Застосування степеневих рядів (реферат)
У тому випадку, коли (x 0) треба знайти з наперед заданою точністю, то, оцінюючи залишок ряду, визначають число членів частинної суми (по можливості якомога менше), яке гарантує таку точність. Для х = ½ визначимо число п таке, щоб похибка наближеної рівності не перевищувала 105. Для цього використаємо знайдену вище оцінку і запишемо нерівність r n (1 2) 1 n ! 2 n 1 2 n + 1 — 1 2 = 1 n ! 2 n 1… Читати ще >
Застосування степеневих рядів (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Реферат Застосування степеневих рядів.
1. Обчислення значень функції.
Якщо функцію f (х) можна розвинути у ряд Тейлора і точка x0 належить його області збіжності, то для обчислення наближеного значення функції у точці х0 залишають перших п членів, а останні відкидають, тобто, якщо.
.
і x0 належить області збіжності цього ряду, то приймають.
.
Оцінка похибки такого наближення, тобто оцінка.
.
зводиться до оцінки модуля суми відкинутих членів ряду, т обто до оцінки залишку ряду .
Якщо ряд знакосталий, то його, як правило, порівнюють з геометричною прогресією. Якщо він знакопереміжний, то використовують оцінку . І, нарешті, у загальному випадку оцінюють залишковий член формули Тейлора.
У тому випадку, коли треба знайти з наперед заданою точністю, то, оцінюючи залишок ряду, визначають число членів частинної суми (по можливості якомога менше), яке гарантує таку точність.
Приклад 1.
Обчислити з точністю до 105.
Розв’язування.
Використаємо розклад у ряд Маклорена функції : Тоді для .
.
Для х = ½ визначимо число п таке, щоб похибка наближеної рівності не перевищувала 105. Для цього використаємо знайдену вище оцінку і запишемо нерівність .
зав’язавши її, одержимо, що для n=6. Отже .
Приклад 2.
Обчислити sin 18° з точністю до 10−5.
Розв’язування.
Використаємо розклад у ряд функції у = sin x. Маємо:
.
Одержаний ряд є знакопереміжним рядом, отже, залишок ряду не перевищує за абсолютною величиною першого з відкинутих членів ряду. Оскільки досить взяти 3 члени розкладу. Тому .
2. Обчислення границь та наближене обчислення інтегралів.
Приклад 3.
Знайти .
Розв’язування.
Скориставшись розвиненнями функцій sinx та еx у степеневі ряди, одержимо:
.
Приклад 4.
Обчислити з точністю до Ю" 3.
Розв’язування.
Функція є неперервною на відрізку [0−2], отже, інтегрована на ньому. Проте її первісну не можна подати у скінченному вигляді через елементарні функції. Разом з тим, використавши розклад у ряд функції sinx, одержимо:
Число членів ряду, що гарантує задану точність, ми визначили з нерівності.
.
Розвинувши функції в ряд Маклорена, знайти границі таких виразів:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
.