Подъем інваріантів класичних груп

Подъем інваріантів класичних групп

А.Н. Зубков, Омський державний педагогічний університет, кафедра алгебри.

Пусть G проста алгебраїчна група однієї з трьох класичних типів — B, З, D, над алгебраїчно замкнутим полем K довільній характеристики. Група G=G (n) канонічно вкладена в GL (n) для підходящого n [8]. Розглянемо діагональне дію групи G на — m примірниках простору матриць M (n) сполученнями. Виникає цікаве завдання — описати кільце інваріантів In, m=K[M (n)m]G (n). У запропонованій роботі доведуть, що відбувається природний эпиморфизм , який индуцирован канонічним відображенням , де тоді й тільки тоді, коли , чи (для симплектического випадку визначення інше, тут зануляются все елементи поза «центрального «-блоку). На інших місцях відображення тотожний.

Все необхідні дані про модулях із хорошою фільтрацією (коротко модулі з ХФ), можна знайти у [5].

Мы використовуватимемо ідею докази теореми 2 з [5]. Нехай .

Cлучай B, D. Ми будемо припускати, що . Підхожим зусиллям змінюючи базис, ми можемо вважати, що . Понад те, оскільки дію сполученнями, можна думати навіть, що .

Пара аффинных G-многообразий (G — довільна редуктивная група) називається хорошою, якщо K[W] і IV — Gмодулі з ХФ. Тут IV — це ідеал . Нехай W=M (n), V= C (A)=CG (A), де . Наше завдання зараз — показати, що І що — хороша пара.

Нетрудно перевірити, що g-1Ag = En + (a-1)(xij), де xij = g1ig1j, g=(gij), En — одинична матриця. Означимо через M (n)r безліч матриць рангу , а ще через P. S — підпростір симетричних матриць в M (n).

Лемма 1. Клас сполученості V збігаються з , де T — це безліч всіх матриць, які відповідають умовам .

Обозначим безліч через L.

Доказательство. Легко перевірити безпосередньо, що M (n)1 збігаються з безліччю матриць виду (xiyj), де незалежно пробігають все вектори з n-мерного векторного простору E (n). Нехай і в . Тоді xiyj = yixj. Знайдуться xi0 і yj0 нерівні нулю, адже . Тоді з xi0yj0 = yi0xj0 слід, що . Далі, якщо xi =0, тоді xi0yi= yi0xi =0, тобто yi=0 і навпаки. Інакше кажучи, xi =0 тоді й тільки тоді, коли yi =0. Понад те, для ненульових коефіцієнтів ставлення xi/yi є константою. Означимо її t. Переходячи до параметрами xi «=t-½xi=yi «=t½yi, можна припустити, що xi=yi всім і. Підставляючи в рівняння що визначають T і використовуючи те, що , ми матимемо, що . Добудуємо cистему вже з вектора x до ортонормированного базису простору E (n) і розташуємо вектори цього базису стовпчиками (причому x — перший) в матриці g. Зрозуміло, що , і g-1Ag = En + (a-1)z. Отже, . Протилежне включення очевидно.

Поскольку , ми можемо скористатися леммой 1 () [7] і укласти, що , якщо доведемо, що нормальне розмаїття. Cдвиг і множення на (ненульовий) скаляр — гомеоморфизмы, тому досить показати, що нормально L. Нехай Sn — одинична сфера в E (n). З сказаного вище ясно, що відображення з Sn в L за правилом є домінантним. Зокрема, маємо вкладення . Образ цього вкладення породжена елементами xixj. Алгебра має градуировку , де R0 — підпростір, натягнуте на мономы четной ступеня, а R1 — нечетной. Елемент однорідний щодо цієї градуировки, тому «успадковує «градуировку R. Будемо позначати її тими самими символами. Зауважимо ще, що K[L]=R0. Ранг якобиана дорівнює 1 по крайнього заходу на , і . За критерієм Серра ([6] , теорема 5.8.6), K[Sn] нормально (). Нехай тепер — цілий над R0. Оскільки , то і . Отже, , тобто , звідки z1=0.

Согласно пропозиції 6.7 [2], щоб довести, що ( ототожнюється з , де ZG (A) — централизатор елемента A, досить перевірити, що диференціал сюръективен. Проте . Використовуючи формалізм з подвійними числами [8], маємо: . Таким чином, . Отже, що образ має таку ж розмірність n-1. Отже, . Зазначимо ще задля її подальшого, що ZG (A) складається з матриць, які мають правий «нижній «-кут — це довільна матриця з G (n-1), а першому стовпці і першою рядку скрізь стоять нулі, крім початку, де коефіцієнт дорівнює .

По тим самим міркувань, як і вище, залишилося показати, що (M (n), L) — хороша пара. Відповідно до лемме 1.3(a) [4], можна розгледіти «вежу «і перевірити кожен «стрибок ». Розглянемо спочатку . Ми маємо коммутативную (все морфизмы G-эквивариантны) діаграму:

де вертикальні стрілки — це включення. Переходячи до координатным алгебрам, ми матимемо «дуальну «діаграму:

.

В першої діаграмі горизонтальні стрілки — G-доминантные морфизмы, тому під другий — вкладення. Отже, що можна ототожнити з (в прийнятих вище позначеннях). Тут I — ідеал, породжений елементом f. З тих самих градуировочных міркувань ясно, що . Залишилося відзначити, що f G-инвариант і, отже, G-модуль ізоморфний R0. Те, що R0 з ХФ, ітиме речей, що — хороша пара.

