Допомога у написанні освітніх робіт...
Допоможемо швидко та з гарантією якості!

Застосування степеневих рядів (реферат)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

У тому випадку, коли (x 0) треба знайти з наперед заданою точністю, то, оцінюючи залишок ряду, визначають число членів частинної суми (по можливості якомога менше), яке гарантує таку точність. Для х = ½ визначимо число п таке, щоб похибка наближеної рівності не перевищувала 105. Для цього використаємо знайдену вище оцінку і запишемо нерівність r n (1 2) 1 n ! 2 n 1 2 n + 1 — 1 2 = 1 n ! 2 n 1… Читати ще >

Застосування степеневих рядів (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Реферат Застосування степеневих рядів.

1. Обчислення значень функції.

Якщо функцію f (х) можна розвинути у ряд Тейлора і точка x0 належить його області збіжності, то для обчислення наближеного значення функції у точці х0 залишають перших п членів, а останні відкидають, тобто, якщо.

( x ) = n = 0 a n ( x - a ) n .

і x0 належить області збіжності цього ряду, то приймають.

( x 0 ) k = 0 n a k ( x 0 - a ) k .

Оцінка похибки такого наближення, тобто оцінка.

| ( x 0 ) - k = 0 n a k ( x 0 - a ) k | .

зводиться до оцінки модуля суми відкинутих членів ряду, т обто до оцінки залишку ряду | r n ( x 0 ) | = | k = n + 1 n a k ( x 0 - a ) k | .

Якщо ряд k = n + 1 a k ( x 0 - a ) k знакосталий, то його, як правило, порівнюють з геометричною прогресією. Якщо він знакопереміжний, то використовують оцінку | r n ( x 0 ) | <= | a n + 1 ( x 0 - a ) n + 1 | . І, нарешті, у загальному випадку оцінюють залишковий член формули Тейлора.

У тому випадку, коли ( x 0 ) треба знайти з наперед заданою точністю, то, оцінюючи залишок ряду, визначають число членів частинної суми (по можливості якомога менше), яке гарантує таку точність.

Приклад 1.

Обчислити e 1 / 2 з точністю до 105.

Розв’язування.

Використаємо розклад у ряд Маклорена функції e x : e x = n = 0 x n n ! Тоді для x ( 0 - n + 1 ) .

e x - k = 0 x k k ! = r n ( x ) = k = n + 1 x k k ! = x n n ! ( x n + 1 + x 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) + x 3 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) = . . . ) x n n ! [ x n + 1 + ( x n + 1 ) 2 ++ ( x n + 1 ) 3 . . . ] = x n n ! x n n + 1 1 - x n + 1 = x n n ! x n + 1 - x .

Для х = ½ визначимо число п таке, щоб похибка наближеної рівності не перевищувала 105. Для цього використаємо знайдену вище оцінку і запишемо нерівність r n ( 1 2 ) 1 n ! 2 n 1 2 n + 1 - 1 2 = 1 n ! 2 n 1 2 n + 1 10 - 5 .

зав’язавши її, одержимо, що r n ( 1 2 ) 10 - 5 для n=6. Отже e 1 / 2 k = 0 n ( 1 / 2 ) k k ! = k = 0 n 1 k ! 2 k .

Приклад 2.

Обчислити sin 18° з точністю до 10−5.

Розв’язування.

Використаємо розклад у ряд функції у = sin x. Маємо:

sin 18 0 = sin 10 = 1 1 ! 10 - 1 3 ! 3 10 3 + 1 5 ! 5 10 5 - . . . . .

Одержаний ряд є знакопереміжним рядом, отже, залишок ряду не перевищує за абсолютною величиною першого з відкинутих членів ряду. Оскільки | R 3 | 1 7 ! 7 10 7 10 - 5 досить взяти 3 члени розкладу. Тому sin 18 0 = sin 10 = 1 3 ! 3 10 3 + 1 5 ! 5 10 5 = 10 ( 1 - 2 3 ! 10 2 + 1 5 ! 10 4 ) 0, 31 416 ( 1 - 0, 9 870 6 + 0, 974 120 ) = 0, 30 902 .

2. Обчислення границь та наближене обчислення інтегралів.

Приклад 3.

Знайти 2 e x - 2 - 2 x - x 2 x - sin x .

Розв’язування.

Скориставшись розвиненнями функцій sinx та еx у степеневі ряди, одержимо:

lim x -> 0 2 e x - 2 - 2 x - x 2 x - sin x = lim x -> 0 2 ( 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . ) - 2 - 2 x - x 2 x 3 ( 1 3 ! - x 2 5 ! + . . . ) = lim x -> 0 2 ( x 3 3 ! + x 4 4 ! = . . . ) x 3 ( x 3 3 ! - x 5 5 ! + . . . ) = lim x -> 0 x 3 2 ( 1 3 ! + x 4 ! = . . . ) x 3 ( 1 3 ! - x 2 5 ! + . . . ) = 2 1 3 ! 1 3 ! = 2 .

Приклад 4.

Обчислити 0 2 sin x x dx з точністю до Ю" 3.

Розв’язування.

Функція f ( x ) = { sin x x , 1 x ( 0 - 2 ] x = 0 є неперервною на відрізку [0−2], отже, інтегрована на ньому. Проте її первісну не можна подати у скінченному вигляді через елементарні функції. Разом з тим, використавши розклад у ряд функції sinx, одержимо:

0 2 sin x x dx = 0 2 x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + . . . ( - 1 ) n x 2 + 1 ( 2 n + 1 ) ! + . . . x dx = 0 2 ( 1 - x 2 3 ! + x 4 5 ! . . . ) dx = [ x - x 3 3 3 ! + x 5 5 5 ! - x 7 7 7 ! + . . . = ( - 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ! + . . . ] 0 2 2 - 4 9 + 4 75 - 8 2205 2 - 0, 4444 - 0, 0036 = 1, 605 Число членів ряду, що гарантує задану точність, ми визначили з нерівності.

2 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n + 1 ) 10 - 5 .

Розвинувши функції в ряд Маклорена, знайти границі таких виразів:

1. lim x -> 0 1 - cos x e x - 1 - x .

2. lim x -> 0 arctgx - x x 3 .

3. lim x -> 0 2 + cos x x 3 sin x - 3 x 4 .

4. lim x -> 0 ( 2 tgx - sin x ) - x 3 x 5 .

5. lim x -> 0 ( e x 2 - cos x x 2 ) .

6. lim x -> 0 ( ctg 2 x - 1 x 2 ) .

7. lim x -> 0 ( x - x 3 1 n ( 1 + 1 x ) ) .

8. lim x -> 0 ( 1 x 2 1 - ctgx x ) .

9. lim x -> 0 ( sin x 2 - cos x 2 cos x ) .

.

Користуючись рядом Маклорена, обчислити з точністю :

.

Показати весь текст
Заповнити форму поточною роботою