Визначення тарифів за договорами страхування життя

ВИЗНАЧЕННЯ ТАРИФІВ ЗА ДОГОВОРАМИ СТРАХУВАННЯ ЖИТТЯ Страхова виплата за договорами страхування життя здійснює­ться одноразово в розмірі страхової суми (її частини) і/або у ви­гляді послідовних виплат страхової суми (додаткове забезпечен­ня доходу застрахованої особи в разі її хвороби, досягнення нею віку, який визначено у договорі страхування, настання певних по­дій у її житті).

Страхові виплати здійснюються в разі:

• мерті застрахованої особи;

• ожиття застрахованої особи до закінчення строку дії дого­вору страхування;

• осягнення застрахованою особою пенсійного віку (страху­вання додаткової пенсії) або віку, який визначено в договорі страхування;

• астання події в житті застрахованої особи, яка обумовлена у договорі страхування (укладання шлюбу, народження дитини, вступ до навчального закладу, смерть близького родича застра­хованої особи — дружини, чоловіка, дітей, батьків).

Умови договору страхування життя можуть додатково пе­редбачати обов’язок страховика здійснити страхові виплати в разі;

• вороби застрахованої особи;

• имчасової непрацездатності застрахованої особи внаслідок нещасного випадку;

• тійкої непрацездатності (інвалідності) застрахованої особи внаслідок нещасного випадку.

Основні статистичні параметри у страхуванні життя. Нетто-тариф за договором страхування життя для кожного з наведе­них щойно страхових ризиків (страхових подій) визначають з урахуванням статистичних закономірностей страхових ризиків протягом дії договору страхування та інвестиційного доходу від розміщення страхових резервів.

Математичною моделлю випадкових процесів дожиття та смертності, непрацездатності, хвороби в разі переходу застра­хованих осіб з однієї вікової категорії в іншу є регіональні таблиці дожиття та смертності і відповідні регіональні чи се­лективні (за статтю, станом здоров’я, тривалістю непрацездат­ності або хвороби, професією, регіоном проживання тощо) статистичні таблиці страхових ризиків, що їх формують стра­ховики.

При визначенні нетто-тарифу за договором страхування життя використовують;

• егіональну або селективну таблицю дожиття та смертності;

• егіональні або селективні таблиці додаткових страхових ризиків;

• ічну ставку інвестиційного доходу і;

• аблиці комутаційних чисел для встановленої в договорі страхування річної ставки інвестиційного доходу та ймовірнос­тей відповідних страхових ризиків.

Основні параметри таблиці дожиття та смертності:

lх — кількість осіб, що дожили до віку х років (змінна х позна­чає повну кількість років застрахованої особи на час укладення договору страхування життя);

$$d_x^0$$ — кількість осіб у віці х років, які не доживуть до віку х + 1 рік, при цьому:

$$d_x^0=l_x-l_{x+1}$$.

$$q_x^0$$ — коефіцієнт смертності для особи у віці х років (Імовір­ність смерті протягом року для особи у віці х років), при цьому:

$$q_x^0=\frac{d_x^0}{l_x}$$.

$$p_x^0$$ — імовірність дожити до віку х + 1 для особи у віці х років;

$${}_t{q}_x^0$$ — імовірність смерті протягом t років для особи у віці х років;

$${}_t{p}_x^0$$

— імовірність прожити не менш ніж t років для особи у віці х років, при цьому:

.

$${}_t{p}_x^0=\frac{l_{x+t}}{l_x}$$.

звідки.

$${}_t{p}_x^0=1$$

;

$${}_t{p}_x^0=p_x^0$$

;

$$q_x^0=1-p_x^0$$.

$${}_t{p}_x^0=p_x^0{p}_{x+1}^0{p}_{x+2}^0\text{.}\text{.}\text{.}{p}_{x+t-1}^0$$ — $${}_t{q}_x^0=1-{}_t{p}_x^0$$.

При укладанні договору страхування життя, умови якого пе­редбачають страхові ризики, які щойно визначено, для кожного із цих страхових ризиків розраховують відповідні статистичні таб­лиці, розрізняючи їх за допомогою індексів (j = 0, 1, 2 …), при цьому індекс j = 0 використовують для таблиць дожиття та смерт­ності.

