Теория ігор й прийняття решений

Теорія ігор й прийняття решений.

Залежно та умовами зовнішнього середовища й ступеня інформативності особи приймає рішення (ЛПР) виробляється наступна класифікація завдань прийняття рішень: а умовах ризику; б) за умов невизначеності; в) за умов конфлікту чи протидії (активного противника).

Частина 1. Теорія корисності й терміни прийняття решений.

Глава 1. Прийняття рішень на умовах риска.

(1. Критерій очікуваного значения.

Використання критерію очікуваного значення пов’язано з бажанням максимізувати очікувану прибуток (чи мінімізувати очікувані витрати). Використання очікуваних величин припускає можливість багаторазового рішення одному й тому ж завдання, коли будуть отримані досить точні розрахункові формули. Математично враження таке: нехай Х (випадкова величина з математичним очікуванням MX і дисперсией DX. Якщо x1, x2,…, xn (значення випадкової величини (с.в.) X, то середнє арифметичне їх (вибіркове середнє) значень [pic] має дисперсию [pic]. Отже, коли n (([pic](0 і [pic](MX.

Інакше кажучи за досить великому обсязі вибірки відмінність між середнім арифметичним і математичним очікуванням котиться до нуля (так звана гранична теорема теорії ймовірності). Отже, використання критерію очікуване значення справедливе тільки у разі, коли одна і також рішення доводиться застосовувати досить багато раз. Правильно і зворотне: орієнтація на очікування буде спричинить неправильним результатам, для рішень, які треба приймати мало раз.

Приклад 1. Потрібна ухвалити рішення про тому, коли необхідно проводити профілактичний ремонт ПЕОМ, аби максимально зменшити втрати через несправності. Якщо ж ремонт буде виробляється занадто часто, видатки обслуговування будуть великими при малих втрати через випадкових поломок.

Оскільки передбачити неможливо заздалегідь, коли виникне несправність, необхідно знайти можливість, що ПЕОМ вийде з експлуатації під час часу t. У цьому полягає елемент (риска (.

Математично враження таке: ПЕОМ ремонтується індивідуально, якщо вона зупинилася через поломки. Через T інтервалів часу виконується профілактичний ремонт всіх n ПЕОМ. Необхідно визначити оптимальне значення Т, у якому мінімізуються загальні видатки ремонт несправних ПЕОМ і проведення профілактичного ремонту в розрахунку однією інтервал времени.

Нехай рt (ймовірність виходу з експлуатації однієї ПЕОМ в останній момент t, а nt (випадкова величина, рівна числу всіх поламаних ПЕОМ той самий момент. Нехай далі С1 (видатки ремонт несправної ПЕОМ і С2 (видатки профілактичний ремонт однієї машины.

Застосування критерію очікуваного значення тому випадку виправдано, якщо ПЕОМ працюють у протягом великого періоду часу. У цьому очікувані видатки один інтервал составят.

ОЗ = [pic], де M (nt) (математичне очікування числа поламаних ПЕОМ в останній момент t. Оскільки nt має биномиальное розподіл з параметрами (n, pt), то M (nt) = npt. Таким образом.

ОЗ = [pic].

Необхідні умови оптимальності T* мають вид:

ОЗ (T*-1) (ОЗ (T*),.

ОЗ (T*+1) (ОЗ (T*). Отже, починаючи з малого значення T, обчислюють ОЗ (T), коли будуть задоволені необхідні умови оптимальности.

Нехай С1 = 100; С2 = 10; n = 50. Значення pt мають вид:

| | |[pic| | |T |рt |] |ОЗ (Т) | |1 |0.05|0 |[pic] | |2 |0.07|0.05|375 | |3 |0.10|0.12|366.7 | |4 |0.13|0.22|400 | |5 |0.18|0.35|450 |.

T*(3, ОЗ (Т*) (366.7.

Отже профілактичний ремонт треба робити через T*=3 інтервалу времени.

(2. Критерій (очікуване значення (дисперсия (.

Критерій очікуваного значення можна модифікувати тож його можна буде застосувати й для рідко повторюваних ситуацій .

