Гармонійні функції

ЗМІСТ

Вступ

1. Збіжність ряду в нормованому просторі

2. Збіжність ортогонального ряду в гільбертовому просторі

3. Ортонормована система. Ряд Фур'є за ортонормованою системою

4. Базиси в нормованому просторі

5. Тригонометричний ряд Фур'є в

6. Деякі властивості біортогональних систем

7. Біортогональні системи в деяких бананових просторах

8. Деякі властивості базисів бананових просторів

9. Деякі застосування рядів в бананових просторах Висновки Список використаних джерел

ВСТУП

, , (0)

Ряд називається ортогональним в евклідовому просторі зі скалярним добутком, якщо. Якщо ортогональний ряд є збіжним в евклідовому просторі до елемента, то його коефіцієнти знаходяться за формулою. Система елементів евклідового простору називається біортогональною до системи, якщо. Якщо система є ортогональною, то вона має біортогональну систему і. Якщо ряд є збіжним в евклідовому просторі до елемента, і система має біортогональну систему, то коефіцієнти знаходяться за формулою .

Метою курсової роботи є вивчення біортогональних систем в банановому просторі.

1. Збіжність ряду в нормованому просторі

Нехай — зліченна підмножина нормованого простору. Ряд

(1)

називається збіжним в, якщо такий існує елемент, що

(2)

При цьому називається сумою ряду (1) і цей факт записується так:

.(3)

Теорема 1. Якщо (1) є збіжним в нормованому просторі , то його загальний член прямує до нуля в

Доведення. Справді, .

Теорема 1. Для того, щоб ряд (1) був збіжний в банаховому просторі , необхідно і достатньо, щоб

.(4)

Доведення. Справді, збіжність ряду (1) рівносильна збіжності послідовності. Але. Звідси і повноти випливає твердження теореми.

Ряд (1) називається нормально збіжним або абсолютно збіжним в топології простору, якщо збіжним в є ряд

.(6)

Теорема 2. Якщо ряд (1) є нормально збіжним в банаховому просторі , то він є збіжним в .

Доведення. Справді, це випливає із теореми 1 і нерівності

.

Приклад 1. Ряд є нормально збіжним в , оскільки

Приклад 2. Оскільки , то ряд є розбіжним в просторі .

2. Збіжність ортогонального ряду в гільбертовому просторі

Система елементів евклідового простору називається ортонормованою якщо

Теорема 1. Нехай — ортонормована система гільбертового простору . Для того, щоб ряд

, .

був збіжним в , необхідно і достатньо, щоб .

Доведення. Справді, це випливає із рівностей

і теореми 1 попереднього пункту.

Приклад 1. Ряд , де …, є збіжним в , оскільки система є ортонормованою в і ряд є збіжним в .

3. Ортонормована система. Ряд Фур'є за ортонормованою системою

В курсі алгебри і геометрії показується, що якщо — -мірний евклідовий простір, — його базис, — координатори вектора в цьому базисі, то і. Ми розглядаємо аналог цього твердження для нескінченно вимірних просторів і числа будемо називати не координаторами вектора, а коефіцієнтами Фур'є. Нехай — евклідовий простір, — зліченна система елементів простору. Система називається ортонормованою, якщо Числа називається коефіцієнтами Фур'є елемента за ортонормованою системою, а ряд

(1)

рядом Фур'є елемента за цією системою. Елемент

(2)

називаютьим поліномом Фур'є абою частинною сумою ряду Фур'є, а елемент

(3)

де — довільні сталі (дійсні, якщо — дійсний, комплексні, якщо — комплексний), називають поліномом порядку за системою. Відхиленням полінома від елемента називається число, тобто відхилення — це відстань в між і .

Теорема 1. Нехай — ортонормована система евклідового (дійсного або комплексного) простору . Тоді серед всіх поліномів порядку найменше відхилення від елемента має -ий поліном Фур'є елемента .

Доведення. Будемо розглядати тільки дійсний евклідовий простір. Тоді, використовуючи властивості скалярного добутку і ортонормованість системи, маємо

.(4)

Звідси видно, що мінімум правої частини (4) досягається при (під сумою стоїть квадратний тричлен як функція).