Основні параметри статистичних таблиць додаткових ризиків такі:

lх — кількість осіб, котрі дожили до віку х років (має дорівню­вати значенню такого самого параметра в таблиці дожиття та смертності);

$$d_x^j$$ — кількість осіб у віці х років, для яких j-та страхова подія настане протягом року (до настання віку х + 1 рік);

$${}_t{d}_x^j$$ — кількість осіб у віці х років, для яких j-та страхова подія настане протягом t років (на проміжку часу від х до х + t років);

$$q_x^j$$ — імовірність настання протягом року j-ї страхової події для особи у віці х років;

$${}_t{q}_x^j$$ — імовірність настання протягом t років j-ї страхової події для особи у віці х років, при цьому.

$${}_t{q}_x^j=\frac{{}_t{d}_x^j}{l_x}$$.

$${}_t{p}_x^j=1-{}_t{q}_x^j$$ — імовірність того, що, j-та страхова подія не на­стане протягом t років для особи у віці х років.

Розрахунки нетто-тарифів за договорами страхування життя виконують на основі статистичних таблиць страхових ризиків. При цьому для кожного страхового ризику розраховують такі комутаційні числа:

$$D_x=l_x{v}^x$$ — $$C_x=d_x^j{v}^{x+1}$$.

$$N_x=\underset{t=x}{\overset{}{}}{D}_t$$ — $$M_x=\underset{t=x}{\overset{}{}}{C}_t$$ $$$$.

$$S_x=\underset{t=x}{\overset{}{}}{N}_t$$ — $$R_x=\underset{t=x}{\overset{}{}}{M}_t$$.

де раничний згідно з таблицею смертності вік;

t — змінний індекс, що дорівнює повній кількості років з часу початку дії договору страхування життя;

v — дисконтувальний множник, який для встановленої річ­ної ставки інвестиційного доходу і визначається співвідно­шенням:

$$v=\frac{1}{1+i}$$.

Таблиця комутаційних чисел складається для всіх значень віку х та ставки і річного інвестиційного доходу, застосовуваних у розрахунках нетто-тарифу.

Страхові ануїтети. Страховий ануїтет — це послідовність страхових платежів або страхових виплат двох видів:

ануїтет пренумерандо — послідовність страхових платежів або страхових виплат, що здійснюється на початку кожного обу­мовленого періоду часу;

ануїтет постнумерандо — послідовність страхових платежів або страхових виплат, що здійснюється в кінці кожного обумов­леного періоду часу.

Річні ануїтети — це послідовність страхових платежів або страхових виплат, які здійснюються один раз на рік.

Дійсна вартість страхових ануїтетів (сподівана вартість майбутніх страхових платежів або майбутніх страхових виплат на час укладення договору страхування) визначається, як правило, в розрахунку на одну грошову одиницю річних ануїтетів постнуме­рандо. Інші можливі варіанти платежів — піврічні, щоквартальні та щомісячні страхові ануїтети як постнумерандо, так і пренуме­рандо визначаються через річні ануїтети постнумерандо.

Дійсна вартість річних страхових ануїтетів постнуме­рандо на час укладення договору страхування життя для застра­хованої особи у віці х років у загальному випадку розраховується аналітичне за формулою.

$$a(t)=\underset{t}{}b(t)v^{t}P(t)$$.

де Р (t) — імовірність настання страхової події для застрахованої особи за проміжок часу від t до t + 1 року дії договору;

значення цілого індексу t визначає порядок року в межах тер­міну дії договору страхування;

значення b (t) визначає розмір річного страхового платежу або річної страхової виплати.

Дисперсія таких ануїтетів визначається так:

$${}^2[a(t)]={}^{2}a(t)-a(t{)}^2$$.

де $${}^{2}a(t)$$ — ануїтет виду.

$${}^{2}a(t)=\underset{t}{}b(t{)}^2{v}^{2t}P(t)$$.

Дійсна вартість страхових ануїтетів постнумерандо на час укладення договору страхування життя визначається аналітичне або за допомогою комутаційних чисел з урахуванням даних ста­тистичних таблиць для кожного страхового ризику:

• при укладанні договору страхування життя без обмеження строку дії договору (довічне страхування) дійсна вартість страхо­вого ануїтету ах, який щороку сплачується в розмірі одиниця (ви­падок b (t) = 1), поки застрахована у віці х років особа жива, ви­значається ймовірністю $$P(t)={}_t{p}_x^0$$ та обчислюється за допомогою співвідношень:

$$a_x=\underset{t=1}{\overset{-x}{}}{v}^t{}_t{p}_x^0$$ або $$a_x=\frac{N_{x+1}}{D_x}$$.

