Додаткові умови збіжності числових рядів

КУРСОВА РОБОТА з математичного аналізу на тему: «ДОДАТКОВІ УМОВИ ЗБІЖНОСТІ ЧИСЛОВИХ РЯДІВ»

ЗМІСТ ВСТУП

1. Загальні поняття про числові ряди

2. Ознака збіжності Куммера

3. Дослідження ознаки збіжності Раабе

4. Ознака збіжності Бертрана

5. Дослідження ознаки збіжності Гаусса

6. Застосування ознаки Діріхле для знакозмінних рядів ВИСНОВКИ СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Дана курсова робота складається з вступу, шести параграфів, висновків і списку використаних джерел. Перший параграф присвячено загальним поняттям та основним властивостям числових рядів. У другому параграфі розглядається ознака збіжності Куммера, наводиться теорема з доведенням та ознака Куммера у граничній формі, параграф проілюстрований прикладом. У третьому параграфі наведено теорему Раабе та ознаку Раабе у граничній формі, наведено два приклади на застосування цієї ознаки. У четвертому параграфі проаналізована ознака збіжності Бертрана і наведена у граничній формі. У п’ятому параграфі розглядається ознака збіжності Гаусса, наводиться Теорема з доведенням. Шостий параграф присвячений ознаці збіжності Діріхле, наведена теорема з доведенням та наслідок з теореми (ознака збіжності Абеля), ознака проілюстрована прикладом.

В роботі самостійно розв’язані приклади методом Куммера та методом Раабе.

У курсовій роботі прийнята подвійна нумерація формул, де перше число відповідає номеру параграфа, а друге — номеру формули в даному параграфі.

Числа в квадратних дужках — це посилання на використану літературу, перше число — це порядковий номеру джерела у списку використаних джерел, список яких наведено наприкінці роботи, друге число — це сторінка на якій знаходиться матеріал.

Важливе місце в курсі математичного аналізу посідають числові ряди (знакододатні та знакозмінні) та зокрема їх дослідження на збіжність. Цими питаннями займалися багато вчених, найвідоміші ознаки збіжності мають ім'я таких вчених, як Жана Лерона Даламбера та Огюстена Луі Коші. Але це не єдині ознаки збіжності які існують, є ще багато вчених, які сформулювали та довели теореми про збіжність рядів, зокрема, Йоганн Карл Фрідрих Гаусс, Йозеф Людвиг Раабе, Петер Густав Лежен Діріхле, Эрнст Эдуард Куммер, Артур Уільям Рассел Бертран.

Йоганн Карл Фрідрих Гаусс (30.04.1777 — 23.02.1855) — німецький математик, астроном і фізик, вважається одним з найвидатніших математиків всіх часів, «королем математиків». Гаусс дослідів питання про збіжність нескінченних рядів, які він пов’язав з вивченням так званого гіпергеометричного ряду («Про гіпергеометричній ряд», 1812). Головне значення цього ряду полягає в тому, що він містить як окремі випадки багато з відомих трансцендентних функцій, що мають широке застосування. Ці дослідження Гаусса разом з працями Коші і Абеля, які ґрунтуються на дослідженнях Гаусса, сприяли значному розвитку загальної теорії рядів.

Петер Густав Лежен Діріхле (13.02.1805 — 05.05.1859) — німецький математик. Зробив ряд великих відкриттів в теорії чисел: встановив формули для числа класів бінарних квадратичних форм із заданим визначником і довів теорему про нескінченність кількості простих чисел в арифметичній прогресії з цілих чисел, перший член і різницю якої взаємно прості. До вирішення цих завдань застосував аналітичні функції, названі функціями (рядами) Діріхле. У галузі математичного аналізу вперше точно сформулював і дослідив поняття умовної збіжності ряду, дав доведення можливості розкладання в ряд Фур'є кусково-неперервної і монотонної функцій, що послужило обґрунтуванням для багатьох подальших досліджень.