Теорема 2. Якщо — ортонормована система в евклідовому просторі , то при будь-якому і для кожного виконується

(5)

і справедлива нерівність Бесселя , тобто

Доведення. Справді, (5) випливає із (4), а остання нерівність є наслідком (5).

Система, евклідового простору називається повною в якщо для кожного і кожного знайдеться такий поліном вигляду (3), для якого. Іншими словами, система, , називається повною в, якщо для кожного знайдеться послідовність поліномів вигляду (3), для якої

. (6)

Теорема 3. Якщо ортонормована система в евклідовому просторі є повною в , то для кожного елемента справедлива рівність Парсеваля (аналог теореми Піфагора)

.(7)

Доведення. Це випливає із (5) та (6), бо

.

Теорема 4. Якщо ортонормована система є повною в евклідовому просторі , то для кожного елемента його ряд Фур'є (1) збігається в до , тобто

. (8)

Доведення. Ця теорема випливає із (5) і попередньої теореми, бо

.

Теорема 5. Якщо — ортонормована система в евклідовому просторі , і для деякого існує послідовність поліномів вигляду (3) така, що виконується (6), то для цього елемента справедливі рівності (7) і (8).

Доведення. Це випливає із (5) та (6).

Система називається ортогональною, якщо Вивчення ортогональної системи зводиться до вивчення ортонормованої системи .

Теорема 6 (Рісса-Фішера). Якщо — ортонормована система гільбертового простору і — послідовністиь комплексних (дійсних, якщо дійсний) чисел таких, що , то існує такий елемент , що і справедлива рівність Парсеваля .

Доведення. Маємо. Із збіжності ряду (2) і повноти випливає збіжність в послідовності до деякого елемента і за теоремою 4 справедлива рівність Парсеваля.

4. Базиси в нормованому просторі

Система елементів банахового простоу називається базисом цього простору, якщо кожний елемент єдиним чином розвивається в збіжний в ряд

. (1)

Безпосередньо із означення випливає, що кожний базис є повною системою, але не навпаки. Наприклад, за теоремою Вейєрштрасса система є повною в, але не є базисом в цьому просторі, бо не кожна функція, неперервна (і навіть не кожна нескінченно диференційовна функція) подається у вигляді суми рівномірно збіжного на ряду

.

Теорема 1. Якщо — ортонормована система гільбертового простору , ряд (1) є збіжним в до , то його коефіцієнти знаходяться за формулою .

Доведення. Справді,

якщо. Тому, враховуючи, що ряд (1) є збіжним в і скалярний добуток є неперервною функцією, отримуємо

звідки випливає потрібний висновок.

Теорема 2. Нехай — ортонормована система гільбертового простору . Тоді наступні умови є еквівалентними: 1) система є повною в просторі ; 2) система є базисом простору ; 3) для кожного справедлива рівність Парсеваля .

Доведення. Ця теорема є безпосереднім наслідком теореми 1 і теорем попереднього пункту.

Приклад 1. Система елементів

…,

є ортонормованою в і є базисом цього простору. Справді, ортонормованість цієї системи встановлюється безпосередньою перевіркою. Далі, для елемента маємо Тому ряд є збіжним. Отже, ряд також є збіжним в до деякого елемента . Покажемо, що . Справді,

5. Тригонометричний ряд Фур'є в

Теорема 1 . Тригонометрична система

(1)

є ортонормованим базисом простору і, отже, кожна функція єдиним чином розвивається в збіжний в тригонометричний ряд Фур'є

,

і при цьому коефіцієнти і знаходяться за формулами

, ,

, ,

і справедлива рівність Парсеваля

.

Доведення. Множина всіх неперервних функцій таких, що є скрізь щільною в. З іншого боку за теоремою Вейєрштрасса кожну таку можна як завгодно точно в, а тому і в наблизити скінченними лінійними комбінаціями системи (1). Звідси випливає, що тригонометрична система є повною в. Оскільки вона є також ортонормованою, то вона і є базисом.

Теорема 2. Тригонометрична система

(2)

є ортонормованим базисом простору і, отже, кожна функція єдиним чином розвивається в збіжний в тригонометричний ряд Фур'є.