Пусть тепер за правилом . Зрозуміло, що -эквивариантное відображення, де K* = GL (1) рухається за правилу . Нагадаємо, що відображення G-многообразий називається факторным, якщо сюръективно і . Добре відомо, що K*-факторное відображення [4]. Означимо через . Покажемо, що (U, B) — хороша пара. Функтор обмеження переводить GL (n)-модули з ХФ в G-модули з ХФ. Алгебра ізоморфна як -модуль (Kl — це одновимірний K*-модуль із l). Відомо, що GL (n)-модуль Sk (E (n)) з ХФ [9]. По теоремі Донкина-Матье, K[U] -модуль з ХФ. Зауважимо, що досить доводити наявність ХФ лише стосовно G. Уявімо алгебру K[U] як . Ототожнення іде за рахунок правилу , де — стандартний базис E (n), а f1, f2 — E (2). Cогласно [1], має -фільтрацію з чинниками , де — функтор Шура, пробіга все розбивки з . Неважко помітити, що ідеал, породжений xiyj-xjyi, збігаються з тією частиною фільтрації, де . Оскільки без крутіння [3], то . Зокрема, IB з ХФ як G-модуль, отже, як і -модуль. У результаті різноманіття U, B, Z задовольняють умовам пропозиції 1.4(a) з [4]. А це що означає зокрема, що — хороша пара. Залишилося помітити, що (M (n), M (n)1) — хороша GL (n)-пара по [4]. Відповідно до сказаного вище, це теж хороша G-пара. Зокрема, хорошою G-парой буде , як і потрібно.

Случай З. Тут доказ аналогічно ортогональному випадку. Ми лише коротенько повторимо основні моменти, вказавши на відміну від розглянутої вище. Матриця A залишається тієї ж самої. У цьому у елементів групи ZG (A) перші заступники та останні рядки — і стовпчики нульові, крім елементів на діагоналі, які взаємно обратны і пробігають K*. З іншого боку, «серединний «-квадрат лежить в G (n-2)=Spn-2(K). Далі, легко перевірити, що клас сполученості C (A) збігаються з En + (a-1)L, де . Зокрема, вона вже замкнутий. Перевірка те, що ототожнюється з факторным цілком аналогічна. Тут , образ Lie (G) складається з матриць тієї самої виду, що у ортогональном разі, лише коефіцієнти першого рядка чудово і першого шпальти неможливо пов’язані одне з одним і тому розмірність образу теж дорівнює 2n-2. Нарешті, (M (n), L) — очевидно хороша пара. Досить розглянути вежу і використовувати те, що tr (x)-1 — G-инвариант! Зауважимо ще, що у симплектическом разі характеристика поля довільна.

Пусть тепер G — будь-яка група типу B, D, З. Дослівно повторюючи доказ теореми 2 з [5], ми матимемо эпиморфизм , індукований (інших загальних матрицях відображення тотожний). Розбивши матриці з M (n) на блоки в відповідність до блоковим «будовою «групи ZG (A), бачимо, що простір M (n) ізоморфно (оскільки ZG (A)-многообразие) в ортогональном разі і в симплектическом. Тут K і K4 тривіальні модулі, але в En-1 (відповідно на En-2) ZG (A) діє і як G (n-1) (G (n-2)) з точністю до множення на скаляр. Отже, що канонічне відображення (), дасть эпиморфизм (). Нехай Rn, m — Q-алгебра, породжена слідами від будь-яких творів загальних матриць, чи транспонированных до них (у разі З — симплектически транспонированных).

Лемма 2. Суперпозиція описаних вище відбиття — це і далі - канонічне інших матрицях.

Доказательство. На жаль, розміри статті, допустимі у цьому журналі, неможливо нам привести повне доказ. Тому просто відзначимо тут, що In, m породжується елементами з Після цього твердження леми очевидно, адже твір матриці A на матриці Xi (n), у яких прирівняні нулю коефіцієнти лівого верхнього «кута «(чи «облямівки «у разі З), дає хоча б результат, як і твір одиничної матриці.

В силу зробленого вище зауваження про що породжують In, m спеціалізація відображає In, m+1 в In, m. Звідси вже легко виходить основна теорема.

Теорема. Канонічне відображення алгебри K[M (n)m] в K[M (n-1)m] ( у разі З) індукує эпиморфизм кілець інваріантів.

Список литературы.

Akin K., Buchsbaum D.A., Weyman J. Shur functors and Shur complexes// Adv. in Math. Vol.44. P.207−278 (1982).

Борель А. Лінійні алгебраїчні групи. M.: Світ., 1972.

De Concini З., Procesi З. A characteristic free approach to invariant theory// Adv. in Math. 1976. Vol.21. P. 330−354.

Donkin P. S. The normality of conjugacy classes of matrices// Inv. Math., Vol.101. P.717−736 (1990).

Donkin P. S. Invariants of several matrices// Invent. Math. Vol.110. P.389−401 (1993).

Grotendick A., Dieudonne J. Elements de geometrie algebriques// Inst. Hautes Etudes Sci.Publ.Math. 4. 1960;1967.

Grosshans F. Observable subgroups and Hilbert «p.s fourteenth problem// Am.J. Math. 95. P.229−253 (1973).

Humphreys J.E. Linear algebraic groups/ Springer Verlag. 1975.

Zubkov A.N. Endomorphisms of tensor products of exterior powers and Procesi hypothesis// Commun. in Algebra. 22(15). 6385−6399 (1994).

Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.