Эрнст Эдуард Куммер (29.01.1810 — 14.05.1893) — німецький математик, найбільш значні праці відносяться до алгебри і теорії чисел. Куммер вніс внесок в математичний аналіз, теорію алгебраїчних чисел, геометрію, теоретичну механіку. В аналізі він продовжив роботи Гауса по гіпергеометричних рядах. Його ім'я носить відомий ознака збіжності.

Широка, практична і неодноразово застосовувалася в ході курсу математичного аналізу — ознака збіжності Даламбера є недостатньо чутливою. Вона, взята у своїй неграничні формі, в принципі не здатна виявляти збіжність ряду, якщо. Перехід до неграничної форми цієї ознаки незначно підвищує її чутливість. Дуже чутлива ознака Маклорена-Коші виявляється, навпаки, недостатньо практичною. Теоретично цікаво і практично корисно ввести у вжиток ознаки збіжності рядів настільки ж або майже настільки ж практичні, як і ознака Даламбера, але істотно більш чутливі. Тому тема курсової роботи э актуальною.

1. Загальні поняття про числові ряди Означення. Функція, визначена на множині всіх натуральних чисел, називається числовою послідовністю. 1, 21]

Нехай маємо числову послідовність Складемо з членів цієї послідовності символ або .(1.1)

Саме його ми і будемо називати числовим рядом, а числа — членами цього ряду. Довільний аботий член ряду називається загальним членом. Без додаткових угод символ (1.1) не має ніякого математичного змісту, оскільки поняття суми є означеним тільки для скінченої кількості доданків. Надамо символу (1.1) математичного змісту так, щоб суми скінченої кількості чисел розглядалися як частинний випадок ряду (1.1) і щоб це поняття було засобом розв’язування задач з математики.

Означення. Сумаперших членів ряду (1.1) де називаєтьсятою частковою сумою даного ряду (1.1).

Кожному числовому ряду можна поставити у відповідність послідовність його часткових сум (),

Означення. Якщо існує скінчена границя послідовності часткових сум, тобто то числовий ряд називається збіжним, а дану границю називають сумою ряду, при цьому записують +… або, надаючи символу (1.1) числового значення.

Означення. Якщо границя часткових сум не існує або дорівнює, то числовий ряд називається розбіжним і в цьому випадку йому не приписують ніякого числового значення. 1, 21]

Властивості числових рядів Нехай маємо числовий ряд (1.1) та числовий ряд Числовий ряд (1.2), який ми отримали з (1.1) шляхом відкидання перших членів називаєтьсятим залишком ряду (1.1). Зауважимо, що ряд (1.1) ми можемо отримати з ряду (1.2) шляхом дописування перших членів.

Якщотий залишок ряду збігається, то його суму позначимо через

1. Числовий ряд і його довільнийтий залишок водночас або збігаються або є розбіжними. У випадку збіжності .

2. Якщо числовий ряд збігається, то границя його залишку дорівнює нулю, тобто=0.

3. Числові ряди,, де — довільна стала (- водночас або збігаються або є розбіжними, причому у випадку збіжності.

4. Якщо числові ряди та збігаються, то водночас збігається і ряд, який називається сумою (різницею) двох даних рядів при цьому. Інакше, збіжні ряди можна почленно додавати та віднімати. 1, 26]

Для того щоб перевірити, чи збігається ряд або є розбіжним, можна використовувати ознаку Даламбера.

Теорема (ознака збіжності Даламбера). Нехай для знакододатнього ряду існує скінченна границя або нескінчена границя Тоді, якщо — ряд збіжний; якщо , — розбіжний. [5, 4]. Розглянемо приклад застосування .

Приклад 1. Дослідити ряд на збіжність.

Використаємо ознаку Даламбера.

Ряд збігається.

Означення. Числовий ряд називається знакозмінним, якщо знаки його членів строго чергуються. Так, числові ряд є знакозмінним.

