Геометричний пошук (реферат)

z.

Належність простому многокутнику.

begin.

L 0;

for i 1 to N do.

if (ребро (i) не горизонтальне) then.

if (ребро (i) перетинає l нижнім кінцем зліва від z).

then L L + 1;

if (L непарне) then z всередині else z ззовні;

end.

Теорема. Належність точки z внутрішній області простого N — кутника можна встановити за час O (N) без передобробки.

Задача. Належність точки опуклому многокутнику. Дано опуклий многокутник (N — кутник) P та точка z. Чи знаходиться точка z в середині P?

Алгоритм. Вершини опуклого многокутника впорядкуємо за полярними кутами відносно довільної внутрішньої точки q, в якості якої можна взяти, наприклад, центр ваги довільних трьох вершин P. Проведемо N променів з точки q через вершини многокутника. Ці промені розіб'ють площину на N клинів, кожен з яких розбивається стороною многокутника на дві частини. За допомогою двійкового пошуку можна знайти клин, в якому лежить точка z (промені розташовані в порядку зростання їх полярних кутів проти годинникової стрілки). Точка z лежить між променіми pi та pi+1 тоді і тільки тоді, коли кут (zqpi+1) додатний, а кут (zqpi) від'ємний. Коли точки pi та pi+1 знайдено, то точка z буде внутрішньою тоді і тільки тоді, коли кут (pipi+1z) від'ємний.

Теорема. Час відповіді на запит про належність точки опуклому N — кутнику дорівнює O (log N) при затраті O (N) пам’яті та O (N) часу на попередню обробку.

Попередня обробка полягає в розташуванні вершин многокутника в структурі даних, придатної для двійкового пошуку.

Зірчасті многокутники є більш обширним класом простих многокутників, що включають в себе опуклі многокутники. Зірчастий многокутник містить хоча б одну таку точку q, що відрізок qpi повністю лежить всередині многокутника P для довільної вершини pi. Множина всіх можливих таких точок q називається ядром P. Після знаходження такої точки q можна використовувати попередній алгоритм.

Теорема. Час відповіді на запит про належність точки зірчастому N — кутнику дорівнює O (log N) при затраті O (N) пам’яті та O (N) часу на попередню обробку.

Локалізація точки на планарному розбитті.

Метод смуг. Нехай задано планарний граф G. Проведемо горизонтальні прямі через кожну його вершину. Ці прямі розіб'ють площину не більш ніж на N + 1 горизонтальних смуг. Відсортуємо ці смуги за координатою y, після чого можна знайти ту смугу, в якій знаходиться задана точка z за час O (log N).

Знайдена смуга перетинає відрізки ребер графа G. Оскільки G є плоске укладання планарного графа, то його ребра перетинаються між собою лише у вершинах, а оскільки кожна вершина лежить на границі смуги, то відрізки ребер всередині смуг не перетинаються. Тому ці відрізки можна впорядкувати зліва направо та використати двійковий пошук для визначення тієї трапеції (які можуть вироджуватися у трикутники), в яку попала точка z, витративши на це час O (log N). Оскільки смуга може містити O (N) відрізків, то час, необхідний на їх впорядкування, дорівнює O (N * log N).

Нехай k — кількість смуг планарного графа G. Позначимо через L список смуг, кожний елемент L[i] (1 i якого містить вказівник li на список відсортованих (зліва направо) відрізків у смузі.

Оскільки граф може мати O (N) смуг, а на впорядкування відрізків у кожній смузі витрачається час O (N * log N), то для побудови структур даних L та li (1 i необхідно витратити час O (N2 * log N).

Локалізація точки методом смуг.

1. Використовуючи y — координату точки z, методом бінарного пошуку у списку смуг L знайти смугу j, в якій лежить точка z.

2. Використовуючи x — координату точки z, методом бінарного пошуку у списку відрізків li знайти відрізки e1 та e2, між якими лежить точка z.