Якщо x (з. в. з дисперсией DX, то середнє арифметичне [pic] має дисперсию [pic], де n (число слогаемых в [pic]. Отже, якщо DX зменшується, і можливість те, що [pic] близько до MX, збільшується. Отже, доцільно запровадити критерій, у якому максимізація очікуваного значення прибутку узгоджується з мінімізацією її дисперсии.

Приклад 2. Застосуємо критерій (очікуване значення (дисперсія (для прикладу 1. І тому необхідно знайти дисперсию витрат за інтервал часу, тобто. дисперсию зТ = [pic] Т.к. nt, t =[pic] (с.в., то зТ також с.в. С.в. nt має биномиальное розподіл з M (nt) = npt і D (nt) = npt (1(pt). Следовательно,.

D (зТ) = D ([pic](=[pic] D ([pic]) =.

= [pic][pic]= [pic][pic] = n [pic] ([pic]([pic](, де С2n = const.

З прикладу 1 слід, что.

М (зТ) = М (з (Т)). Отже потрібним критерієм буде мінімум выражения.

М (з (Т)) + до D (зТ). Зауваження. Константу (до (можна як рівень не схильність до ризику, т.к. (до (визначає (ступінь можливості(дисперсії Д (зТ) по відношення до математичного очікуванню. Наприклад, якщо підприємець, особливо гостро реагує великі негативні відхилення прибутку вниз від М (з (Т)), він може вибрати (до (значно більше 1. Це саме й надає більший вагу дисперсії і призводить до вирішення, уменьшающему ймовірність великих втрат прибыли.

При до =1 отримуємо задачу.

[pic][pic] За даними із прикладу 1 можна скласти таку таблицу.

| | | |[pic]|[pic]| | |Т |pt |pt2 | | |М (з (Т))+D (з (Т| | | | | | |)) | |1 |0.05 |0.002|0 |0 |500.00 | | | |5 | | | | |2 |0.07 |0.004|0.05 |0.002|6312.50 | | | |9 | |5 | | |3 |0.10 |0.010|0.12 |0.007|6622.22 | | | |0 | |4 | | |4 |0.13 |0.016|0.22 |0.017|6731.25 | | | |9 | |4 | | |5 |0.18 |0.032|0.35 |0.034|6764.00 | | | |4 | |3 | |.

Из таблиці видно, що профілактичний ремонт треба робити протягом кожного інтервалу Т*=1.

(3. Критерій граничного уровня.

Критерій граничного рівня не в дає оптимального рішення, максимизирующего, наприклад, прибуток або минимизирующего витрати. Швидше він відповідає визначенню прийнятного способу действий.

Приклад 3. Припустимо, що обсяг попиту x в одиницю часу (інтенсивність попиту) певний товар ставиться безупинної функцією розподілу f (x). Якщо запаси в початковий момент невеликі, надалі може бути дефіцит товару. Інакше до кінця аналізованого періоду запаси нереалізованого товару можуть виявитися вельми великими. У обох випадках можливі потери.

Т.к. визначити втрати від дефіциту дуже важко, ЛПР може встановити необхідний рівень запасів в такий спосіб, щоб величина очікуваного дефіциту не перевищувала А1 одиниць, а величина очікуваних надлишків не перевищувала А2 одиниць. Інакше кажучи, нехай I (шуканий рівень запасів. Тоді очікуваний дефіцит = [pic], очікувані надлишки =[pic].

При довільному виборі А1 і А2 зазначені умови може стати суперечливими. І тут необхідно послабити одна з обмежень, щоб забезпечити допустимость.

Нехай, например,.

[pic] [pic].

Тогда.

[pic] = [pic] = 20(ln [pic]+[pic](1).

[pic] = [pic] = 20(ln [pic]+[pic](1) Застосування критерію граничного рівня призводить до неравенствам ln I ([pic] (ln 20 ([pic](1 = 1.996 ([pic].

ln I ([pic] (ln 10 ([pic](1 = 1.302 ([pic] Граничні значення А1 і А2 би мало бути обрані отже б обидва нерівності виконувалися хоча для одного значення I.

