Критерій стійкості Льєнара--Шіпара

Цей критерій було розроблено в 1914 р. і розраховано для систем з відносно великим степенем характеристичного рівняння (n 5). Він, по суті, є варіацією критерію Гурвіца. Було доведено, що при умові а₀ > 0, а₁ > 0,. .., а > 0 при додатному значенні всіх визначників Гурвіца з індексами 3, 5,. .. будуть додатними також всі визначники з індексами 2, 4, 6. Отже, при Д₃ > 0, Д₅ > 0,. .. визначники Д₂, Д₄, Д₆,…обов'язково будуть додатними. Тому при n = 5 необхідне виконання умов Д₂ > 0, Д₄ > 0, а при n = 6 — умов Д₅ > 0, Д₃ > 0.

Умовою знаходження системи на межі стійкості є рівність нулю відповідного визначника.

Загальна методика дослідження впливу параметрів системи на її стійкість за допомогою критеріїв Гурвіца та Льєнара—Шіпара Дослідження впливу деякого параметра Т_х на стійкість системи можна проводити в такій послідовності.

1. Згідно з викладеним вище, відповідно до степеня характеристичного рівняння прийняти умови:

при n = 3 Д > 0, при n = 5 Д₂ > 0, Д₄ > 0, при n = 4 Д₃ > 0, при n = 6 Д₅ > 0, Д₃ > 0.

2. Встановити функціональну залежність відповідного визначника, або визначників (згідно з n.1), і параметра Тx.

Д_х =ѓ (T_x).

Наприклад, при n = 5 такими залежностями мають бути:

Д₄=ѓ (Т_х) і Д₂ = ѓ (Т_x).

• 3. З умов Д_х=ѓ (T_x)=0 визначити критичні значення Т_х (значення Т_x, при яких система знаходиться на межі стійкості), а також зони, в яких Т_x відповідає стійкому або нестійкому, стану системи.
• 4. У зоні «стійких значень» Т_x встановити необхідний запас стійкості по параметру Т_x і виділити зону рекомендованих значень цього параметра.

Знайдені значення параметра Т_х за умовами стійкості далі треба узгоджувати з вимогами якості перехідного процесу. Якщо параметр Т_х входить до складу коефіцієнта а_n характеристичного рівняння і визначає статичну точність системи, то вимоги стійкості і якості мають бути узгоджені з вимогами статичної точності.

Для ілюстрації викладеної вище методики розглянемо рис. а і b На рис. a, показано деяку залежність Д₃ = ѓ(Т_х), що відповідає системі 4-го порядку, умовою стійкості якої є Д₃ > 0. Критичні значення параметрів Т_x1 і Т_x2 відповідають Д₃ = 0, і рекомендоване значення параметра Т має лежати в межах Т_х1 — Т_х2.

На рис. б розглянуто випадок, що відповідає системі 5-го порядку (n = 5). У цьому разі умовою стійкості є Д₂ > 0, Д₄ > 0. Тому аналіз виконується з врахуванням взаємного розміщення кривих Д₂ = ѓ(Т_x) і Д₄ = ѓ(Т_x). У цьому випадку параметр Т_х має знаходитися в межах Т_х2 -Т_x3, де T_x2 і Т_x3 — критичні значення параметра T_x.