Диференційне рівняння

Запровадження. Дослідження поведінки різних систем (технічні, економічні, екологічні та інших.) часто призводить до аналізові досягнень і рішенню рівнянь, які включають як параметри системи, і швидкості зміни, аналітичним вираженням яких є похідні. Такі рівняння, містять похідні, називаються диференціальними. Розглянемо наступний приклад із галузі рекламного справи. При організації продажу нового товару торговим підприємствам найчастіше доводиться вдаватися до послуг реклами. А, щоб вона була успішної та сучасної, треба зазначити закон поширення інформації про новому товарі серед його потенційних покупців. Знайдемо вид зазначеної закономірності при наступних припущеннях щодо аналізованого процесу. Нехай N — загальна кількість потенційних покупців нового товару, x (t) — число покупців, знають на момент часу t про вступ на продаж нового товару, [N-x (t)] - число покупців ще мають інформації про товарі. Припустимо, що про товарі поширюється серед покупців у вигляді їх спілкування між собою. Вважатимемо, що протягом досить малого проміжку часу можлива зустріч лише двох покупців, і ймовірність на цю зустріч вважаємо рівної P. Можливість те, що при зустрічі покупець, знає про товарі, зустрітися ще з покупцем, ще що має інформації про товарі, дорівнює (N-x)/N. Тоді швидкість зміни величини x (t) в останній момент t дорівнює px (N-x)/N систематичного очікуванню числа покупців вперше які дізналися про товарі. Отже, отримуємо рівняння [pic] чи [pic]. Дане рівняння містить величину x і його похідну [pic], тобто. є диференційним. Вирішуючи отримане рівняння, знайдемо вид залежності величини x від t: [pic], де параметр A підбирається, з умови x=x0 в певний момент t=t0. Наприклад, якщо t=0 величина x (0)=(N ((- частка покупців, які мають інформацією щодо товарі до початку аналізованого процесу), то [pic]. На рис. 1 показаний графік шуканої функції x=x (t). У фундаменті економічної літературі графік відомий як логістична крива. Зазначимо, що логістична крива дає також представлення про судовий процес поширення технологічних нововведень, епідемій і навіть чуток. Як другого прикладу розглянемо завдання подання у вигляді рівняння однопараметрического сімейства кривих, які мають деяким загальним властивістю. Нехай однопараметрическое сімейство кривих задається рівнянням Ф (X, Y, C)=0, де З — параметр. Складемо диференціальний рівняння, яке описує загальне властивість властиве всім кривим даного сімейства. Припустимо, що окрема крива сімейства заданих функцій y=f (x, c). Тоді підставляючи їх у загальне рівняння сімейства отримуємо тотожність [pic]. Припускаючи дифференцируемость функції Ф (X, Y, C) і дифференцируя Ф (x, f (x, c), c) по x, отримуємо [pic]. Розглядаючи останнє разом із рівнянням Ф (x, y, c)=0, тобто. розглядаючи систему [pic], і виключаючи у ній параметр З, внаслідок одержимо диференціальної рівняння [pic], яке описує властивість властиве всім кривим сімейства. Наприклад, нехай сімейство кривих представляє сімейство гіпербол xy=c. Дифференцируя дане рівняння по x, отримуємо [pic]. Бо за цьому автоматично сталося виняток параметра з, то останнє рівняння, будучи диференційним, представляє сімейство вищевказаних гипербол.

1. Основні поняття й універсального визначення. Визначення. Рівняння, що пов’язує функцію y, її аргумент x і його похідні, називається звичайним диференційним рівнянням. Звичайне диференціальний рівняння символічно можна записати як [pic] чи [pic]. Визначення. Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідною, що входить у рівняння. Наприклад: А) [pic]является диференційним рівнянням 1-го порядку; Б) [pic]является диференційним рівнянням 2-го порядку; У) [pic]является диференційним рівнянням n-го порядку. Визначення. Рішенням диференціального рівняння називається всяка функція y=f (x), яка, будучи підставлена в рівняння, звертає їх у тотожність. Наприклад, нехай дано диференціальної рівняння [pic]. Тоді будь-яка функція виду y=c1sinx+c2cosx, де c1, c2 — довільні постійні, розв’язує цього рівняння. Справді, дифференцируя рівняння y=c1sinx+c2cosx двічі по x отримуємо [pic]. Підставляючи висловлювання для [pic] і y у ліві частина вихідного диференціального рівняння отримуємо [pic]. Процес рішення диференціального рівняння називають інтегруванням. Тому саме рішення називають ще інтегралом рівняння. Зазвичай, диференціальному рівнянню відповідає безліч рішень (дивіться вищенаведений приклад), поставлених сімейством функцій y=f (x, c) в явному вигляді чи Ф (x, y, c)=0 в неявному вигляді. У цих рівняннях с-параметр сімейства. Таких параметрів, власне кажучи, може бути кілька. У випадку звичайному диференціальному рівнянню n-го порядку [pic] відповідає сімейство рішень, містять n параметрів. Визначення. Спільним рішенням диференціального рівняння n-го порядку називається функція y=f (x, c1, c2, …, cn), що залежить від аргументу x і n довільних постійних c1, c2, …, cn, яка будучи підставлена в рівняння звертає їх у тотожність. Зазначимо, що цю функцію може задаватися і неявним чином, тоді вона представляється рівнянням Ф (x, y, c1, c2, …, cn)=0. Загальне рішення диференціального рівняння називається також загальним інтегралом. Аби з загального рівняння виділити деяке конкретне приватне рішення диференціального рівняння, що необхідно дати значення для параметрів c1, c2, …, cn. Зазвичай значення цих довільних постійних c1, c2, …, cn визначаються завданням початкових умов: y (x0)=y0, [pic]. Ці початкові умови дають відповідно n рівнянь [pic], [pic], [pic], … [pic], вирішуючи які щодо c1, c2, …, cn знаходять значення цих постійних. Наприклад, для диференціального рівняння 1-го порядку [pic]общее рішення має вигляд y=f (x, c). Тоді початкова умова y (x0)=y0 виділяє окремо від всього сімейства інтегральних кривих криву, яка стелиться через точку M (x0,y0). 2. Геометрична інтерпретація. Геометричне уявлення рішення диференціального рівняння розглянемо з прикладу рівняння 1-го порядку виду [pic]. У площині введемо декартову систему координат з осями x і y. Кожній точці M (x, y) площині поставимо у відповідність вектор [pic], відкладений від точки M. Отже диференціальний рівняння [pic] породжує у площині XOY полі напрямів (природно, вказане полі існує лише у області визначення функції f (x, y)). Тоді рішенням диференціального рівняння буде така крива, що у кожній точці стосується вектора поля спрямовуючої. Справді, нехай y=h (x) рівняння зазначеної вище кривою. Тоді, у кожної точці кривою дотична до неї має направление[pic], де (- кут нахилу дотичній до осі x. З [pic] (умова торкання кривою з вектором [pic]) і рівності абсцис векторів [pic] і [pic]вытекает тотожність [pic], выполняющееся в точках кривою y=h (x). Останнє означає, що y=h (x) розв’язує рівняння [pic]. І назад, якщо y=h (x) рішення диференціального рівняння [pic], то [pic]. Останнє співвідношення означає, у кожному точці кривою y=h (x) напрям її дотичній [pic] збігаються з вектором [pic] поля напрямів, тобто. в кожній фазі крива y=h (x) стосується вектора[pic] поля напрямів. Як ілюстрацію візьмемо рівняння [pic]. Для побудови поля напрямів зручно використовувати метод изоклин. Изоклина це лінія у кожному точці якої вектор [pic] поля напрямів однаковий. Отже, изоклины даються рівнянням f (x, y)=(, і «кожної точці изоклины відповідає вектор [pic]. Для аналізованого диференціального рівняння изоклины задаються рівнянням [pic] чи y=-(x. Як бачимо, изоклинами є прямі, які відбуваються через точку початку координат. На рис. 2 зображені изоклины відповідальні значенням [pic], рисками зображені напрями векторів [pic] в изоклин. З рис. 2 видно, що інтегральні криві