Наприклад, якщо А1 = 2 і А2 = 4, нерівності приймають вид ln I ([pic] (1.896 ln I ([pic] (1.102 Значення I має бути між 10 і 20, т.к. саме цих межах змінюється попит. З таблиці видно, що обидві умови виконуються для I, з інтервалу (13,17).

|I |10 |11 |12 |13 |14 |15 |16 |17 |18 |19 |20 | |ln I (| | | | | | | | | | | | |[pic] |1.8 |1.84|1.88|1.91|1.94|1.96|1.97|1.98|1.99|1.99|1.99| |ln I (| | | | | | | | | | | | |[pic] |1.3 |1.29|1.28|1.26|1.24|1.21|1.17|1.13|1.09|1.04|0.99|.

Любое з цих значень задовольняє умовам задачи.

Глава 2. Прийняття рішень на умовах неопределённости.

Будемо припускати, що особі, що бере рішення не протистоїть розумний противник.

Дані, необхідне прийняття рішень в умови невизначеності, зазвичай задаються у вигляді матриці, рядки якої відповідають можливим діям, а стовпчики (можливим станам системы.

Нехай, наприклад, з деякого матеріалу потрібно виготовити виріб, довговічність якого за допустимих витратах неможливо визначити. Навантаження вважаються відомими. Потрібна вирішити, які розміри повинен мати виріб з цього материала.

Варіанти рішення таковы:

Е1 (вибір розмірів із міркувань максимальної довговічності ;

Еm (вибір розмірів із міркувань мінімальної довговічності ;

Ei (проміжні решения.

Умови потребують розгляду такі :

F1 (умови, щоб забезпечити максимальної долговечность;

Fn (умови, щоб забезпечити min долговечность;

Fi (проміжні условия.

Під результатом рішення eij = е (Ei; Fj) тут можна розуміти оцінку, відповідну варіанту Ei та технічним умовам Fj і що характеризують прибуток, корисність чи надійність. Звичайно називатимемо такого результату корисністю решения.

Тоді сімейство (матриця) решений[pic] має вигляд :

| |F1 |F2 |. .|Fn | | | | |. | | |E1 |e11|e12|. .|e1n| | | | |. | | |E2 |e21|e22|. .|e2n| | | | |. | | |. .|. .. .. .. .| |. |.. .. .. .. | |Em |em1|em2|. .|emn| | | | |. | |.

Щоб дійти однозначного і за можливості найвигіднішому варіанту рішенню необхідно провести оцінну (цільову) функцію. У цьому матриця рішень [pic] зводиться одного стовпцю. Кожному варіанту Ei приписується, т.а., певний результат eir, що характеризує, загалом, всі неприємні наслідки цього заходу. Такий результат ми надалі позначати тим самим символом eir.

(1. Класичні критерії прийняття рішень .

1о. Минимаксный критерій .

Правило вибору рішення на відповідність до минимаксным критерієм (ММкритерієм) можна інтерпретувати так: матриця рішень доповнюється ще одним стовпцем з найменших результатів eir кожного рядка. Необхідно вибрати ті варіанти в рядках яких непохитно стоять найбільше значення eir цього столбца.

Обрані т.а. варіанти повністю виключають ризик. Це означає, що приймає рішення неспроможна мати справу з гіршим результатом, чому він, на що він орієнтується. Це властивість дозволяє вважати ММ-критерий одним з фундаментальных.

Застосування ММ-критерия буває виправдано, якщо, у якій приймають рішення следующая:

1o. Про можливість появи зовнішніх станів Fj щось известно;

2o. Доводиться рахуватися з появою різних зовнішніх станів Fj;

3o. Рішення реалізується лише одне раз;

4o. Необхідно виключити який би не пішли риск.

2o. Критерій Байєса (Лапласа.

Означимо через qi (можливість появи зовнішнього стану Fj.

Відповідне правило вибору можна інтерпретувати наступним чином: матриця решений[pic] доповнюється ще одним стовпцем що містить математичне очікування значень кожної з рядків. Вибираються ті варіанти, в рядках яких коштує найбільше значення eir цього столбца.

Передбачається, що ситуація, у якій приймають рішення, характеризується такими обстоятельствами:

1о. Ймовірності появи стану Fj відомий і не залежить від времени.