Зауважимо, що такі ряди називають і знакопочережними. Оскільки ряд можна отримати помноживши на (-1) і при цьому збіжність або розбіжність даного ряду не зміниться. 4, 7]

Лема. Якщо послідовність монотонна (тобто незростаюча або неспадна) і

то Доведення. Виконуючи перетворення Абеля, ми маємо

(1.3)

Але з монотонності послідовності випливає, що всі різниці в (1.3) праворуч мають один і той же знак. Отже, що і потрібно було довести.

Числові ряди мають багато умов збіжності. І деякі з них я розгляну в наступних параграфах.

2. Ознака збіжності Куммера Мала чутливість ознаки збіжності Даламбера пояснюється тим, що він заснований на порівнянні досліджуваного ряду з таким різко розходяться-розбіжним поруч, як арифметична прогресія, або ж з таким швидко сходиться поруч, як геометрична прогресія. Разом з тим нам вже відомі ряди, що дуже повільно збігаються, а також і вельми повільно розбіжні ряди. Природно спробувати побудувати ознаки збіжності рядів, засновані на порівнянні їх членів з членами цих «мляво розвиваючихся» рядів. Така конструкція була запропонована Куммером.

Теорема (ознака збіжності Куммера). Хай даний розбіжний ряд

(2.1)

з позитивними членами. Якщо для ряду

(2.2),

починаючи з деякого номера ,

(2.3)

то ряд (2.2) збіжний.

Якщо ж, починаючи з деякого

(2.4)

то ряд (2.2) розбіжний. 2, 215]

Доведення. Нехай виконується співвідношення (2.3). Як нам відомо, зміна кінцевого числа членів ряду не впливає на його збіжність. Тому можна вважати, що (2.3) має місце для всіх, починаючи з. З (2.3) витікає, що

(2.5)

і тому. Значить, числа утворюють монотонно спадну послідовність додатніх чисел. Хай — є її границею.

Розглянемо ряд

(2.6),

де

Переходячи до границі при зростанні N, ми отримуємо

тобто границя, що стоїть зліва, існує і ряд (2.6) збігається. Але тоді на підставі (2.5) за першою ознакою порівняння збігається і ряд

.

Нехай тепер, навпаки, має місце (2.4). Тоді

і порівняння досліджуваного ряду, що завідомо розбіжний з рядом (2.1) за допомогою третьої ознаки порівняння дає нам його розбіжність.

Ознака Куммера (у граничній формі): Якщо дан ряд (2.2) і розбіжний ряд (2.1), то з слідує збіжність ряду (2.2), а з його розбіжність. 3, 277]

Приклад 1. Візьмемо у якості ряду (2.1) послідовність одиниць:

1 + 1 +…+ 1 + …

Тоді нерівність (2.3) перетворюється на, звідки ознакою збіжності ряду (2.2) виявляється нерівність

(2.7).

Нерівність (2.4) переписується в цьому випадку як, і ознакою розбіжності ряду (2.2) стає нерівність (2.8).

3. Дослідження ознаки збіжності Раабе Візьмемо для ознаки Куммера в якості розбіжного ряду гармонійний ряд (3.1). У цьому випадку ми маємо

.

Отримана ознака збіжності може бути сформульована таким чином.

Теорема (ознака збіжності Раабе). Ряд

збігається, якщо знайдеться таке, що

(

Цей ряд розбіжний, якщо, починаючи з деякого, буде

[2, 218].

Ознака Раабе (у граничній формі). Якщо то ряд (3.2) збіжний, а якщо

то розбіжний. [5, 4]

Порівнюючи ознаки Даламбера та Раабе, можна побачити, що остання є більш чутливішою ознакою. Дійсно, там, де ознака Даламбера, взята в граничній формі, встановлює збіжність ряду (3.2):

там ознака Раабе дає

Аналогічно для ряду, де ознака Даламбера вказує на розбіжність, то за ознакою Раабе буде:

Розглянемо приклади використання ознаки збіжності Раабе.