рівняння нагадують гіперболи. Справді, як буде показано нижче, спільне рішення аналізованого диференціального рівняння має вигляд yx=c, тобто. задає сімейство гіпербол. Параметрами c>0 відповідають гіперболи I і III координатних вузлів, значенням з Розносячи перемінні врізнобіч, записуємо рівняння як [pic]. Інтегрування лівої і правої частин рівняння, дає спільне рішення виду [pic], де стала узята як lnc, c>0. Далі нескладно перетворити дане рівняння до виду [pic] чи [pic], де стала [pic] не має обмежень на знак. Як бачимо вийшло сімейство гіпербол. Нехай з цього сімейства інтегральних кривих (гіпербол) необхідно виділити криву (рішення) яка стелиться через точку M (1,1), тобто. виділити рішення, що задовольнить початковому умові y (1)=1. І тому на загальне рішення рівняння підставимо значення x=1, y=1, і знайдемо, відповідальна шуканої кривою, значення постійної [pic]. Вочевидь, це значення одно [pic]. Отже, дані приватне рішення визначається рівнянням Yx=1 чи [pic]. Приклад 3. Розглянемо рівняння [pic], наведене в параграфі 3. Дозволяючи його щодо y/, отримуємо два рівняння y/=1 і y/=-1 чи [pic] і [pic]. Обидва є із перемінними і наводяться до виду dy=dx і dx=- dx. Інтегрування лівих і правих частин рівнянь дає такі їх як загальні рішення y=x+c і y=-x+c. Приклад 4. Наступним рівнянням візьмемо уарвнение [pic] з прикладу в параграфі 4. Дозволяючи його щодо y/ отримуємо [pic] чи [pic]. Поділяючи перемінні маємо [pic]. Знайдемо інтеграли від лівої і правої частин рівняння: [pic]. [pic]. Прирівнюючи інтеграли і замінюючи дві постійних однією отримуємо наступний вид загального сценічного рішення рівняння [pic]. Споруджуючи в квадрат обидві частини даного рівняння, отримуємо остаточний вид загального сценічного рішення (x-c)2+y2=1. Приклад 5. Вирішити диференціальний рівняння [pic], Знайти його приватне рішення у умови [pic]. Дозволяючи рівняння щодо y/, бачимо, що є рівнянням з роздільними перемінними [pic]. Розносячи перемінні з різних боків рівняння отримуємо [pic]. Інтегруючи кожну з двох частин цього рівняння, отримуємо таке загальне рішення вихідного диференціального рівняння [pic] чи [pic]. Використовуючи початкова умова [pic], визначаємо значення константи з для шуканого приватного рішення [pic]. Дані приватне рішення дається рівнянням [pic]. 6. Однорідне диференціальний рівняння першого порядку. Функція f (x, y) називається однорідної ступеня m, якщо [pic]. Функція f (x, y) називається однорідної нульової ступеня, якщо [pic]. Наприклад, функція [pic] є однорідної другого ступеня. Справді, [pic]. Функція [pic] однорідна нульової ступеня, оскільки [pic]. Будь-яка однорідна функція нульової ступеня то, можливо представленій у вигляді функції від відносини y/x (чи добросусідські відносини x/y). Справді, нехай f (x, y) — однорідна функція нульової ступеня, тоді, взявши у ролі [pic], маємо [pic], де [pic] може розглядатися як функція відносини y/x, тобто. [pic]. Визначення. Диференціальний рівняння першого порядку F (x, y, y/)=0, називається однорідним, коли вона то, можливо представлено як y/=f (x, y) чи [pic]., де f (x, y) — однорідна функція нульової ступеня. Рішення однорідної диференціального рівняння зводиться до вирішення рівняння із перемінними заміною y/x=u чи y=ux, де uфункція від x. Підставляючи у початковий рівняння [pic] і [pic], отримуємо рівняння виду [pic] чи [pic], є із перемінними. Якщо u=g (x, c) чи Ф (x, u, c)=0 є його загальним рішенням, то y=xg (x, c) чи Ф (x, y/x, c)=0 буде загальним рішенням вихідного рівняння. Приклад 1. Розглядається рівняння (x2-y2)dx+2xydy=0. Перепишемо його вигляді [pic]. Праворуч стоїть функція однорідна нульової ступеня. Справді, [pic]. Отже, перетворене рівняння є однорідним диференційним рівнянням. Вирішуємо його заміною y=ux. Отримуємо [pic] чи [pic], тобто. [pic]. Поділяючи