2о. Рішення реалізується (теоретично) нескінченно багато раз.

3о. Для малої кількості реалізацій рішення допускається певний риск.

При досить велику кількість реалізацій середнє поступово стабілізується. Тому, за повної (безкінечною) реалізації будь-якої ризик практично исключён.

Т.а. критерій Байеса-Лапласа (B-L-критерий) оптимістичніший, ніж минимаксный критерій, однак він передбачає велику інформованість і досить тривалу реализацию.

3о. Критерій Сэвиджа.

[pic].

Значимість aij можна трактувати як максимальний додатковий виграш, який, тоді як стані Fj замість варіанта Ei вибирати інший, оптимальний при цьому зовнішнього стану варіант. Значимість aij можна інтерпретувати як і втрати (штрафи) що у стані Fj при заміні оптимального йому варіанту в варіант Ei. У разі eir є максимально можливі (за всі зовнішнім станам Fj, j =[pic]) втрати у разі вибору варіанта Ei.

Відповідне критерію Сэвиджа правило вибору тепер трактується так:

1). Кожен елемент матриці рішень [pic] віднімається з найбільшого результату max eij відповідного столбца.

2). Різниці aij утворюють матрицю остатков[pic]. Ця матриця поповнюється стовпцем найбільших разностей eir. Вибирають ті варіанти, в рядках яких коштує найменше при цьому шпальти значение.

Вимоги, які пред’являються ситуації, у якій приймають рішення, збігаються з вимогою до ММ-критерию.

4о. Приклад і выводы.

З вимог, що висуваються до розглянутим критеріям можна зрозуміти, що у слідстві їх жорстких вихідних позицій, вони застосовні лише ідеалізованих практичних рішень. Що стосується, коли можлива занадто сильна ідеалізація, можна використовувати одночасно по черзі різні критерії. Після цього серед кількох варіантів ЛПР вольовим методом вибирає остаточне рішення. Такий їхній підхід дозволяє, по-перше, краще проникнути в усі внутрішні зв’язку проблеми прийняття прийняття рішень та, по-друге, послаблює вплив суб'єктивного фактора.

Приклад. Працюючи ЕОМ необхідно періодично припиняти обробку інформації та перевіряти ЕОМ на його присутність серед ній вірусів. Призупинення у фортепіанній обробці інформації призводить до певним економічним недоліків. У разі ж, якщо вірус вчасно виявлено нічого очікувати, можлива втрата і певної частини інформації, що приведе і ще до великим убыткам.

Варіанти рішення таковы:

Е1(повна проверка;

Е2(мінімальна проверка;

Е3(відмови від проверки.

ЕОМ може у наступних состояниях:

F1(вірус отсутствует;

F2(вірус є, але встиг зашкодити информацию;

F3(є файли, що потребують восстановлении.

Результати, які включають видатки пошук вірусу та її ліквідацію, а також, пов’язані з поновленням інформації мають вид:

Таблиця 1. | | | | |ММ-критерий |критерій B-L | | |F1 |F2 |F3 |eir=[pic|[pic]ei|eir =[pic]|[pic]ei| | | | | |]eij |r | |r | |E1 |-20.0|-22.0|-25.0|-25.0 |-25.0 |-22.33 | | |E2 |-14.0|-23.0|-31.0|-31.0 | |-22.67 | | |E3 |0 |-24.0|-40.0|-40.0 | |-21.33 |-21.33 |.

Відповідно до ММ-критерию слід проводити повну перевірку. Критерій Байеса-Лапласа, в припущенні, що це стану машини равновероятны.

P (Fj) = qj = 0.33, рекомендується відмовитися від перевірки. Матриця залишків при цьому прикладу і їх оцінка (у тисячах) відповідно до критерію Сэвиджа має вид:

| | | | |Критерій Сэвиджа | | |F1 |F2 |F3 |eir=[pic|[pic]ei| | | | | |]aij |r | |E1 |+20.0|0 |0 |+20.0 | | |E2 |+14.0|+1.0 |+6.0 |+14.0 |+14.0 | |E3 |0 |+2.0 |+15.0|+15.0 | |.