,

і при цьому коефіцієнти знаходяться за формулами

, ,

базис ортонормований біортогональний банановий

і справедлива рівність Парсеваля

.

Доведення. Ця теорема є наслідком теореми 1, оскільки можна вважати, що — парна функція і .

Теорема 1. Тригонометрична система

(3)

є ортонормованим базисом простору і, отже, кожна функція єдиним чином розвивається в збіжний в тригонометричний ряд Фур'є

,

і при цьому коефіцієнти знаходяться за формулами

, ,

і справедлива рівність Парсеваля

.

Доведення. Ця теорема є наслідком теореми 1, оскільки можна вважати, що — непарна функція і .

Теорема 4. Комплексна тригонометрична система

(4)

є ортонормованою базою простору і, таким чином, кожна функція єдиним чином розвивається в збіжний в комплексний ряд Фур'є , і при цьому коефіцієнти цього ряду знаходяться за формулою

і справедлива рівність Парсеваля .

Доведення. Ця теорема є наслідком теореми 1.

Зауваження 1. Довгий час залишалось відкритим питання про поточкову збіжність ряду Фур'є із . Це питання розв’язав Карлесон, який довів, що ряд Фур'є кожної функції збігається майже скрізь.

Доведемо тепер твердження, яке використане при доведенні теореми 1.

Теорема 5. Для кожного і кожного проміжка і кожної східчастої на функції існує неперервна на функція , рівна нулеві поза така, що .

Доведення. Досить провести функції

де — довільний проміжок, який міститься в, бо кожна східчаста на функція є скінченною лінійною комбінацією таких функцій. Підберемо так, щоб і. Безпосередньою перевіркою встановлюємо, що шуканою є функція

6. Деякі властивості біортогональних систем

Нехай -послідовність елементів евклідового простору зі скалярним добутком. Послідовність елементів простору називається біортогональною до системи, якщо

(1)

Якщо система має біортогональну систему, то ряд Коли — будь-який елемент, то ряд

(2)

називається рядом Фур'є елемента за системою. Ряд (2) може бути збіжним, може бути розбіжним, може бути збіжним, але його сума може не дорівнювати .

Приклад 1.

Коли послідовність утворює тотальну множину функціоналів і ряд (2) для деякого елемента збіжний, то є сумою цього ряду; справді, для маємо:

Теорема 1. Якщо ряд (2) для кожного — збіжний, то ряд

є також збіжний у кожній точці для всякого лінійного функціонала .

Доведення. Покладаючи

(3)

маємо, так що збіжність послідовності в кожній точці є очевидна.

Теорема 2. Якщо норми частинних сум (3) ряду

(4)

в своїй сукупності є обмежені для всякого лінійного функціонала , то ряд (2) є збіжний для кожного елемента , який є границею будь-якої послідовності лінійних комбінацій, утворених з членів послідовності .

Доведення. Покладаючи

(5)

маємо (див. (3)); а тому що за умовою, де є незалежне від число, то на підставі теореми (якщо послідовність елементів простору має таку властивість, що для кожного лінійного функціонала , означеного в , маємо , то послідовність норм є обмежена), для кожного маємо. Отже, на основі теореми (якщо для даної послідовності лінійних операцій, означених в , справедлива нерівність для кожного , то послідовність норм є обмежена) існує таке число, незалежне від і від, що .

А тому що для маємо, то прості міркування приводять до висновку, що існує для кожного елемента, який задовольняє умови теореми.

Теорема 3. Якщо норми частинних сум (5) ряду (2) в своїй сукупності є обмежені для кожного , то ряд (4) збіжний для кожного функціонала , який є границею довільної послідовності лінійних комбінацій, утворених з членів послідовності .

Доведення аналогічне доведенню теореми 2.

Теорема 4. Якщо виконуються умови попередньої теореми і крім того послідовність є фундаментальна, то ряд (2) збігається для всякого елемента .

Доведення. На підставі (5) для кожного маємо і, крім того, для, а звідси випливає збіжність ряду (2) для кожного .

7. Біортогональні системи в деяких бананових просторах

Розгляньмо тепер властивості біортогональних послідовностей в просторах, які нас особливо цікавлять.