перемінні дійшли рівнянню [pic]. Інтегруємо ліву праву частини цієї рівняння: [pic]. Прирівнюючи знайдені інтеграли, отримуємо спільне рішення допоміжного диференціального рівняння щодо змінних x і u [pic] чи [pic], де c>0. Потенциируя останнє вираз, рішення отримує вид [pic], де з — довільна стала. Замінюючи u=y/x, отримуємо загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння [pic] чи y2+x2=cx, Останнє вираз наводиться до виду [pic]. Отже, сімейством інтегральних кривих вихідного рівняння є сімейство окружностей з центрами в точках [pic], лежачих на осі x, і радіусами [pic]. Вочевидь, всі ці окружності стосуються осі y у точці початку координат. На рис. 6 зображено сімейство цих окружностей. Приклад 2. Потрібна знайти приватне рішення рівняння [pic], Які Відповідають початковому умові y (1)=0. Неважко бачити (переконатися), якого праворуч стоїть однорідна функція нульової ступеня. Отже, вихідне диференціальний рівняння є однорідним. Виконуючи заміну y=ux, наводимо його до виду [pic] чи [pic]. Поділяємо перемінні, отримуємо [pic]. Інтегруючи обидві частини цієї рівняння, отримуємо спільне рішення допоміжного диференціального рівняння [pic] чи [pic]. Підставимо до нього [pic] й одержимо [pic]. Логарифмируя обидві частини цієї рівняння отримуємо [pic] і далі [pic]. Останнє співвідношення дає рішення вихідного диференціального рівняння. Щоб знайти приватне рішення, скористаємося початковими умовами x=1,y=0. Підставимо їх на загальне рішення [pic], звідси [pic] і [pic]. Отже, дані приватне рішення має вигляд [pic]. 7. Лінійне диференціальний рівняння першого порядку. Визначення. Лінійним диференційним рівнянням першого порядку називається рівняння виду y/+g (x)y=h (x). Така назва йому дано у зв’язку з тим, що стосовно змінних y і y/ можна розглядати як лінійне. Якщо [pic], то рівняння приймає простий вид y/=h (x), і зводиться до віднайденню невизначеного інтеграла [pic]. Його рішення тоді має вид [pic]. Якщо [pic], то рівняння називається однорідним лінійним. Воно набуває вид [pic], як і неважко бачити, зводиться до вирішення рівняння з роздільними перемінними [pic][pic] і далі [pic]. Його спільне рішення має вигляд [pic], де [pic] - деяка первообразная для функції g (x). Припустимо тепер, що [pic], функції g (x) і h (x) є безперервними. Нехай y=f (x, c) — дані спільне рішення лінійного диференціального рівняння. Уявімо вихідне рівняння як [pic], і підставимо в вираз, що стоїть у квадратних дужках, [pic], тобто. хіба що вважаючи загалом рішенні [pic]. Тоді вищенаведене рівняння набуде вигляду [pic], будучи лінійним однорідним диференційним рівнянням (у ньому замість y узята для зручності змінна z, ніж виникло плутанини рішень цього рівняння з вихідним). Загальне рішення цього рівняння, як зазначалось раніше, то, можливо представлено як [pic], де A — довільна стала. Вочевидь, [pic] є суто приватною рішенням, і, отже, то, можливо отримано попри деякий значенні [pic], тобто. [pic]. Якщо тепер позбутися умови фіксування постійної [pic], то отримуємо, що спільне рішення вихідного рівняння має вигляд [pic]. У ньому другий множник функція [pic] є, як неважко бачити, приватним рішенням при c=1 однорідної лінійного рівняння [pic]. Перший множник функція [pic] представляє рішення диференціального рівняння u/v (x)=h (x). Справді, підставляючи до цього рівняння u/x (x, c), отримуємо тотожність [pic] [pic]. Отже, показано, що це спільне рішення лінійного диференціального рівняння [pic] Звісно ж як y=u (x, c) v (x), де v (x) — приватне рішення однорідної рівняння [pic], вирішувалася при c=1, u (x, c) — рішення рівняння u/v (x)=h (x). Неважко бачити, що у обох випадках доводиться вирішувати рівняння з роздільними перемінними. Зауважимо, хоча під час вирішення однорідної рівняння [pic] зважали приватне рішення V (x) однорідної рівняння