Елементи теорії ймовірностей

Смілянський природничо-математичний ліцей

Асоційована школа ЮНЕСКО

Товариство «Пошук»

НАУКОВА РОБОТА

Тема. Елементи теорії ймовірностей

Виконала:Тимошенко Оксана,

учениця II-М курсу;

Керівник: Осадча Раїса

Володимирівна

Зміст

Вступ

Розділ 1. Основні поняття теорії ймовірностей

Розділ 2. Правило суми і множення

Розділ 3. Теорема додавання і теорема добутку ймовірностей

Розділ 4. Геометрична ймовірність

Список використаних джерел й літератури

Вступ

До цього часу розглядалися задачі, в яких результат дії був однозначно визначеним. Але в житті і трудовій діяльності доводиться мати справу з подіями реального світу, що залежить від обставини, які або невідомі, або не піддаються обліку. Наприклад, не можна передбачити, скільки зерен дасть певний колос від посіяної зернини пшениці, скільки випускників подадуть заяви для вступу до Українського державного університету ім. М. Драгоманова, чи будуть серед деталей, оброблених токарем за зміну, браковані і скільки. Подібного роду закономірності і вивчає теорія ймовірностей. У природі немає жодного фізичного явища, в якому б не мали місця елементи випадковості.

Але в масових однорідних випадкових подіях, тобто таких, які можуть неодноразово повторюватись за однакових умов, незалежно від людини існують закономірності, які піддаються обліку. Тож метою цієї наукової роботи є Знаходження цих закономірностей, визначення ймовірності подій. Розрізняють масові випадкові події (серія пострілів одного стрільця з тієї самої гвинтівки) і одиничні випадкові події(падіння Тунгуського метеорита), так от теорія ймовірності одиничні випадкові події передбачити не може, і вивчає лише масові випадкові події. Історично вивчення імовірності починалось із вивчення стратегій для азартних ігор.

Науковий підхід до вивчення починався із робіт Джироламо Кардано, П'єра Ферма, Блеза Паскаля (1654), Християна Гюйгенса (1657), Якоба Бернуллі (1713), Абрахама де Муавра (1718), Томаса Баєса (теорема Баєса) та ін. Надалі теорія імовірності розвивалась для потреб оцінки похибок вимірювань в фізичних експериментах. П'єр-Симон Лаплас (1774) першим спробував застосувати закони імовірності для результатів вимірювань. Даніель Бернуллі (1778) застосував теорію ймовірностей в економіці для оцінки ризиків. Адрієн-Марі Лежандр (1805) розробив метод найменших квадратів для знаходження найкращого наближеного розв’язку надлишково-визначеної системи. Карл Фрідріх Гаус в 1809 довів закон про нормальний розподіл похибок вимірювань. Також теорія імовірності розвивалась для потреб статистичної фізики: Джеймс Максвелл, Людвіг Больцман, Альберт Ейнштейн та ін. Андрій Марков ввів поняття ланцюгів Маркова для стохастичних процесів (1906). Сучасна теорія ймовірностей, яка базується на теорії міри, була розроблена Андрієм Колмогоровим в 1931 році.

Розділ 1. Основні поняття теорії ймовірностей

теорія ймовірність подія випробування

Випробуванням (або дослідом) називається експеримент, який можна проводити в однакових умовах будь-яку кількість разів. Результат випробування називається подією або наслідком.

Наприклад, підкидання монети — випробування, поява на ній «герба» -подія. Виготовлення деталей — випробування, поява бракованої деталіподія.

Події позначають великими буквами латинського алфавіту А, В, С, …

Означення 1. Випадковою подією називається подія, яка може відбутися або не відбутися під час здійснення певного випробування.

Наприклад, виграш у суперника при грі у шахи, поява бракованого виробу при серійному їх випуску - випадкові події.

Означення 2. Масовими називаються однорідні події, що спостерігаються за певних умов і можуть бути відтворені необмежену кількість разів.

Масовими вважають і ті події, для яких відповідні випробування не можна відтворити, але є можливість спостерігати аналогічні випробування у великій кількості. Наприклад, виклик телефонної станції, прихід суден далекого плавання в порт призначення.

Подія, яка при кожному випробуванні обов’язково відбувається, називається вірогідною. Наприклад, якщо в урні лише білі кулі, то при кожному випробуванні обов’язково вийматиметься тільки біла куля.