• при укладанні договору страхування життя на строк п років.

дійсна вартість страхового ануїтету $$a\frac{}{x\mathrm{:}n}$$, який протягом п років.

щороку сплачується в розмірі одиниця, поки застрахована у віці х років особа жива, визначається ймовірністю $$P(t)={}_t{p}_x^0$$ розраховується за допомогою співвідношень:

$$a\frac{}{x\mathrm{:}n|}=a_x-v^n{}_n{p}_x^0{a}_{x+n}$$ або $$a\frac{}{x\mathrm{:}n|}=\frac{N_{x+1}-N_{x+n+1}}{D_x}$$.

• при укладанні договору страхування життя без обмеження строку дії договору (довічне страхування) дійсна вартість страхо­вого ануїтету (Іа)х, який сплачується в розмірі одиниця за кожний рік дії договору (випадок b (t) = t), поки застрахована у віці х років особа жива, визначається ймовірністю Р (t) = $${}_t{p}_x^0$$ та обчислюється за допомогою співвідношень:

$$(\text{Ia}{)}_x=\underset{t=1}{\overset{-x}{}}{\text{tv}}^t{}_t{p}_x^0$$ або $$(\text{Ia}{)}_x=\frac{S_{x+1}}{D_x}$$.

• ри укладанні договору страхування життя на строк п років дійсна вартість страхового ануїтету $$(\text{Ia})\frac{}{x\mathrm{:}n|}$$, який протягом п років сплачується в розмірі одиниця за кожен рік дії договору, поки застрахована у віці х років особа жива, визначається ймовірні­стю $$P(t)={}_t{p}_x^0$$ та обчислюється за допомогою співвідношень:

$$(\text{Ia})\frac{}{x\mathrm{:}n|}=(\text{Ia}{)}_x-v^n{}_t{p}_x^0[(\text{Ia}{)}_{x+n}+{\text{na}}_{x+n}]$$ або $$(\text{Ia})\frac{}{x\mathrm{:}n|}=\frac{S_{x+1}-S_{x+n+1}-{\text{nN}}_{x+n+1}}{D_x}$$.

• ри укладанні договору страхування життя без обмеження строку дії договору (довічне страхування) на випадок настання j-ї страхової події для застрахованої у віці х років особи дійсна вартість одиниці одноразової страхової виплати $${}_j{A}_x$$ визначається ймовірніс­тю $$P(t)={}_t{p}_x^0{q}_{x+t}^j$$ та розраховується за допомогою співвідношень:

$${}_j{A}_x=\underset{t=0}{\overset{-x}{}}{v}^{t+1}{}_t{p}_x^0{q}_{x+1}^j$$ або $${}_j{A}_x=\frac{M_x}{D_x}$$.

• ри укладанні договору страхування життя на строк п років на випадок настання j-ї страхової події для застрахованої у віці х років особи дійсна вартість одиниці одноразової страхової випла­ти $${}_j{A}_{\frac{}{x\mathrm{:}n|}}^1$$ визначається за допомогою співвідношень:

$${}_j{A}_{x\mathrm{:}n|}^1={}_j{A}_x-v^n{}_n{p}_x^0{}_j{A}_{x+n}$$ або $${}_j{A}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}=\frac{M_x-M_{x+n}}{D_x}$$.

Приклад. При укладанні договору страхування життя на строк п років, умови якого передбачають страхову подію «стійка непрацездатність (інвалідність) застрахованої особи внаслідок нещасного випадку», дійсна вартість одиниці одноразової стра­хової виплати $${}_{\text{ін}}{А}_{\stackrel{}{х\mathrm{:}п|}}^1$$, визначається ймовірністю $$P(t)={}_t{p}_x{q}_{x+t}^{\text{ін}}$$ та обчислюється за формулою.

$${}_{\text{ін}}{А}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}=\underset{t=0}{\overset{n-1}{}}{v}^{t+1}{}_t{p}_x^0{q}_{x+t}^{\text{ін}}$$.