Витрати по пам’яті дорівнюють O (N2), оскільки існують такі планарні графи, сумарна кількість відрізків в полосах яких може досягати O (N2). Справа на малюнку біля кожної смуги вказано кількість відрізків, яка знаходиться в ній.

Якщо ребро графа проходить через декілька смуг, то ці смуги йдуть послідовно одна за іншою. Час передобробки можна скоротити якщо використати метод замітання площини.

Алгоритм плоского замітання характеризується двома основними структурами даних:

1. Список точок подій — послідовність позицій, що назначаються для замітаючої прямої.

2. Статус замітаючої прямої - опис перетину замітаючої прямої із замітаємим геометричним об'єктом.

Якщо замітання проводити знизу вгору, то моментальним статусом замітаючої прямої буде впорядкована зліва направо послідовність ребер графа, що перетинають ту смугу, де знаходиться замітаюча пряма. Ця послідовність (порядок ребер) не змінюється всередині смуги, але змінюється на границі з наступною смугою, коли досягається наступна вершина графа. Статус замітаючої прямої можна зберігати у формі дерева, збалансованого за висотою (2−3 дерева). Списком точок подій є перелічені знизу вгору вершини графа.

Передобробка. Побудова структур даних.

1. Відсортувати вершини графа G по зростанню y координати. Нехай відсортованим списком буде {v1, v2, …, vn}. Побудуємо список L[i], з кожним елементом якого пов’яжемо дві точки vi та vi+1 графа G, одна з яких знаходиться на нижній границі смуги, а друга — на верхній. При цьому нехай вершина v0 має мінімальну y — координату, а vn+1 — максимальну y — координату. Умовоно орієнтуємо ребра графу G, які направлені від вершини з меншою y — координатою до вершини з більшою y — координатою.

2. Для смуги L[1] побудуємо порожнє 2 — 3 дерево T1. Список l1 покладемо порожнім.

3. k.

4. Розглянемо вершину vk-1 та видалимо всі вебра, які входять у vk-1 з дерева Tk-1 та вставимо у Tk-1 всі ребра, що виходять з vk-1. Отримали дерево Tk для L[k].

5. Обійдемо дерево Tk зліва направо, заносячи ребра до списку lk.

6. if k n then k k + 1 and goto 4;

Крок 1 алгоритму передобробки вимагає O (N * log N) часу. Оскільки кожна смуга містить O (N) відрізків, то розмір всіх дерев Tk, k = 1, …, n + 1, дорівнює O (N), а глибина — O (log N). Тому час вставки та видалення ребра дорівнює O (log N). Кожне ребро графу G лише один раз додається та один раз видаляється зі структури даних. Якщо граф G представлено реберним списком з подвійними зв’язками, то пошук вхідних та вихідних ребер для вершини vk-1 на 4-му кроці вимагатиме константний час. Оскільки граф G має O (N) ребер, то на виконання усіх 4-их кроків алгоритму витратиться O (N * log N) часу. Виконання 5 кроку відбувається за час O (N), оскільки список lk може містити O (N) ребер. Оскільки утворюється N дерев Tk, то на виконання усіх 5-их кроків алгоритму необхідно витратити O (N2) часу.

Теорема. Задачу локалізації точки методом смуг можна виконати за час O (log N) з часом передобробки O (N2) та витратами пам’яті O (N2).

Метод ланцюгів.

Означення. Ланцюгом C = {u1, u2, …, up} називається планарний граф з вершинами {u1, u2, …, up} та ребрами {(ui, ui+1): i = 1, …, p -1} .

Означення. Ланцюг C = {u1, u2, …, up} називається монотонним по відношенню до прямої l, якщо довільна пряма, ортогональна l, перетинає C лише в одній точці.

Проекцію l (z) заданої точки z на l можна локалізувати методом двійкового пошуку в єдиному з інтервалів (l (ui), l (ui+1)). Потім єдина лінійна перевірка визначить по яку сторону від ребра uiui+1 лежить точка z.

Теорема. Локалізація довільної точки відносно p вершинного ланцюга реалізується за час O (log p).

