y_2(x)\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}{y}_n(x)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ 0y_2^{(n-2)}(x)\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}{y}_n^{(n-2)}(x)\\ \frac{b(x)}{a_0(x)}{y}_2^{(n-1)}(x)\text{.}\text{.}\text{.}{y}_n^{(n-1)}(x)\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \\ W\left[y_1,y_2,\text{.}\text{.}\text{.},y_n\right]\\ \\ \text{dx},\text{.}\text{.}\text{.},\\ \\ \\ \\ y_1(x)y_2(x)\text{.}\text{.}\text{.}{y}_{n-1}(x)0\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ y_1^{(n-2)}(x)y_2^{(n-2)}(x)\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}{y}_{n-1}^{(n-2)}(x)0\\ y_1^{(n-1)}(x)y_2^{(n-1)}(x)\text{.}\text{.}\text{.}{y}_{n-1}^{(n-1)}(x)\frac{b(x)}{a_0(x)}\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}||||||\end{array}\\ \hfill \\ \\ \\ C_1(x)=\\ \\ \begin{array}{c}\end{array}\\ \hfill \end{array}$$.

І загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння запишеться у вигляді.

$$y=\stackrel{\text{\_\_}}{C_1}{y}_1(x)+\stackrel{\text{\_\_}}{C_2}{y}_2(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+\stackrel{\text{\_\_}}{C_n}{y}_n(x)+y_{\text{неодн}}(x)$$ ,.

де $$\stackrel{\text{\_\_\_}}{C_i}$$ — довільні сталі, а.

$$y_{\text{неодн}}=C_1(x)y_1(x)+C_2(x)y_2(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n(x)y_n(x)$$ .

Якщо розглядати диференціальне рівняння другого порядку.

$$a_0(x)y\text{''}+a_1(x)y\text{'}+a_2(x)y=b(x)$$.

і загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд $$y_{\text{одн}}(x)=C_1{\text{xy}}_1(x)+C_2{y}_2(x)$$, то частинний розв’язок неоднорідного має вигляд $$y_{\text{неодн}}(x)=C_1(x){\text{xy}}_1(x)+C_2(x)y_2(x)$$. І для знаходження функцій $$C_1(x),C_2(x)$$ маємо систему.

$$\begin{array}{c}{C}_1^{\text{'}}(x)y_1(x)+C_2^{\text{'}}(x)y_2(x)=0\\ C_1^{\text{'}}(x)y_1(x)+C_2^{\text{'}}(x)y_2(x)=\frac{b(x)}{a_0(x)}\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Звідси.

$$C_1(x)=\frac{|\begin{array}{cc}0& y_2(x)\\ \frac{b(x)}{a_0(x)}& y_2^{\text{'}}(x)\end{array}|}{|\begin{array}{cc}{y}_1(x)& y_2(x)\\ y_1^{\text{'}}(x)& y_2^{\text{'}}(x)\end{array}|}\text{dx}$$, $$C_2(x)=\frac{|\begin{array}{cc}{y}_1(x)& 0\\ y_1^{\text{'}}(x)& \frac{b(x)}{a_0(x)}\end{array}|}{|\begin{array}{cc}{y}_1(x)& y_2(x)\\ y_1^{\text{'}}(x)& y_2^{\text{'}}(x)\end{array}|}\text{dx}$$ .

І одержуємо $$y_{\text{неодн}}(x)=C_1(x)y_1(x)+C_2(x)y_2(x)$$ з обчисленими функціями $$C_1(x)$$ і $$C_2(x)$$ .