Подія, що не може відбутися при жодному випробуванні, називається неможливою. Наприклад, поява чорної кулі, якщо в урні лише білі, є неможливою подією.

Означення 3. Сукупність подій утворює повну групу подій, якщо внаслідок випробування хоч одна з цих подій напевно відбудеться (наприклад, поява 1, 2, 3, 4, 5, 6 очок під час кидання грального кубика).

Якщо повна група складається з двох подій, то такі події називаються протилежними і позначаються, А і ?.

Означення 4. Події А1, А2, …, Ап називаються попарно несумісними у даному випробуванні, якщо ніякі дві з них не можуть відбутися разом.

Поява 1, 2, 3, 4, 5, 6 очок під час одного кидання грального кубика — приклад множини з шести несумісних подій.

Події А1, А2, …, Ап можуть бути рівно можливими. Під рівно можливими розуміють такі події, кожна з яких не має ніяких переваг у появі частіше за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов.

Ймовірність — числова характеристика появи випадкової події за певної умови, яка може бути відтворена необмежену кількість разів. Розглянемо поняття ймовірності грунтовніше.

Розділ 2. Правило суми і множення

Правило суми

Якщо деякий об'єкт, А можна вибрати з сукупності об'єктів m способами, а інший об'єкт В може бути вибраний n способами, то вибрати або А, або В можна m+n способами.

Правило множення

Якщо об'єкт, А можна вибрати з сукупності об'єктів m способами, і після кожного такого вибору об'єкт В можна вибрати n способами, то пара об'єктів, А і В може бути вибрана m*n способами.

Приклад 1

З п’яти букв розрізної азбуки складене слово «КНИГА». Дитина, що не вміє читати, розсипала ці букви і потім склала в довільному порядку. Знайти ймовірність того, що у неї знову вийшло слово «КНИГА» .

Розв’язок.

Подія, А — вийшло слово «КНИГА» .

Дитина може зібрати в довільному порядку ті п’ять букв, які складають слово «КНИГА». Отримані буквосполучення відрізняються одне від іншого не самими елементами, а тільки їх порядком, тому число всіх наслідків експерименту обчислимо як число перестановок з п’яти елементів:

З усіх можливих наслідків експерименту тільки один сприяє появі шуканої події А. Ймовірність дорівнює :

Розділ 3. Теорема додавання і теорема добутку ймовірностей

Теорема додавання

Імовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірності цих подій ,

якщо, А та В несумісні

Сума ймовірностей подій Щ = {щ1, щ2, …, щn}, що складають повну групу (сукупність єдино можливих подій), дорівнює одиниці

Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці. Протилежними називають дві єдино можливі події, що складають повну групу

Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без імовірності їх спільної появи

Принцип практичної неможливості малоймовірних подій: якщо випадкова подія має дуже малу ймовірність, то практично можна вважати, що в одиничному випробуванні подія не наступить. Даний принцип використовується при розв’язку практичних задач. Достатньо малу ймовірність, при якій (в конкретній задачі) подію можна вважати практично неможливою, називають рівнем значущості.

Теорема добутку

Імовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій

Імовірність сукупної появи декількох подій, незалежних в сукупності, дорівнює дoбутку ймовірностей даних подій

Імовірність появи хоча б однієї з подій, незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею та добутком ймовірностей протилежних подій

Імовірність спільної появи двох залежних подій дорівнює добутку імовірності однієї з них на умовну імовірність іншої, вирахувану у припущенні, що перша подія вже відбулася.

Приклад

Експедиція видавництва відправила газети в три поштових відділення. Ймовірність своєчасної доставки газет в перше відділення дорівнює 0,95, у другу — 0,9, у третю — 0,8. Яка ймовірність того, що тільки одне відділення отримає газети вчасно?

Рішення:

Введемо події:

А1 = (газети доставлені вчасно в перше відділення),

А2 = (газети доставлені вчасно у друге відділення),

А3 = (газети доставлені вчасно у третє відділення),

За умовою P (A1) = 0,95; P (A2) = 0,9; P (A3) = 0,8.