Приклад 1. Розглянемо ряд В цьому випадку ознаку Даламбера використовувати не можна, бо

(при)

Складемо варіанту Раабе:

Так, як то ряд розбіжний.

Приклад 2. Розглянемо ряд при

В цьому випадку ознаку Даламбера використовувати не можна, бо так що при кожному конкретному, тому застосування ознаки Даламбера тут безрезультатно. Ознака ж Раабе дає

Звідси видно, що при розглянутий ряд збігається, а при — розходиться. Зауважимо, що при перетворюється в гармонічний, який, як відомо,є розбіжний. 2, 218 — 221]

4. Ознака збіжності Бертрана

Візьмемо, наприклад, в якості такого розбіжного ряду ряд

+ ,

то ряд розбіжний (- довільне число, очевидно, що не впливає на збіжність ряду). У цьому випадку ми отримуємо ()

або, якщо виконати елементарні перетворення Посилання на ознаку Куммера дає нам нову ознаку збіжності, яка, зрозуміло, може бути сформулювана і в неграничні формі, а у граничній формі виглядає наступним чином.

Ознака Бертрана (у граничній формі). Якщо то ряд збігається, а якщо то розбігається. Для доведення достатньо зауважити, що у нашому випадку

[2, 222]

5. Дослідження ознаки збіжності Гаусса

Більш чутливим, ніж ознака збіжності Раабе, і більш практичною, ніж ознака збіжності Бертрана, є ознака збіжності Гаусса.

Теорема (ознака збіжності Гаусса). Нехай для ряда

(5.2),

відношення сусідніх членів може бути представлено у вигляді

де — сталі, а — обмежена величина.

Тоді ряд (5.2) збігається, якщо Цей ряд розбіжний, якщо

[5, 4].

Доведення. Перш за все, так що при ознака Гаусса перетворюється на ознаку Даламбера.

Далі, при

так що ознака Гаусса випливає з ознаки Раабе.

Нарешті, при та

Остання границя через обмеженість величини дорівнює нулю, і розбіжність ряду (5.2) випливає з ознаки Бертрана. 3, 279]

6. Застосування ознаки Діріхле для знакозмінних рядів

Розглянемо досить широку, практичну і чутливу ознаку збіжності знакозмінних рядів.

Теорема (ознака збіжності Діріхле). Нехай нам дано ряд числовий ряд збіжність ознака Якщо часткові суми ряд

(2)

обмежені в сукупності деякої постійної, а послідовність монотонно не зростає, та то ряд (1) збігається. 2, 230]

Доведення. Із (4) випливає, що за будь-якому знайдеться таке, що при Крім того, ми маємо для будь-якого

Покладемо в лемі з параграфа 1. Ця лема дасть нам тоді для і кожного зважаючи на (5).

чи, переходячи до границі при необмеженому зростанні, отримаємо Зважаючи на довільність вибору це означає, що ряд (1) збігається.

Наслідок (ознака збіжності Абеля). Якщо для ряду (1) послідовність (3) є монотонною і обмеженою, а ряд (2) збігається, то збігається і ряд (1). [3, 307]

Доведення.У розглянутому випадку послідовність (3) повинна мати кінцеву границю. Позначимо її через. Тоді

Із означення границі випливає, що

так що перший із (6) праворуч рядів, підпадає під умови ознаки Діріхле і тому збігається. Другий же ряд збігається за умовою. Отже, збігається і ряд (1).

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд. Скористаємося ознакою Діріхле:

1) послідовність {} зі зростанням n монотонно прямує до нуля:

прямування до нуля можна встановити за правилом Лопиталя, а для монотонності

достатньо переконатися, наприклад, що при x? 3 похідна функції f (x)=від'ємна.

2) часткові суми ряду можна оцінити однією спільною константою

.