v/+g (x)v=0, Що Є рівнянням із перемінними. З другого краю етапі визначається рішення u (x, c) диференціального рівняння u/v (x)=h (x), Також що є рівнянням із перемінними. Після їхнього рішень рішення вихідного лінійного рівняння представляється як Y=u (x, c) v (x). Приклад 1. Вирішити рівняння Y/+2y=sinx. Спочатку вирішуємо однорідне рівняння v/+2v=0. З нього отримуємо [pic] чи [pic]. Інтегруючи його ліву праву частини, отримуємо його загальний інтеграл (рішення) виду [pic]. Вважаючи у ньому c=0 і потенциируя його, отримуємо таке його нетривиальное приватне рішення [pic]. Далі вирішуємо рівняння виду [pic] чи [pic]. Розносячи перемінні у частини рівняння і інтегруючи їх, отримуємо загальне рішення цього рівняння [pic]. Обчислимо інтеграл: [pic] [pic]. Розглядаючи дане рівняння, як рівняння щодо інтеграла, знаходимо його вид [pic]. Отже, [pic]. Тоді спільне рішення вихідного рівняння буде [pic]. Припустимо тепер, що потрібно виділити приватне рішення, що відбувається через точку M (0,0), тобто. рішення, що задовольнить початковому умові y (0)=0. І тому підставимо значення x=0, y=0 на загальне рішення і знайдемо відповідне значення постійної з: [pic], звідси [pic]. Потрібним приватним рішенням є [pic]. Приклад 2. Вирішити рівняння [pic], що є лінійним диференційним рівнянням. У першому етапі знайдемо рішення відповідного лінійного однорідної рівняння [pic], чи [pic]. Поділяючи перемінні з різних боків рівняння, маємо [pic]. Інтегруючи обидві частини даного рівняння, отримуємо таке його приватне рішення [pic]. З другого краю етапі вирішуємо рівняння виду [pic]. Роблячи заміну [pic], скорочуючи обидві частини рівняння на [pic] і поділяючи перемінні, маємо du=x2dx. Інтегруючи праву і ліву частини рівняння, отримуємо його спільне рішення [pic]. Загальне рішення вихідного диференціального рівняння має вигляд [pic]. 8. Диференціальний рівняння першого ладу у повних дифференциалах. Визначення. Нехай диференціальний рівняння першого порядку представлено як M (x, y) dx+N (x, y) dx=0, Де M (x, y) і N (x, y) — функції двох змінних x і y. Тоді, якщо ліва частина рівняння є повний диференціал деякою функції U (x, y), тобто. dU (x, y)=M (x, y) dx+N (x, y) dy, то таке рівняння називається рівнянням в повних дифференциалах. Рівняння в повних дифференциалах коротко можна як dU (x, y)=0, тож загальний інтеграл (рішення) такого рівняння має вигляд U (x, y)=0. Диференціальний рівняння подібного типу виникає, коли поведінка системи підпорядковане умові збереження деякою величини U (энергии, маси, вартості тощо.). Зазначимо наступний ознака, дозволяє визначити чи є аналізованих рівняння рівнянням в повних дифференциалах. Путьс dU (x, y)=M (x, y) dx+N (x, y) dy, тоді функції M (x, y) і N (x, y) би мало бути для U (x, y) приватними похідними першого порядку, відповідно, по змінним x і y, тобто. [pic]. Припускаючи функції M (x, y) і N (x, y) безперервними і мають безперервні приватні похідні, відповідно, по y і x, тобто. виконання співвідношень [pic], з тотожності [pic] отримуємо, що з M (x, y) і N (x, y) мало виконуватися умова [pic]. Отримане умова не тільки необхідною, а й для здобуття права рівняння M (x, y) dx+N (x, y) dy=0 Було рівнянням в повних дифференциалах. Перебування загального сценічного рішення рівняння в повних дифференциалах проводиться в два етапу. У першому етапі функція U (x, y) сприймається як функція лише аргументу x, змінна y отримує хіба що фіксований значення [pic]. Тоді співвідношенню [pic] ставлять у відповідність диференціальний рівняння [pic]. Нехай його спільне рішення представляється як [pic]. Та оскільки рішення рівняння залежить від y, то загальному рішенні стала з є функцією y, тобто. c=h (y). Отже, спільне рішення попереднього диференціального рівняння, знімаючи із y умова закріплення його значення, має вигляд U (x, y)=g (x, y)+h (y). З другого краю етапі перебуває вид функції h (y). І тому звернімося співвідношенню [pic], у якому вже закріплюється хіба що значення перемінної x. Використовуючи дане співвідношення й посвідку функції U (x, y), отримуємо диференціальний рівняння, що пов’язує перемінні h і y: [pic] чи [pic]. Інтегруючи це рівняння, знаходимо його рішення [pic]. З [pic], отримуємо остаточний вид функції U (x, y), саме [pic] чи [pic]. У цьому подвійному интеграле замість [pic] можна взяти функцію [pic] (т.