де $$q_x^{\text{ін}}$$ — імовірність настання протягом року інвалідності внаслі­док нещасного випадку для застрахованої у віці х років особипри цьому випадок п = изначає дійсну вартість страхового ануїтету без обмеження терміну дії договору:

$${}_{\text{ін}}{А}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}\mathrm{}|}}={}_{\text{ін}}{А}_{х}$$.

• ри укладанні договору страхування життя, умови якого пе­редбачають страхову подію «дожиття застрахованої у віці х років особи до закінчення строку дії договору» (п — кількість років дії договору страхування), дійсна вартість одиниці страхової виплати визначається так:

$${}_n{E}_x=v^n{}_n{p}_x$$ або $$$$ $${}_n{E}_x=\frac{D_{x+n}}{D_x}$$.

При укладанні договору страхування життя, умови якого пе­редбачають страхову подію «хвороба застрахованої особи» або страхову подію «тимчасова непрацездатність застрахованої осо­би внаслідок нещасного випадку», дійсна вартість одиниці стра­хової виплати $$a_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}^{\text{np}}$$ за кожний день хвороби (непрацездатності) визначається ймовірністю.

$$P(t)={}_n{p}_x{q}_{x+t}^{\text{np}}$$.

і пропорційна до значень середньої за рік кількості М (L) днів хвороби (тимчасової непрацездатності) і середньої за рік кількос­ті М (N) захворювань для застрахованої особи та обчислюється за допомогою співвідношення.

$$a_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}^{\text{np}}=M(L)M(N)\underset{t=0}{\overset{n-1}{}}{v}^{t+\mathrm{0,5}}{}_{t}p{}_x{q}_{x+1}^{\text{np}}$$.

де $$q_x^{\text{np}}$$ — імовірність настання протягом року хвороби (тимчасо­вої непрацездатності) для застрахованої у віці х років особи. При цьому випадок n = изначає дійсну вартість страхового ануїте­ту без обмеження терміну дії договору.

$$a_{\stackrel{}{x\mathrm{:}\mathrm{}|}}=a_x^{\text{np}}$$.

Дійсна вартість страхових ануїтетів пренумерандо (по­значення з двома крапками над виразом) у розрахунку на одну грошову одиницю річних платежів або виплат визначається ана­літичне або за допомогою комутаційних чисел через дійсну вар­тість відповідних ануїтетів постнумерандо (позначення без кра­пок над виразом) таким чином:

$${\mathrm{"\; a}}_x=1+a_x$$ або $${\mathrm{"\; a}}_x=\frac{N_x}{D_x}$$.

$${\mathrm{"\; a}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}=\mathrm{"\; a}-v^n{}_n{p}_x{\mathrm{"\; a}}_{x+n}$$ або $${\mathrm{"\; a}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}=\frac{N_x-N_{x+n}}{D_x}$$ $$$$.

Дійсна вартість страхових ануїтетів з виплатами m раз на рік (позначення з верхнім індексом (m)) у розрахунку на одну сумар­ну за рік грошову одиницю страхових платежів або виплат ви­значається для випадків постнумерандо та пренумерандо через відповідні річні ануїтети такими формулами:

$$a_x^{(m)}=\frac{m-1}{2m}{\mathrm{"\; a}}_x+\frac{m+1}{2m}{a}_x$$ ;

$$a_x^{(m)}=\frac{m+1}{2m}{\mathrm{"\; a}}_x+\frac{m-1}{2m}{a}_x$$ ;

$$a_{x\mathrm{:}n|}^{(m)}=\frac{m-1}{2m}{\mathrm{"\; a}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}+\frac{m+1}{2m}{a}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}$$ ;

$$a_{x\mathrm{:}n|}^{(m)}=\frac{m+1}{2m}{\mathrm{"\; a}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}+\frac{m-1}{2m}{a}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}$$.

Дійсна вартість одиниці страхових виплат для договорів стра­хування життя з негайною виплатою страхової суми в разі на­стання страхової події (позначення з рискою над виразом) визна­чається за допомогою співвідношень:

$${}_j{\stackrel{}{A}}_x=\frac{i}{}{}_j{A}_x$$ — $${}_j{\stackrel{}{A}}_{x\mathrm{:}n|}^1=\frac{i}{}{}_j{A}_{x\mathrm{:}n|}^1$$.

де n (l +і) — Інтенсивність річної ставки і інвестиційного доходу.