Припустимо, що існує множина E = {C1, C2, …, Cr} ланцюгів, монотонних відносно l однієї прямої та які мають наступні властивості:

1. Об'єднання усіх елементів E містить заданий планарний граф.

2. Для довільної пари ланцюгів Ci та Cj з E ті вузли Ci, які не є вузлами Cj, лежать по одну сторону від Cj.

Така множина називається повною множиною монотонних ланцюгів графа G. З другої властивості випливає, що ланцюги з E впорядковані.

Теорема. Дано r ланцюгів і в найдовшому ланцюгу p вершин. Локалізація точки розв’язується за час O (log r * log p).

Означення. Нехай G — планарний граф з множиною вершин v1, …, vN, де вершини проіндексовані так, що i < j тоді і тільки тоді, коли y (vi) < y (vj) або y (vi) = y (vj) і x (vi) > x (vj). Вершина vj називається регулярною, якщо існують такі цілі i < j < k, що (vi, vj) та (vj, vk) — ребра G. Граф G є регулярним, якщо кожна його вершина vj регулярна при 1 < j < N (за виключенням двох крайніх вершин v1 та vN).

Позначимо через IN (vj) та OUT (vj) множини ребер, які входять та виходять з вершини vj. Нехай ребра в IN (vj) впорядковані за кутом проти годинникової стрілки, а ребра в OUT (vj) — за годинниковою стрілкою. За припущенням про регулярність графа ці множини не порожні для кожної некрайньої вершини.

Теорема. Для довільної vj можна побудувати y — монотонний ланцюг від v1 до vj.

Доведення. Твердження справедливе для j = 2. Припустимо, що твердження справедливе для всіх k < j. Оскільки vj регулярна, то існує таке i < j, що (vi, vj) — ребро G. Але за припущенням індукції існує ланцюг C від v1 до vi, монотонний відносно осі y. Тоді його з'єднання з ребром (vi, vj) дасть також монотонний ланцюг.

Теорема. Довільний регулярний граф можна розбити на повну множину ланцюгів, монотонних відносно осі y.

Доведення. Покажемо виконання двох властивостей повної множини монотонних ланцюгів. Позначимо через W (e) вагу ребра e — кількість ланцюгів, яким належить e. Введемо позначення:

WIN (v) = $$\underset{e\text{IN}(v)}{}W(e)$$, WOUT (v) = $$\underset{e\text{OUT}(v)}{}W(e)$$ ,.

Покажемо, що ваги ребер можна обрати так, щоб виконувалися умови:

1. кожне ребро має додатню вагу;

2. для довільного vj (j N) WIN (vj) = WOUT (vj).

Перша умова встановлює факт належності кожного ребра хоча б одному ланцюгу. Друга умова гарантує, що WIN (vj) ланцюгів проходить через vj і їх можна обрати так, щоб вони не перетиналися.

Теорема. Реалізація умови WIN = WOUT є розв’язком потокової задачи і може бути досягнута за два проходи по графу G.

Покладемо спочатку W (e) = 1 для кожного ребра e. При першому проході від v1 до vN отримаємо WIN (vi) UT (vi) для всіх некрайніх vi. При другому проході від vN до v1 отримаємо WIN (vi) UT (vi). Отже після двох проходів матимемо реалізацію умови WIN (vi) = WOUT (vi).

Позначимо vIN (v) = | IN (v)|, vOUT (v) = | OUT (v)|.

Балансування за вагою в регулярному графі.

begin.

for кожне ребро з e do W (e) 1- /* ініціалізація */.

for i 2 to N — 1 do.

begin.

WIN (vi) сума ваг ребер, що входять у vi;

d1 крайнє зліва ребро, що виходить з vi;

if (WIN (vi) > vOUT (vi)) then W (d1) WIN (vi) — vOUT (vi) + 1;

end- /* перший прохід */.

for i N — 1 downto 2 do.

begin.

