Математика. 
Інтеграли

*1. Кажуть, що функція f (x) не убуває (зростає) на (a, b), для будь-яких точок x10, f ((()0(f має у точці x0 локальний мінімум. 2) f (((x0)0, (x ((a, b)(график f (x) тримає в (a, b) опуклість, спрямовану вниз; 2)) f (((x)0 [pic] [pic] [pic] - рекуррентная формула. Інтегрування раціональних функцій: R (x)=P (x)/Q (x), R (x)-рациональная функція, P (x) і Q (x)-многочлены. Дріб P (x)/Q (x) розкласти сумою найпростіших дробів, де Ai, Bi, Ci — постійні, саме: кожному множнику (x-a)k у виставі знаменника Q (x) відповідає розкладанні дробу P (x)/Q (x) на складові сума k найпростіших дробів типу [pic] і кожному множнику (x2+px+q)t відповідає сума t найпростіших дробів типу [pic]. Отже, за розкладанні знаменника Q (x) на множники має місце розкладання дробу P (x)/Q (x) на складові. [pic] Правила інтегрування раціональних дробей:

1. Якщо рац. дріб неправильна, її подають як суми багаточлена і неправильної дроби.

2. Розкладають знаменник правильної дробу на множетели. Праву рац. дріб розкладають у сумі найпростіших дробів. Цим самим інтегрування правильної рац. дробу зводять до інтегрування найпростіших дробей.

8. Інтегрування тригонометрических функцій: I. 1 Інтеграл виду: [pic].

2. R (sinx, cosx) — непарний функція щодо sinx, то cosx=t.

3. R (sinx, cosx) — непарна функція щодо cosx, то sinx=t.

4. R (sinx, cosx) — непарний функція щодо sinx і cosx, то tgx=t.

[pic] II. 1 [pic].

2. Обидва показники ступеня m і n — парні позитивні числа: sinxcosx=½ sin2x; sin2x=½(1-cos2x); cos2x=½(1+cos2x). III. (tgmxdx і (ctgmxdx, де m-целое позитивне число. tg2x=sec2x-1 чи ctg2x=cosec2x -1. IV. (tgmxsecnxdx і (ctgmxcosecnxdx, де n — парне позитивне число. sec2x=1+tg2x чи cosec2x=1+ctg2x. V. (sinmx*cosnxdx, (cosmx*cosnxdx, (sinmx*sinnxdx; sinacosb=½(sin (a+b)+sin (a-b)); cosacosb=½(cos (a+b)+cos (a-b)); sinasinb=½(cos (a-b)-cos (a+b));

9.

Інтегрування ірраціональних функцій: I. 1 (R (x, [pic], [pic],…)dx, k-общий знаменник дробів m/n, r/s… x=tk, dx=ktk-1dt.

2. (R (x,[pic], [pic]…)dx, [pic], x=[pic], dx=[pic] II. 1 [pic] Винести 1/(a чи 1/(-a. І виділимо повні квадраты.

2. [pic].

3. [pic] Розбити на два интеграла.

4. [pic] [pic] III. 1 [pic].

2. [pic].

3. [pic] [pic] 1) p-целое число x=tS, де p. sнайменше загальне кратну знаменателей у дробів m і n. 2) (m+1)/n -ціла кількість: a+bxn=tS; 3) p+(m+1)/n-целое число: a-n+b=tS і p. sзнаменник дробу p.

10. Певний интеграл:

1) інтервал [a, b], у якому задана функція f (x), розбивається на n часткових інтервалів з допомогою точок a=x0.