Дійсна вартість страхових ануїтетів, які відстрочені на w років (позначення з бічним індексом w |), визначається аналітично або за допомогою комутаційних чисел такими співвідношеннями:

$${}_w|a_x=v^w{}_w{p}_x{a}_{x+w}$$ або $${}_w|a_x=\frac{N_{x+w+1}}{D_x}$$.

$${}_w|{\mathrm{"\; a}}_x=v^w{}_w{p}_x{\mathrm{"\; a}}_{x+w}$$ або $${}_w|{\mathrm{"\; a}}_x=\frac{N_{x+w}}{D_x}$$.

$${}_w|a_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}=v^w{}_w{p}_x{a}_{\stackrel{}{x+w\mathrm{:}n|}}$$ або $${}_w|a_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}=\frac{N_{x+w+1}-N_{x+w+n+1}}{D_x}$$.

$${}_w|{\mathrm{"\; a}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}=v^w{}_w{p}_x{\mathrm{"\; a}}_{\stackrel{}{x+w\mathrm{:}n|}}$$ або $${}_w|{\mathrm{"\; a}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}=\frac{N_{x+w}-N_{x+w+n}}{D_x}$$.

Розрахунок нетто-премій за договорами страхування життя. Нетто-премії розраховуються на підставі принципу еквівалентності зобов’язань, що їх беруть страховик (страхові зобов’язання) та страхувальник (зобов'язання сплати страхових внесків) на час укладення договору страхування (принцип еквівалентності дійс­них вартостей зобов’язань).

Наведені щойно співвідношення дають змогу обчислювати нетто-премії (у разі сплати премій пренумерандо) для договорів страхування життя, які враховують настання однієї, кількох або всіх зазначених страхових подій.

Розмір нетто-премії N за кожним договором страхування жит­тя визначається співвідношенням.

N = TS,.

де T — нетто-тариф страхового внеску з одиниці страхової суми;

S — страхова сума за укладеним договором страхування життя.

Якщо умови договору страхування життя передбачають на­стання кількох страхових подій, нетто-премія за таким договором страхування розраховується як сума відповідних нетто-премій для кожної страхової події.

При визначенні нетто-премій актуарій прогнозує значення рі­чної ставки і інвестиційного доходу залежно від терміну дії дого­вору страхування. Розрахункове значення річної ставки інвес­тиційного доходу може коригуватися з урахуванням значення річної ставки інфляції f за формулою.

$$i\text{'}=\frac{\text{i-f}}{1+f}i-f$$.

При розрахунку нетто-премії N лише на випадок дожиття за­страхованої у віці x років особи до закінчення строку дії договору страхування (п — кількість років дії договору страхування) вели­чина нетто-премії визначається пропорційно до величини страхо­вої суми S:

• у разі сплати страхової премії одноразово:

$$N={}_{n}E{}_{x}S$$.

• у разі сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених договором страхування k років:

$$N=\frac{{}_n{E}_x}{{\mathrm{"\; a}}_{x\mathrm{:}k|}}S,k<=n$$.

При розрахунку нетто-премії лише на випадок настання j-ї страхової події нетто-премія пропорційна до страхової суми S, яка виплачується негайно після настання страхової події, і визна­чається співвідношеннями:

• при довічному страхуванні в разі сплати страхової премії одноразово:

$$N={}_j{\stackrel{}{A}}_{x}S$$.

• ри довічному страхуванні в разі сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених договором страхування k років:

$$N=\frac{{}_j{\stackrel{}{A}}_x}{{\mathrm{"\; a}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}k|}}}S$$.

• ри довічному страхуванні в разі сплати річних страхових премій довічно:

$$N=\frac{{}_j{\stackrel{}{A}}_x}{{\mathrm{"\; a}}_x}S$$.

• при страхуванні на строк п років у разі сплати страхової премії одноразово:

$$N={}_j{\stackrel{}{A}}_{x\mathrm{:}n|}^{1}S$$.

• при страхуванні на строк п років у разі сплати річних стра­хових премій протягом перших обумовлених договором страху­вання k років:

$$N=\frac{{}_j{\stackrel{}{A}}_{x\mathrm{:}n|}^1}{{\mathrm{"\; a}}_{x\mathrm{:}n|}}S,k<=n$$.