Знайдемо ймовірність події Х = (тільки одне відділення отримає газети вчасно). Подія Х відбудеться, якщо

або газети доставлені вчасно в 1 відділення, і доставлені не вчасно в 2 і 3, або газети доставлені вчасно у 2 відділення, і доставлені не вчасно у 1 і 3, або газети доставлені вчасно в 3 відділення, і доставлені не вчасно в 2 і 1.

Таким чином,

Так як події А1, А2, А3 — незалежні, по теоремам додавання і множення

маємо:

Відповідь: 0,032.

Розділ 4. Геометрична ймовірність

Геометрична ймовірність — це поняття ймовірності, що запроваджується так: Нехай ?- деяка підмножина прямої, площини чи простору. Випадкова подія A — підмножина?. Тоді ймовірність випадкової події визначається формулою: P (A) = m (A)/m (Щ) де m (A), m (?) — довжина, площа чи об'єм множин A та? .

Використання геометричної ймовірності

Голка Бюффона: Яка ймовірність того, що голка кинута на поверхню розграфлену паралельними прямими розташованими через однакові проміжки перетне одну з цих прямих?

Парадокс Бертрана: Яке мат сподівання довжини випадково обраної хорди на одиничному колі?

Яка ймовірність того, що три випадково обрані на площині точки формують гострокутній трикутник?

Приклад 1: Парадокс Бертрана

Для деякого кола випадковим чином обирається хорда. Знайти ймовірність того, що ця хорда довша за сторони правильного трикутника, вписаного в це коло. Парадокс стверджує що ця ймовірність визначається неоднозначно в залежності від методу.

Рішення:

Метод перший Метод другий Метод третій

Метод перший

Випадковим шляхом (рівномірно) в даному крузі обирається точка. Ця випадкова точка визначає єдину хорду, серединою якої вона є. Ця хорда довша за сторони нашого вписаного правильного трикутника тоді і тільки тоді, коли її середина лежить всередині кола, вписаного в трикутник. Радіус цього кола дорівнює половині радіуса вихідного кола, отже площа його складає ¼ площі вихідного. Таким чином, ймовірність того, що випадково обрана точка лежить всередині вписаного кола, дорівнює ¼. Так що цей метод дає відповідь

Метод другий

Виходячи з міркувань симетрії, можна вважати, що одним кінцем хорди є фіксована точка на колі. Нехай цією точкою є вершина вписаного трикутника. Оберемо другий кінець випадково з рівномірним розподілом. Вершини трикутника ділять коло на три рівні дуги, і випадкова хорда довша за сторони правильного трикутника, якщо вона перетинає цей трикутник. Так що шукана ймовірність тепер дорівнює .

Третій метод

Оберемо точку випадковим чином рівномірно на радіусі кола і візьмемо хорду, яка перпендикулярна цьому радіусу і проходить через обрану точку. Тоді випадкова хорда довша за сторони вписаного правильного трикутника, якщо випадкова точка лежить на тій половині радіусу, який ближчий до центра. Виходячи з міркувань симетрії, неважливо який радіус був обраний для побудови, тому шукана ймовірність дорівнює .

Парадокс Бертрана це задача в класичному означенні ймовірності. Джозеф Бертран вперше описав її в своїй праці Calculdesprobabilites (1888) як приклад того, що ймовірність не може бути чітко означена, поки чітко не описаний механізм отримання випадковостей.

Приклад2:

Яка ймовірність Вашої зустрічі з другом, якщо ви домовилися зустрітися в певному місці, з 12.00 до 13.00 годин і чекаєте один одного протягом 5 хвилин?

Рішення:

Позначемо за х і у час приходу, 0? х, у? 60 (хвилин).У прямокутній системі координат цій умові задовольняють точки, що лежать всередині квадрата ОАВС. Друзі зустрінуться, якщо між моментами їх приходу пройде не більше 5 хвилин, тобто

y — x < 5, y >0,

x — y < 5, x > y

Цим нерівностям задовольняють точки, що лежать в областіG, окресленої червоним.

Тоді ймовірність зустрічі дорівнює відношенню площ області G і квадрата, тобто

Відповідь: 0,16.

Список використаних джерел й літератури

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятности.

О.С. Дубинчук, М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань Алгебра і початки аналізу 10−11 кл.

Турчин В.М. Теоріяймовірності. Основніпоняття, приклади, задачі.

Г. Секей Парадокси в теории вероятности и матиматической статистике.

Wikipedia.

www.matburo.ru.