к. [pic]). Тоді функція U (x, y) отримує вид [pic]. Оскільки спільне рішення вихідного диференціального рівняння записується в вигляді U (x, y)=c=const, то, замінюючи дві постійних однією, отримуємо наступний вид загального сценічного рішення рівняння [pic] чи [pic]. Приклад 1. Дано диференціальний рівняння (6x2y2+6xy-1)dx+(4x3y+3x2y+2y)dy=0. У ньому M (x, y)=6x2y2+6xy-1, N (x, y)=4x3y+3x2y+2y. З [pic] і тотожності [pic], Слід, що це рівняння є рівнянням в повних дифференциалах. Проведемо його прийняти рішення удвічі етапу. У першому вирішуємо рівняння [pic] чи dU=(6x2y2+6xy-1)dx, у якому змінна y вважається закріпленої. Інтегруючи це рівняння, отримуємо U (x, y)=2x3y2+3x2y-x+h (y). З другого краю етапі визначаємо вид функції h (y), використовуючи при цьому співвідношення [pic] і диференціальний рівняння для h і y 4x3y+3×2+h/(y)=4x3y+3×2+2y чи [pic]. Інтегруючи останнє, отримуємо h=y2+c. Загальний інтеграл вихідного рівняння можна буде записати як 2x3y2+3x2y-x+y2=c. Приклад 2. Знайти рішення рівняння 2xsinydx+(3y2+x2cosy)dy=0. Перевіряємо, чи є воно рівнянням в повних дифференциалах? І тому з M (x, y)=2xsiny, N (x, y)=3y2+x2cosy Знаходимо [pic]. Оскільки, очевидно, виконується умова [pic], то рівняння є рівняння в повних дифференциалах. Спочатку вирішуємо рівняння [pic] чи dU=2xsinydx, вважаючи y постійної. Інтегрування рівняння дає U (x, y)=x2siny+h (y). Потім знаходимо функцію h (y), використовуючи співвідношення [pic], з одного боку, і [pic], з іншого боку. Співвідношення призводять до диференціальному рівнянню [pic] чи [pic]. Інтегруючи останнє рівняння, отримуємо h=y3+c. Тоді загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння записується в вигляді X2siny+y3+c=0. Далі розглянемо поняття інтегруючого множника. Раніше зазначалося, що рівняння в повних дифференциалах виникає, коли поведінка системи зберігає деяку величину U, тобто. задовольняє співвідношенню U (x, y)=c. Диференційним аналогом його рівняння dU (x, y)=0 чи M (x, y) dx+N (x, y) dy=0, Де [pic]. Припустимо тепер, приватні похідні функції U (x, y) представимы в вигляді [pic]. Тоді співвідношенню U (x, y)=e відповідатиме рівняння в повних дифференциалах виду M (x, y) g (x, y) dx+N (x, y) g (x, y) dy=0. Якщо тепер дане рівняння розділити спільний множник доданків g (x, y), одержимо рівняння M (x, y) dx+N (x, y) dy=0. Рішення останнього рівняння еквівалентно рішенню попереднього, з яких він отриманий, проте може не бути рівнянням в повних дифференциалах, також і нього можна буде [pic]. У той самий час після множення його за множник g (x, y), вона стає рівнянням в повних дифференциалах. Визначення. Функція g (x, y) називається інтегруючим множником диференціального рівняння M (x, y) dx+N (x, y) dy=0, Якщо після множення його за цю функцію вона стає рівнянням в повних дифференциалах. Цей спосіб розв’язання диференціального рівняння називається методом інтегруючого множника. Знайдемо умова, котрого має підпорядковуватися інтегруючий множник g (x, y). З пропозиції, що рівняння M (x, y) g (x, y) dx+N (x, y) g (x, y) dy=0 Стає рівнянням в повних дифференциалах слід виконання умови [pic]. Разверернув ліву праву частини цієї тотожності [pic], укладаємо, що функція g (x, y) має бути рішенням рівняння [pic]. У випадку рішення даного рівняння наштовхується на