При розрахунку нетто-премії на випадок настання страхової події «хвороба застрахованої особи» або страхової події «тимча­сова непрацездатність застрахованої особи внаслідок нещасного випадку», коли умовами договору передбачається послідовність страхових виплат розміром S за кожний день хвороби (непраце­здатності), нетто-премія визначається співвідношеннями:

• ри довічному страхуванні в разі сплати страхової премії одноразово:

$$N={\stackrel{}{a}}_x^{\text{np}}\stackrel{}{S}$$.

• ри довічному страхуванні в разі сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених договором страхування k.

poків:

$$N=\frac{{\stackrel{}{a}}_x^{\text{np}}}{{\mathrm{"\; a}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}k|}}}\stackrel{}{S}$$.

• ри довічному страхуванні в разі сплати річних страхових премій довічно:

$$$$ $$N=\frac{{\stackrel{}{a}}_x^{\text{np}}}{{\mathrm{"\; a}}_x}\stackrel{}{S}$$.

• ри страхуванні на строк п років у разі сплати страхової премії одноразово:

$$N={\stackrel{}{a}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}^{\text{np}}\stackrel{}{S}$$.

• ри страхуванні на строк п років у разі сплати річних стра­хових премій протягом перших обумовлених договором страху­вання k років:

$$N=\frac{{\stackrel{}{a}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}k|}}^{\text{np}}}{{\mathrm{"\; a}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}k|}}}\stackrel{}{S}-k<=n$$.

При розрахунку нетто-премії на випадок настання страхових подій «досягнення застрахованою особою пенсійного віку або ві­ку, який визначено у договорі страхування», а також «смерті за­страхованої особи» нетто-премія визначається через страхову суму S, яка виплачується в разі смерті застрахованої особи не­гайно, та через розмір R щорічної пенсії пренумерандо співвід­ношеннями:

• ри довічному страхуванні особи у віці х років на випадок смерті та на випадок виплати довічної пенсії, починаючи з віку застрахованої х + w років, у разі сплати стразової премії одноразово:

$$N={}_0{\stackrel{}{A}}_{x}S={}_w|{\mathrm{"\; a}}_{x}R$$.

• ри страхуванні на строк п років застрахованої у віці х років особи на випадок смерті та на випадок виплати пенсії, починаю­чи з віку х + w років до віку х + п років, у разі сплати річних стра­хових премій протягом перших обумовлених договором страху­вання k рoків:

$$N=\frac{1}{{\mathrm{"\; a}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}k|}}}\left({}_0{\stackrel{}{A}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}k|}}^{1}S+{}_w|{\mathrm{"\; a}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n-w|}}R\right)$$.

Залежність нетто-тарифу від запланованої кількості дого­ворів. Наведені формули розрахунку нетто-премій являють со­бою математичне сподівання виплат страховика і задовольняють резерви компанії за договорами страхування життя в разі бага­тьох (кількох тисяч) договорів. При плануванні меншої кількості договорів наведені формули слід коригувати з урахуванням середньоквадратичного відхилення ануїтетів виплат та платежів. Роз­глянемо, як це потрібно робити.

Тариф T0 розрахованих нетто-премій збільшують на значення у ризикової надбавки ак, щоб виконувалася рівність.

T=T0+>

Ризикова надбавка до нетто-тарифу визначається з урахуван­ням запланованої кількості N договорів страхування рівнем о­вірчої ймовірності ($$[\mathrm{0,9}-\mathrm{0,}\text{99}]$$), квантилем нормального розпо­ділу tівня обчислюється за формулою.

$$\mathit{}=t_{}\frac{}{\sqrt{N}}$$.

де стандартне відхилення тарифу розрахованої нетто-премії.

Стандартне відхилення залежить від дисперсії ануїтету виплат, нормується розміром ануїтетy платежів і визначається для кожного типу договору страхування окремо:

• при довічному страхуванні лише на випадок настання j-ї страхової події для застрахованої у віці х років особи, якщо стра­хова премія сплачується одноразово І негайно виплачується оди­ниця страхової суми в разі настання страхової події:

$$(T)=\frac{\sqrt{{}_j{}^2{\stackrel{}{A}}_x-({}_j{\stackrel{}{A}}_x{)}^2}}{d}$$.

де d — розмір дисконту, який визначається через річну ставку і інвестиційного доходу за формулою.

$$d=\frac{i}{1+i}$$.