WOUT (vi) сума ваг ребер, що виходять з vi;

d2 крайнє зліва ребро, що входить у vi;

if (WOUT (vi) > WIN (vi)) then W (d2) WOUT (vi) — WIN (vi) + W (d2);

end- /* другий прохід */.

end.

нумерація вершин та ініціалізація ребер перший прохід.

другий прохід повна множина ланцюгів Приклад.

Перший прохід. Нехай i = 6 (ваги всіх ребер, що виходять з k — ої (k < 6) вершини, вже розставлені). WIN (v6) = 4 (вхідними є ребра: 36 — вага 1, 46 — вага 1, 56 — вага 2). Ребра, що виходять з v6: 67, 69. d1 = 69 (крайнє зліва ребро). vOUT (v6) = 2, WIN (v6) > vOUT (v6), тому що 4> 2. W (69) = 4 — 2 + 1 = 3.

Другий прохід. Нехай i = 3. WOUT (v3) = 3. Ребра, що входять у v3: 13. d2 = 13 (крайнє зліва ребро). W (13) = 1. WIN (v3) = 1. WOUT (v3) > WIN (v3), тому що 3 > 1. W (13) = 3 — 1 + 1 = 3.

Теорема. Довільний планарний граф можна перетворити в регулярний.

Доведення. Нехай v — нерегулярна вершина графа G. Припустимо, що з неї не виходить жодного ребра. Горизонтальна пряма, що проходить через v, протикає в загальному випадку пару ребер e1 та e2 графа G, найближчих до v зліва та справа. Оскільки v не є крайньою вершиною, то один з цих проколів повинен існувати. Нехай vi — верхня вершина ребер ei (i = 1, 2), а v* - та з вершин vi, що має найменшу ординату (наприклад, v2). Тоді відрізок vv* не перетинає ребер G (в загальному випадку це не вірно і тоді алгоритм регуляризації слід змінити) і може бути доданим до ребер планарного графу, регуляризуючи вершину v.

Використуючи алгоритм плоского замітання, замітаємо граф згори вниз регуляризуючі вершини, які не мають вихідних ребер, а потім знизу вгору для регуляризації вершин іншого типу.

регуляризований планарний граф Теорема. N вершинний планарний граф можна регуляризувати за час O (N * log N) з витратами пам’яті O (N).

Теорема. Локалізацію точки в N вершинному планарному підрозбитті можна реалізувати за час O (log2 N) з використанням O (N) пам’яті при затраті часу O (N * log N) на передобробку.

Метод деталізації триангуляції Кіркпатріка Нехай задана N вершинна триангуляція G. Побудуємо послідовність триангуляцій S1, S2, …, Sh (N), де S1 = G, а Si отримується з Si-1 за наступними правилами:

Крок 1. Видалимо деяку множину незалежних (несуміжних) неграничних вершин Si-1 та інцидентні їм ребра.

Крок 2. Будуємо триангуляцію утворених многокутників.

Таким чином Sh (N) не має внутрішніх вершин і складається з єдиного трикутника. Всі триангуляції мають одну спільну границю. Припустимо, що трикутник Rj належить триангуляції Si (позначатимемо Rj *Si), якщо Rj створено на другому кроці при побудові Si.

Нехай T — структура даних для пошуку, вузлам якої відповідають трикутники. Структура Т, топологію якої представляє направлений ациклічний граф, визначається наступним чином: від трикутника Rk до трикутника Rj проводиться дуга, якщо при побудові Si після Si-1 маємо:

1. Rj видаляється з Si-1 на кроці 1;

2. Rk утворюється з Si на кроці 2;

3. Rj Rk p>

Трикутники з Si не мають вихідних дуг.

Початковий крок полягає в локалізації точки z відносно Sh (N). Потім рухаємося вниз по шляху в Т до одного з трикутників з S1. Відбувається послідовна локалізація точки z у триангуляціях Sh (N), Sh (N) — 1, …, S1. Факт, що Si-1 є результатом деталізації Si, пояснює назву метода.