Покладемо

(6)

Припустимо далі, що є послідовність функцій у просторі, де — послідовність функцій в і, крім того, ці послідовності в даних просторах повні (або замкнені).

Теорема 5. Якщо при заданих умовах ряд

Збігається в середньому з -тим степенем для всякої функції , то ряд

Збігається в середньому з -им степенем для всякої функції .

Доведення. Нехай

для. (7)

Отже, за умовою ряд для всякого є збіжний в середньому (тобто за нормою) зтим степенем. Тим самим на основі теореми 3, ряд

де

є збіжний за нормою (тобто, в середньому зим степенем) для всякого лінійного функціонала, означеного в просторі, а так само ряд (7) буде збіжний для всякої функції, що треба було довести.

Зокрема, якщо, де найбільше з чисел і, то висновком з попередньої теореми буде така теорема:

Якщо ряд

(8)

для кожного збіжний в середньому зтим степенем, то він є також збіжний в середньому зим степенем для кожної функції .

Тут можна припустити, наприклад, що, де є обмежені функції.

Розглянемо тепер випадок, коли при умові (6), є послідовність інтегровних функцій, а є послідовність обмежених функцій у проміжку. Припустимо, крім того, що послідовність є повна в просторі .

Теорема 6. Якщо при цих умовах ряд

є збіжний у середньому для , то ряд

для кожного є майже всюди обмежений і навпаки.

Доведення аналогічне доведенню теореми 5: розглядають як елементи області, а як лінійні функціонали; нарешті, беруть на увагу теореми 3 і 4.

Зокрема, коли, то маємо висновки:

1. Якщо ряд (8), де в середньому збіжний для кожного, то він для кожного обмежений і навпаки.

2. Якщо ряд (8), де, а повна послідовність у просторі, рівномірно збіжний для кожного, то він у середньому збіжний для кожного і навпаки.

Доведення одержимо так: в першій частині теореми розглядаємо як елементи області, а як представників функціоналів; а в другій частині розглядаємо як елементи області, а як представників лінійних функціоналів, означених у просторі .

8. Деякі властивості базисів бананових просторів

Послідовність елементів простору називаємо базисом (це поняття запровадив у загальному випадку Ю. Шаудер), якщо для кожного елемента існує точно така одна послідовність чисел, що

.

Коли дано базис, то нехай буде множина послідовностей, для яких ряд є збіжний. Покладаючи, легко довести, що так нормована множина утворює простір типу .

Покладемо далі

для кожної послідовності .

Так означена операція є лінійна, бо, а тому що вона перетворює множину на взаємно одночасно, то обернена операція є також лінійна.

Нарешті, функціонал:

де

також лінійний, бо

і .

Отже, маємо

для кожного ,

а тому що цей розклад єдиний, то одержуємо рівність (1), тобто послідовність є біортогональна.

Зауважимо, що для кожного лінійного функціонала, означеного в просторі, ряд збігається до тому, що для кожного маємо рівність:

.

Невідомо, чи кожний сепарабельний простір типу має базис.

Ця проблема розв’язана тільки в деяких окремих просторах. Так, наприклад, у просторі, де, базисом є ортогональна система Haar’a. В просторі базис побудував Ю.Шаудер. В просторі, де, базис утворює послідовність, де

і

тоді для маємо. Нарешті, в просторі базисом є ця сама послідовність з приєднанням до неї елемента, де для Отже, для елемента маємо .

9. Деякі застосування рядів в бананових просторах

Теорема 7. Якщо послідовності , і , є біортогональні, а рівняння , де для кожного мають точно один розв’язок , то із збіжності ряду випливає збіжність ряду для кожної послідовності чисел .

Доведення. Як легко бачити, з рівностей: і, де, випливає рівність. Отже, на підставі теореми 7 (Кожна адитивна операція , що задовольняє умову: з і випливає , є лінійна), операція є лінійна. Тим самим, покладаючи, маємо, а тому що за означенням для одержуємо для всяких дійсних, звідки випливає безпосередньо твердження нашої теореми.

Висновок. Якщо і - ортогональні, нормовані послідовності неперервних функцій і для кожної неперервної функції існує тільки одна неперервна функція така, що, то з рівномірної збіжності ряду випливає рівномірна збіжність ряду .

