Геометричні фігури на площині та їх площі
Площа круга визначається рівністю, де р — число Архімеда, яке рівне відношенню довжини кола до його діаметра, причому вказане відношення є однаковим для будь-якого кола. Не буду зупинятися на виникненні числа р, оскільки багато чого, пов’язаного з його походженням не ясно і дотепер. Доведено ірраціональність числа р. За допомогою комп’ютерів отримані мільйони десяткових знаків цього числа. Перші… Читати ще >
Геометричні фігури на площині та їх площі (реферат, курсова, диплом, контрольна)
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ ЛУБЕНСЬКА ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА № 3
І-ІІІ СТУПЕНІВ
РЕФЕРАТ
НА ТЕМУ:
ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ НА ПЛОЩИНІ ТА ЇХ ПЛОЩІ
Виконала: учениця 5-Б класу
Німець Євгенія
Лубни 2007
Вступ
Даний реферат охоплює геометричні фігури, що розглядаються в планіметрії — розділі геометрії, в якому вивчають фігури на площині, тобто, так би мовити, у двовимірному світі.
Основними геометричними фігурами на площині є точка і пряма. Я дам їх визначення, як також визначення кута, трикутника, квадрата, чотирикутника, ромба, паралелограма, трапеції, многокутника. Пригадаю, як визначали площі згаданих фігур у часи античності та сучасні методи обчислення площ.
Точка і пряма
Як вже було зазначено, точка і пряма є основними геометричними фігурами на площині. Математично, точкою на площині є об'єкт, два плоскі виміри якого (x і y) прямують до нуля. Тобто, це об'єкт, що має плоскі координати x і y, але не має розмірів, тобто довжини і ширини, тобто це «існуюче ніщо». Як би я не загострювала кінчик олівця, в надії нанести на площину математичну точку — в мене нічого не вийде. Реально нарисована точка матиме цілком реальні (хай навіть менше 0,1 мм!) розміри по x та по y. Таке визначення точки у математиці було зроблено для спрощення розрахунків.
Як правило, всяку геометричну фігуру прийнято вважати складеною з точок. Тому прямою на площині (рис.1) є геометричне місце точок, один з вимірів якого (скажімо довжина) рівний нескінченності, а інший — ширина, прямує до нуля. Для порівняння, відрізок (рис 2), як частина прямої, яка складена з усіх точок прямої, що лежать між двома її точками, має нульову ширину при цілком певній довжині, скажімо 15 см чи 5 м. Півпрямою, або променем (рис.3) називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки. Промінь також вважають проведеним у нескінченність в один бік.
Аналогічно попередньому, яким тонким не був би кінчик мого олівця, я не зможу накреслити математичну пряму, відрізок чи промінь — вони матимуть цілком певну ширину.
а
рис.1
А В
Рис. 2.
Рис.3
Кут
Кутом (рис.4) називається фігура, що складається з двох різних півпрямих із спільною початковою точкою, яка називається вершиною кута, а півпрямі - сторонами кута.
Рис.4
Очевидно, що до фігур, зазначених вище, поняття площі незастосовне.
Плоскі геометричні фігури
Чотирикутником взагалі є фігура, складена з чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх сполучають. Чотирикутник називають опуклим, якщо він розміщений в одній півплощині відносно прямої, яка містить будь-яку його сторону. На рисунках 5 і 6 показано опуклий та неопуклий чотирикутники.
Рис. 5 Рис.6
Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називають сусідніми сторонами, а сторони, які не мають спільного кінця — протилежними сторонами.
Прямокутник (рис.7) — це чотирикутник, у якого всі кути прямі.
b
а
Рис. 7.
Як бачимо з рис. 7, геометри античності спочатку розбивали прямокутник на квадратики, які були одиницями площі (поняття метр і метр квадратний з’явилось пізніше) і підраховували їх кількість. Тепер використовується формула Sпрям. = аb.
Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні (рис.8).
а
Рис.8
Можна також розбити квадрат на n одиниць площі і знайти їх суму, проте ми користуємося формулою Sквад. = а2.
Паралелограм — це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні (рис.9).
h
а
Рис.9
Площа паралелограма визначається як добуток його сторони на висоту, проведену до цієї сторони: Sпарал. = аh.
Ромб — це паралелограм, у якого всі сторони рівні (рис.10).
h
а
Рис.10
Площа ромба визначається так само як і площа паралелограма.
Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні (рис.11).
b
h
а
Рис.11
Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту:
Кругом називається геометричне місце точок площини, що лежать від даної точки на відстані, не більшій за дане число R, яке називається радіусом круга (рис.12).
R
Рис.12
Площа круга визначається рівністю:, де р — число Архімеда, яке рівне відношенню довжини кола до його діаметра, причому вказане відношення є однаковим для будь-якого кола. Не буду зупинятися на виникненні числа р, оскільки багато чого, пов’язаного з його походженням не ясно і дотепер. Доведено ірраціональність числа р. За допомогою комп’ютерів отримані мільйони десяткових знаків цього числа. Перші знаки його такі: р = 3,14 159 265 358…
Трикутником є фігура, що складається з трьох точок і трьох прямих, що їх з'єднують. Розрізняють прямокутні та косокутні трикутники (рис. 13, 14)
с
b с b
h
г
а а
Рис. 13 Рис.14
Оскільки прямокутний трикутник можна розглядати як половину прямокутника, то площа прямокутного трикутника рівна .
Взагалі, площа будь-якого трикутника може бути визначена як половина добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони. За рис. 14 запишемо:. Існують інші формули для визначення площі трикутника, наприклад (див. рис.14). Можна також довести формулу Герона для площі трикутника:
де р — півпериметр трикутника, а саме .
Якщо плоска фігура зображена в системі координат (x, y), то площа будь-якої з них може бути представлена у вигляді визначеного інтеграла. Дана тема вивчається в 11-му класі середньої школи, тому поки що я не буду її торкатися. За допомогою визначеного інтеграла знаходять площі опуклих і не опуклих криволінійних плоских фігур.
Для площ n-кутників багатьма великими цього світу виведені спеціальні формули, запам’ятати які не завжди легко. Тому я зазвичай, застосовую інший метод обчислення площ багатокутників: всякий n-кутник може бути розбитий на певну кількість простіших фігур, формули площ яких я пам’ятаю.