Приклад спеціально підібрали отже кожен критерій пропонує нове рішення. Невизначеність стану, у якому перевірка застає ЕОМ, перетворюється на неясність, якому критерію следовать.

Оскільки різні критерії пов’язані з різними умовами, у яких приймають рішення, краще всього для порівняльної оцінки рекомендації тих чи інших критеріїв отримати додаткову інформацію про ситуації. У частковості, якщо прийняте вирішення належить до сотням машин з параметрами, то рекомендується застосовувати критерій Байеса-Лапласа. Якщо ж число машин не велике, краще користуватися критеріями минимакса чи Севиджа.

(2. Похідні критерии.

1о. Критерій Гурвица.

Намагаючись зайняти найбільш врівноважену позицію, Гурвіц припустив оцінну функцію, що є десь між думками крайнього оптимізму крайнього пессимизма:

[pic]eir = (C[pic]eij + (1- З) [pic]eij (, де З (ваговій множитель.

Правило вибору відповідно до критерію Гурвіца, формується наступним чином: матриця рішень [pic] доповнюється стовпцем, що містить середнє зважене найменшого і найбільшого результатів кожної строки.

Вибираються ті варіанти, в рядках яких непохитно стоять найбільші елементи eir цього столбца.

При С=1 критерій Гурвіца перетворюється на ММ-критерий. При З = 0 він перетворюється на критерій (азартного игрока (.

[pic]eir = [pic][pic]eij, тобто. ми стаємо на думку азартного гравця, що робить ставку те, що «випаде» найвигідніший случай.

У технічних додатках складно вибрати ваговій множник З, т.к. важко знайти кількісну характеристику тим часткою оптимізму песимізму, що є після ухвалення рішення. Тому найчастіше З := ½.

Критерій Гурвіца застосовується у разі, коли: 1) про ймовірності появи стану Fj нічого невідомо; 2) з її появою стану Fj необхідно вважатися; 3) реалізується лише невелика кількість рішень; 4) допускається певний риск.

2о. Критерій Ходжа (Лемана.

Цей критерій спирається одночасно на ММ-критерий і критерій БаесаЛапласа. З допомогою параметра (виражається ступінь довіри до використовуваному розподілів ймовірностей. Якщо довіру велике, то домінує критерій Баеса-Лапласа, інакше (ММ-критерий, тобто. ми ищем.

[pic]eir = [pic](([pic] + (1-() [pic]eir (, 0 (((1.

[pic].

Правило вибору, відповідне критерію Ходжа-Лемана формується так: матриця рішень [pic] доповнюється стовпцем, складеною з середніх зважених (із ((const) математичне очікуваннями і найменшого результату кожного рядка (*). Відбираються ті варіанти рішень на рядках якого стоїть набольшее значення цієї столбца.

При (= 1 критерій Ходжа-Лемана перетворюється на критерій Байеса-Лапласа, а при (= 0 стає минимаксным.

Вибір (суб'єктивний т. до. Ступінь достовірності будь-якої функції розподілу (справа тёмное.

Для застосування критерію Ходжа-Лемана бажано, щоб в якої приймають рішення, задовольняла властивостями: 1) ймовірності появи стану Fj невідомі, та деякі припущення розподілі ймовірностей можливі; 2) своє рішення теоретично допускає нескінченно багато реалізацій; 3) при малих числах реалізації допускається певний риск.

3о. Критерій Гермейера.

Цей критерій орієнтовано величину втрат, тобто. на негативні значення всіх eij. При этом.

[pic]eir = [pic][pic]eij qj. Т.к. у завданнях переважно починають працювати з цінами та витратами, умова eij (0 зазвичай виконується. У разі, коли у величин eij трапляються й дещо позитивні значення, можна можливість перейти до суворо негативним значенням з допомогою перетворення eij — a при підходящому чином підібраному a (0. У цьому оптимальний варіант вирішення даної залежить від а.

Правило вибору відповідно до критерію Гермейера формулюється наступним чином: матриця рішень [pic]дополняется ще одним стовпцем що містить у кожному рядку найменше твір наявного у ній результату на ймовірність відповідного стану Fj. Вибираються ті варіанти в рядках яких міститься найбільше значення eij цього столбца.