Аналогічні висновки одержуємо для інших функціональних просторів.

Теорема 8. Нехай , — біортогональна послідовність, де — тотальна послідовність, а послідовність чисел така, що тоді, коли є послідовність коефіцієнтів елемента (тобто для ), то є послідовність коефіцієнтів елемента .

Коли при цих умовах є послідовність коефіцієнтів деякого лінійного функціонала (тобто для ), то є послідовність коефіцієнтів деякого лінійного функціонала .

Доведення. За умовою система рівнянь, де для кожного має точно один розв’язок. Позначимо його через .

З рівностей: і, де, випливає очевидно рівність. Отже, на основі теореми 7 (Кожна адитивна операція , що задовольняє умову: з і випливає , є лінійна), операція є неперервна.

Зокрема, легко бачити, що:

для всіх (9)

Отже, якщо дано такий лінійний функціонал, що для, то за формулою (9) маємо, тобто числа є коефіцієнтами операції, що й треба було довести.

Зауважимо, що при вираз на основі (9) є границею лінійних комбінацій, утворених з членів послідовності .

Як застосування цього зауваження легко одержуємо таку теорему.

Теорема 9. Нехай — ортогональна, нормована і замкнена в просторі послідовність неперервних функцій.

Якщо послідовність множників перетворює всяку послідовність коефіцієнтів обмеженої функції в послідовність коефіцієнтів обмеженої функції, то вона перетворює одночасно кожну послідовність коефіцієнтів довільної неперервної функції також у послідовність коефіцієнтів якоїсь неперервної функції.

Обернена теорема також справедлива.

Нарешті, маємо:

Теорема 10. Нехай — ортогональна, нормована і повна в просторі , де , послідовність обмежених функцій.

Якщо послідовність множників перетворює послідовність коефіцієнтів довільної функції в послідовність коефіцієнтів певної функції , то вона перетворює також кожну послідовність коефіцієнтів довільної функції в послідовність коефіцієнтів певної функції .

Коли , то .

Негармонійні ряди Фур'є. Нехай — довільна послідовність комплексних чисел. Ряд

називається узагальненим тригонометричним рядом або рядом Діріхле, або негармонійним рядом Фур'є. Питання про можливість розкладу довільної функції в збіжний в цьому просторі

Вперше розглянув Н. Вінер[. Він довів наступне твердження.

Теорема. Нехай — довільна послідовність різних дійсних чисел таких, що

, .

Тоді система є базисом простору , тобто кожна функція єдиним чином розвивається у збіжний у цьому просторі ().

ВИСНОВКИ

В цій курсовій роботі ми вивчали властивості систем в нормованих просторах, властивості базисів, властивості біортогональних систем, а також деякі застосування рядів в нормованих просторах.

Ця курсова робота допомогла мені зрозуміти і усвідомити, який великий і ще не повністю вивчений мною світ математики.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Антоневич А. Б., Князев П. Н., Радыно Я. В. Задачи и упражнения по функциональному анализу.-Минск:Высшейшая школа, 1978.-206с.

2. Антоневич А. Б., Радыно Я. В. Функциональнальный анализ и интегральные уравнения.-Минск:Высшейшая школа, 1978.-206с.

3. Ахиезер Н. И., Глазман Н. М. Теория линейніх операторов в гильбертовом пространстве: В 2 т.-Х.:Вища школа, Изд-во. при Харьк. ун-те. 1977.-Т.1.-316с.

4. Ахиезер Н. И., Глазман Н. М. Теория линейніх операторов в гильбертовом пространстве: В 2 т.-Х.:Вища школа, Изд-во. при Харьк. ун-те. 1978.-Т.2.-288с.

5. Банах С. Курс функціонального аналізу.-К.: Радянська школа.- 1948.-216с.

6. Березанский Ю. М. Разложения по собственным функциям самосопряженных.-К.: Наукова думка.- 1988.-800с.

7. Березанский Ю. М., Кондратьев Ю. Г. Спектральные метододы в бесконечномерном анализе.-К.: Наукова думка.- 1965. -680с.

8. Березанский Ю. М., Ус Г. Ю., Шефтель Е. Г. Функциональный анализ.-К.:Вища школа.-1990.-600с.