Відповідь. Ряд збігається за ознакою Діріхле. 7]

ВИСНОВКИ

Дана курсова робота присвячена питанню числових рядів та додатковим ознакам збіжності числових рядів: ознака Куммера, ознака Раабе, ознака Бертрана, ознака Гаусса та ознака Діріхле.

Широка, практична і неодноразово застосовувалася в ході курсу математичного аналізу — ознака збіжності Даламбера є недостатньо чутливою. Вона, взята у своїй неграничні формі, в принципі не здатна виявляти збіжність ряду, якщо. Перехід до неграничної форми цієї ознаки незначно підвищує її чутливість. Дуже чутлива ознака Маклорена-Коші виявляється, навпаки, недостатньо практичною.

Порівнюючи ознаки Даламбера та ознаку Раабе, можна побачити, що остання є більш чутливою ознакою.

Нам відомі ряди, що дуже повільно збігаються, а також і вельми повільно розбіжні. Природно було спробувати побудувати ознаки збіжності рядів, засновані на порівнянні їх членів з членами цих «мляво розвиваючихся» рядів. Така конструкція була запропонована Куммером.

Чутливішою, ніж ознака Куммера, а значить практичнішою у застосуванні є ознака збіжності Бертрана.

Більш чутливою, ніж ознака збіжності Раабе, і більш практичною, ніж ознака збіжності Бертрана, є ознака збіжності Гаусса.

Для знакозмінних рядів досить широко застосовується та є чутливою — ознака збіжності Діріхле.

В даній роботі було розглянуто: загальні поняття та основним властивості числових рядів, було введено означення числової послідовності, знакозмінного ряду, часткової суми, збіжного і розбіжного числового ряду, наведені теореми з доведенням та деякі з ознак проілюстровані прикладами застосування на практиці.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Методичні матеріали щодо кредитно-модульної системи організації навчального процесу з математичного аналізу для студентів ІІ курсу фізико-математичного факультету (апробація)/Уклад.:Мартиненко О. В., Чкана Я. О. — Вид. центр СумДПУ, 2008. — 76 с.

2. Воробьев Н. Н. Теория рядов. 4 изд. перераб. и доп. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. — 1979. — 408 с. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-е, стереотипное. — М.: Наука, 1966.

3. Ильин В. А. и др. Математический анализ. Продолжения курса/ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Под ред. А. Н. Тихонова. — М.: Изд-во МГУ, 1987. — 358 с.

4. Математический аналіз в примерах и задачах, ч. 2. Ряды, функции нескольких переменных, кратне и криволинейные интегралы. Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. издательское объеденение «Вища школа», 1977. — 672с.

5. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учеб. пособие. В 3 ч. Ч. 3/А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Державец, И. Е. Юруть; Под общ. ред. А. П. Рябушко.— М.: «Высшая школа», 1991.—352 с.

6. http://webmath.exponenta.ru/dnu/d/ma/z/211.pdf — числові ряди

7. Никольский С. М. Курс математического анализа: В 2 т. — М.: Наука, 1973. — 431 с.

8. Хинчин А. Я. Краткий курс математического анализа. — М.: ГИТТЛ, 1955. — 627 с.

9. Бари Н. К. Теория рядов. — М.: Учпедгиз, 1935. — 140 с.

10. Бохан К. А., Егорова И. А., Лащенков К. В. Курс математического анализа: В 2 т. — М.: Просвещение, 1972. — Т.2. — 439 с.

11. Виленкин Н. Я., Шварцбурд С. И. Математический анализ. — М.: Просвещение, 1973. — 512 с.

12. Давидов М. О. Курс математичного аналізу: В 3 т. — К.: Вища школа, 1994. — Т.2. — 390 с.

13. Хинчли А. Я. Восем лекцій по математическому анализу. — М.: Наука, 1977. — 279 с.

14. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.:Физматгиз, 1961. — 436 с.

15. Шиманський І.Є. Математичний аналіз. — К.: Вища школа, 1972. — 632 с.