Певною мірою критерій Гермейера узагальнює ММ-критерий: у разі рівномірного розподілу qj = [pic], j =[pic], вони стають идентичными.

Умови його застосовності такі :

1) ймовірності появи стану Fj неизвестны;

2) з приходом тих чи інших станів, окремо чи комплексі, необхідно считаться;

3) допускається певний риск;

4) рішення може реалізуватися чи кілька раз.

Якщо функція розподілу відома невідь що надійно, а числа реалізації малі, то, слідуючи критерію Гермейера, отримують, власне кажучи, невиправдано великий риск.

4о. BL (MM) — критерий.

Прагнення критерії, котрі краще від пристосовувалися до наявної ситуації, чим це досі розглянуті, призвело до побудові про складових критеріїв. Як приклад розглянемо критерій, отриманий шляхом поєднання критеріїв Байеса-Лапласа і минимакса.

Правило вибору цього критерію формулюється так: матриця рішень [pic] доповнюється трьома стовпчиками. У першому їх записуються математичні очікування кожної з рядків, у другому — різницю між опорним значением.

[pic] і найменшим значением.

[pic] відповідного рядка. У третьому стовпці поміщаються різниці між найбільшим значением.

[pic] кожного рядка і найбільшим значенням [pic] тієї рядки, у якій перебуває значення [pic]. Вибираються ті варіанти, рядки которых.

(за дотримання наведених нижче співвідношень між елементами другого і третього шпальт) дають найбільше математичне очікування. Як-от, відповідне значение.

[pic] з другого шпальти має бути одно деякому заздалегідь заданому рівню ризику [pic]. А значення з третього шпальти має перевищувати значення з другого столбца.

Застосування цього критерію зумовлюється такими ознаками ситуації, в якої приймається решение:

1) ймовірності появи станів Fj невідомі, проте є деяка завжди апріорна інформація на користь якогось певного распределения;

2) необхідно рахуватися з появою різних станів як у окремішності, і у комплексе;

3) допускається обмежений риск;

4) своє рішення реалізується одного разу чи многократно.

BL (MM)-критерий добре пристосований для побудови практичних рішень насамперед у області техніки і можна вважати досить надійним. Проте задані кордону ризику [pic] і, оцінок ризику [pic] не враховує ні число застосування рішення, ні іншу цю інформацію. Вплив суб'єктивного чинника хоч і ослаблене, але цілком можливо полностью.

Условие.

[pic] істотно у випадках, коли рішення реалізується лише одне чи мала кількість раз. У умовах недостатньо поступово переорієнтовуватися під ризик, пов’язаний тільки з невигідними зовнішніми станами, і середніми значеннями. Через це, щоправда, можна понести деякі втрати у вдалих зовнішніх станах. При великому числі реалізацій це основна умова перестає бути такою важливим. Вона навіть допускає розумні альтернативи. У цьому не відомо, проте, чітких кількісних вказівок, у випадках ця умова було б опускать.

5о. Критерій произведений.

[pic]eir: = [pic][pic]eij Правило вибору цьому випадку формулюється так :

Матриця рішень [pic] доповнюється новим стовпцем, що містить твори усіх результатів кожного рядка. Вибираються ті варіанти, в рядках розташовані найбільші значення цього столбца.

Застосування цього критерію зумовлюється такими обставинами :

1) ймовірності появи стану Fj неизвестны;

2) з її появою кожного з станів Fj окремо необхідно считаться;

3) критерій прийнятний і при малому числі реалізацій решения;

4) певний ризик допускается.

Критерій творів пристосований насамперед для випадків, коли все eij позитивні. Якщо умова позитивності порушується, слід виконувати певний зрушення eij + і з деякою константою, а (([pic]eij (. Результат цьому буде, природно залежати від а. Насправді найчастіше, а := ([pic]eij (+1.

Якщо ж ніяка константа може бути визнана має сенс, то критерій творів не применим.

5о. Пример.

Розглянемо хоча б приклад (табл. 1).