• при довічному страхуванні лише на випадок настання j-Ї страхової події для застрахованої у віці х років особи, якщо річні страхові премії сплачуються протягом перших обумовлених до­говором страхування k років і негайно виплачується одиниця страхової суми в разі настання страхової події:

$$(T)=\frac{\sqrt{{}_j{}^2{\stackrel{}{A}}_x-({}_j{\stackrel{}{A}}_x{)}^2}}{d{\left({\mathrm{"\; a}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}k|}}\right)}^2}$$.

• при довічному страхуванні лише на випадок настання j-ї страхової події для застрахованої у віці х років особи, якщо річні страхові премії сплачуються довічно і негайно виплачується оди­ниця страхової суми в разі настання страхової події:

$$(T)=\frac{\sqrt{{}_j{}^2{\stackrel{}{A}}_x-({}_j{\stackrel{}{A}}_x{)}^2}}{d({\mathrm{"\; a}}_x{)}^2}$$.

• при страхуванні на строк п років лише на випадок настання j-ї страхової події для застрахованої у віці х років особи, якщо страхова премія сплачується одноразово і негайно виплачується одиниця страхової суми в разі настання страхової події:

$$(T)=\frac{\sqrt{{}_j{}^2{A}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}^1-({}_j{A}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}^1{)}^2}}{d}$$.

• ри страхуванні на строк п років лише на випадок настання j-ї страхової події для застрахованої у віці х років особи, якщо рі­чні страхові премії виплачуються протягом перших обумовлених договором страхування k років і негайно виплачується одиниця страхової суми в разі настання страхової події:

$$(T)=\frac{\sqrt{{}_j{}^2{A}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}^1-({}_j{A}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}n|}}^1{)}^2}}{d({\mathrm{"\; a}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}k|}}{)}^2}$$.

• ри страхуванні лише на випадок дожиття застрахованої у віці х років особи до закінчення терміну дії договору страхування (п — кількість років дії договору страхування), коли страхова премія сплачується одноразово:

$$(T)=\frac{\sqrt{{}_n{}^2{E}_x-({}_n{E}_x{)}^2}}{d}$$.

• при страхуванні лише на випадок дожиття застрахованої у віці х років особи до закінчення терміну дії договору страхування (п — кількість років дії договору страхування) в разі сплати річ­них страхових премій протягом перших обумовлених договором страхування k років:

$$(T)=\frac{\sqrt{{}_n{}^2{E}_x-({}_n{E}_x{)}^2}}{d({\mathrm{"\; a}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}k|}}{)}^2}$$.

Аналогічно стандартне відхилення нетто-тарифу визначається для кожного розглянутого типу договору страхування.

Приклад. Розглянемо основну частину T0 та можливі (відносно запланованої кількості договорів страхування) ризикові надбавки о нетто-тарифу Т при укладанні договору довічного страхуван­ня життя чоловіка у віці 45 років лише на випадок смерті, якщо сплачуються перші 5 річних страхових премій і негайно виплачує­ться одиниця страхової суми при настанні страхової події.

Кількість N договорів страхування.	Нетто-тариф Т з урахуванням ризикової надбавки >
	0,551 609.
	0,241 453.
	0,188 733.
	0,162 162.
	0,143 373.
	0,118 299.
	0,112 357.
	0,104 429.
	0,102 549.
	0,99 448.
	0,98 467.
…	…
Розрахований нетто-тариф (T0).	0,980 134.

Для розрахунків виберемо значення ставки та інвестиційного доходу таким, що дорівнює 4% (і = 0,04), і візьмемо рівень до­вірчої ймовірності, 95, так що t, 645.

На підставі даних таблиці дожиття та смертності в Україні за 1994,1995 рр., за формулою.

$$N=\frac{{}_j{\stackrel{}{A}}_x}{{\mathrm{"\; a}}_{\stackrel{}{\text{x:}k|}}}S$$.

при S= 1 обчислюємо нетто-тариф Т0= 0,980 134.

Згідно з формулою.

$$(T)=\frac{\sqrt{{}_j{}^2{\stackrel{}{A}}_x-({}_j{\stackrel{}{A}}_x{)}^2}}{d({\mathrm{"\; a}}_{\stackrel{}{x\mathrm{:}k|}}{)}^2}$$.

залежність нетто-тарифу від запланованої кількості ' страхування відбиває таблиця, наведена на с. 534.