труднощі. Зазначимо два випадку, що його рішення стає простіше. Випадок перший. Нехай [pic]. Тоді інтегруючий множник можна шукати як функції залежної лише від x. Справді, нехай g=g (x). Тоді, у виду [pic]; отримуємо, що бажана функція g (x) розв’язує диференціального рівняння [pic] чи [pic], інтегруючи яке, знаходимо [pic], тобто. [pic]. Другий слуяай належить до аналогічній ситуації, коли [pic]. Тоді інтегруючий множник шукається як функції тільки від y, тобто. g=g (y). Аналогічно попередньому, неважко бачити, що функція g (y) є рішенням рівняння [pic] і як [pic]. Приклад 3. Дано рівняння (y2−3xy-2×2)dx+(xy-x2)dy=0. З M (x, y)=y2−3xy-2×2, N (x, y)=xy-x2, [pic], [pic] слід [pic], тобто. рівняння перестав бути в повних дифференциалах. Проте з співвідношення [pic] випливає, що знайти такий інтегруючий множник g=g (x), після множення який вихідне рівняння стає рівнянням в повних дифференциалах. Зазначений множник знаходимо з рівняння [pic], інтегруючи яке отримуємо [pic], чи g=xc. Позаяк у ролі множника досить взяти жодну з функцій, то між іншим c=1 і, тоді, g=x. Примножуючи вихідне рівняння на множник g=x, отримуємо (xy2−3x2y-2×3)dx+(x2y-x3)dy=0, що є вже рівнянням в повних дифференциалах. Інтегруючи його, знаходимо [pic], [pic], потім із U/y=x2y-x3+h/(x) і U/y=N (x, y)=x2y-x3 отримуємо x2y-x3+h/=x2y-x3, тобто. [pic] і, отже, h=c=const. Отже, спільне рішення має вигляд [pic]. Приклад 4. Потрібна вирішити рівняння (2xy2-y)dx+(y2+x+y)dy=0. З M (x, y)=2xy2-y, N (x, y)=y2+x+y, [pic] слід [pic]. Проте з співвідношення [pic], випливає, що з вихідного диференціального рівняння існує інтегруючий множник g=g (y), з допомогою якого рівняння стає рівнянням в повних дифференциалах. Інтегруючий множник перебуває з рівняння [pic]. Інтегруючи його, отримуємо [pic]. Примножуючи вихідне рівняння на множник [pic], дійшли рівнянню [pic]. Це рівняння вже є рівнянням в повних дифференциалах. Вирішуємо його [pic], [pic], потім із [pic] і [pic], отримуємо [pic] чи [pic]. Інтегруючи останнє рівняння, маємо [pic]. Отже, загальний інтеграл вихідного рівняння має вигляд [pic]. 9. Диференціальні рівняння другого порядку. Звичайне диференціальний рівняння другого порядку має наступний загальний вигляд F (x, y, y/, y//)=0 чи [pic]. Наше ознайомлення з диференціальними рівняннями другого порядку буде обмежена розглядом лінійного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Визначення. Лінійним диференційним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами називається рівняння виду y//+py/+qy=h (x), де p і q — числа, h (x) — деяка функція від x. Якщо цього рівнянні [pic], воно називається однорідним лінійним диференційним рівнянням другого порядку. Розглянемо рішення однорідної рівняння [pic]. Цьому явища може висунути у відповідність квадратне рівняння виду [pic], Зване характеристичним. Його корни[pic], як відомо, визначаються формулами [pic]. Можливі такі три випадку про людське око коренів [pic] цього рівняння: 1) коріння рівняння — справжні й різні; 2) коріння — справжні і рівні; 3) коріння рівняння — комплексно-сопряженные. До кожного з цих випадків однорідне диференціальний рівняння має власний вид загального інтеграла. Випадок 1. Дискриминант характеристичного рівняння позитивний, тобто. p2- 4q>0. Тоді обидва кореня [pic] справжні й різні. І тут загальне рішення однорідної рівняння має вигляд [pic], де c1, c2 — довільні постійні. Справді, якщо [pic], то [pic], [pic]. Підставляючи висловлювання для y, y/ і y// в рівняння одержимо [pic] [pic]. Випадок 2. Дискриминант характеристичного квадратного рівняння дорівнює нулю, тобто p2−4q=0. Тоді обидва кореня [pic] справжні й однакові, тобто. [pic]. І тут спільне рішення однорідної рівняння має вигляд [pic]. Випадок 3. Дискриминант характеристичного квадратного рівняння негативний, тобто. p2−4q.