Побудова оптимального рішення матриці рішень про перевірки по критерію Гурвіца має вигляд (при З =0.5, в 103):

|[pic] | |(1-С)[pic]|eir |[pic]e| | |С[pic]e|eij | |ir | | |ij | | | | |-20.0|-22.0|-25.0|-12.5 |-10.0 |-22.5| | |-14.0|-23.0|-31.0|-15.5 |-7.0 |-22.5| | |0 |-24.0|-40.0|-20.0 |0 |-20.0|-20.0 |.

У цьому прикладі у рішення є поворотна точка щодо вагового множника З: до З = 0.57 як оптимального вибирається Е3, а на великих значеннях (Е1.

Застосування критерію Ходжа-Лемана (q = 0.33, (= 0.5, в 103) :

|[pic] |[pic]ei|([pic] |(1-()[pic|eir |[pic]ei| | |j | |]eij | |r | |-22.33 |-25.0 |-11.17 |-12.5 |-23.67 |-23.67 | |-22.67 |-31.0 |-11.34 |-15.5 |-26.84 | | |-21.33 |-40.0 |-10.67 |-20.0 |-30.76 | |.

Критерій Ходжа-Лемана рекомендує варіант Е1 (повна перевірка) (як і як і ММ-критерий. Зміна рекомендованого варіанта відбувається за (= 0.94. Тому рівномірний розподіл станів аналізованої машини має розпізнаватися з дуже високою ймовірністю, що його можна було вибрати по більшого математичного очікуванню. У цьому число реалізацій рішення завжди залишається произвольным.

Критерій Гермейера при qj = 0.33 дає наступний результат (в [pic]):

|[pic] |[pic] |eir |[pic]e| | | |=[pic]eij|ir | | | |qj | | |-20.0|-22.0|-25.0|-6.67|-7.33|-8.33|-8.33 |-8.33 | |-14.0|-23.0|-31.0|-4.67|-7.67|-10.3|-10.33 | | | | | | | |3 | | | |0 |-24.0|-40.0|0 |-8.0 |-13.3|-13.33 | | | | | | | |3 | | |.

Як оптимального вибирається варіант Е1. Порівняння варіантів з допомогою величин eir показує, що єдиний спосіб дії критерію Гермейера є навіть більше гнучким, ніж в ММ-критерия.

У таблиці, наведеної нижче, рішення вибирається відповідно до BL (MM) — критерієм при q1=q2=q3=½ (дані в 103).

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic]|[pic] | |-20.|-22.|-25.|-23.33 |0 |-20.0|0 | |0 |0 |0 | | | | | |-14.|-23.|-31.|-22.67 |+6.0 |-14.0|+6.0 | |0 |0 |0 | | | | | |0 |-24.|-40.|-21.33 |+15.0 |0 |+20.0 | | |0 |0 | | | | |.

Варіант Е3 (відмови від перевірки) приймається цим критерієм тільки тоді ми, коли ризик наближається до [pic]. Інакше оптимальним виявляється Е1. Багато технічних і місцевих господарських завданнях припустимий ризик буває набагато нижчі, становлячи зазвичай лише незначний відсоток загальних витрат. У разі буває особливо цінно, якщо неточне значення розподілу ймовірностей позначається невідь що сильно. Якщо за цьому виявляється неможливим встановити припустимий ризик [pic]заранее, не залежно від прийнятого рішення, то допомогти може обчислення очікуваного ризику [pic]. Тоді стає можливим подумати, виправданий чи такий ризик. Таке дослідження зазвичай дається легче.

Результати застосування критерію твори при, а = 41(103 і а = 200(103 мають вигляд :

| |[pic] |eir |[pic]e| | | |=[pic]e|ir | | | |ij | | | |+21 |+19 |+16 |6384 |6384 | |а=41 |+27 |+18 |+10 |4860 | | | |+41 |+17 |+1 |697 | | | |+180 |+178 |+175 |5607 | | |а=200|+186 |+177 |+169 |5563 | | | |+200 |+176 |+160 |5632 |5632 |.

Умова eij (0 для даної матриці не реально. Тому до елементам матриці додається (по зовнішньому сваволі) спочатку, а = 41(103, та був, а = 200(103.

Для, а = 41(103 оптимальним виявляється варіант Е1, а, а = 200(103 (варіант Е3, отже залежність оптимального варіанта від, а очевидна.