Кривые третього і четвертого порядка

Чуваський державний університет ім. І.Н. Ульянова.

Кафедра вищої математики.

КУРСОВА РОБОТА на тему:

«Криві третього і четвертого порядка».

Виконали: студенти групи С-12−00.

Пинаев И.Н.

Искаков Р.Р.

Перевірила: доцент кафедри вищої математики к.ф.-м.наук Самарина С.М.

Чебоксар, 2002.

Декартов лист 1. Особливості форми. Декартовым листом називається крива 3-го порядку, рівняння якої у прямокутної системі має вид.

[pic] (1) Іноді зручно користуватися параметрическими рівняннями декартова аркуша, які можна було одержати, вважаючи y=tx, приєднуючи до цього рівності рівність (1) і вирішуючи отриману систему щодо x і в, внаслідок матимемо: |[pic] |(2) |.

откуда слід, що декартов лист є раціональної кривою. Зауважимо ще, що полярне рівняння декартова аркуша має вид.

[pic] (3) Координати x і в входить у рівняння декартова аркуша симетрично, звідки слід, що крива симетрична щодо биссектрисы у=х. Звичне дослідження на особливі точки призводить до висновку, що початок координат є вузловий точкою декартова аркуша. Рівняння дотичних до алгебраїчній кривою у її окремій точці, яка відповідає початком координат, можна отримати роботу, як відомо, прирівнюючи нулю групу членів нижчою ступеня з рівняння цієї кривою. У нашому випадку маємо З аху = 0, звідки одержимо x = 0 і в = 0 — шукані рівняння дотичних у Вузловій точці. Ці касательные збігаються з координатными осями і, отже, на початку координат крива перетинає сама себе під прямим кутом. Легко бачити, що у першому координатном вугіллі крива робить петлю, яка перетинається з прямою у = x в точке.

[pic] Крапки цієї петлі, у яких касательные рівнобіжні координатным осях, мають координаты.

[pic] і [pic] (cм. рис. 1) Для остаточний діагноз форму кривою треба ще знайти асимптоту[pic] Замінюючи в рівнянні кривою у на [pic] прирівняємо нулю в отриманому рівнянні коефіцієнти двох членів із вищими ступенями x. Одержимо [pic] [pic]и b = - а. Отже, декартов листок має асимптоту у = — x — а; отже, у 2-му і 4-му координатних кутках галузі декартова аркуша йдуть у бесконечность.

[pic].

Рис. 1 2. Властивості. Відповідно до теоремі Маклорена, тоді як трьох точках алгебраїчній кривою 3-го порядку, лежачих в одній прямий, провести касательные до цієї кривою, то точки їх перетину з кривою лежатимуть на прямий лінії. Що стосується декартову аркушу ця теорема доводиться просто. Виведемо із метою попередньо умова перебування трьох точок декартова аркуша, відповідних значенням t1, t2 і t3 параметра, в одній прямий. Якщо рівняння прямий має вигляд y=kx+b, то значення параметра, відповідні точкам перетину цієї прямий з кривою, повинні задовольняти системе.

[pic] Система ця призводить до уравнению.

[pic] коріння якого і буде шуканими значеннями t1, t2 і t3 параметра, звідки слід, что.

[pic] (4) Це рівність і є умовою перебування трьох точок M1(t1), M2(t2), М3 (t3) декартова аркуша в одній прямий. Маючи цим умовою, покажемо справедливість теореми Маклорена для декартово аркуша. Справді, дотичну у точці M1 (t1) можна розглядати, як пряму, яка перетинає декартов лист у двох які збігаються між собою точках, котрим t2=t1, й у третьої точці, для якої відповідне значення параметра позначимо через T1. Умова (4) набуде вигляду t12 T1= -1. Для дотичних в точках М2 і M3 одержимо аналогічні співвідношення t22 T2 = -1 і t32 T3 = -1. Перемножая ці три рівності, будемо мати (t1t2t3)2T1T2T3 = -1. звідки виходячи з (4) укладаємо, як і T1T2T3 = -1, т. е. точки N1(T1), N2(T2) і N3(T3) лежать в одній прямий. Визначаючи площа, обмежену петлею декартова аркуша, получим:

[pic] 3. Спосіб побудови. Зауважимо попередньо, що й вісь симетрії декартова аркуша б сприйняти як вісь абсцис, то рівняння прийме його вид.

[pic] (5) Нехай тепер є окружність з радіусом r і центр в точке.

[pic] і пряма x= -h. Візьмемо довільну точку Q цієї окружності і проведемо пряму QA і пряму QN, перпендикулярну до осі абсцис (рис. 2). З точки перетину R прямий QA з прямою x= -h проводимо пряму RO до перетину їх у точці Q1 з прямою QN. Отже, точці Q на окружності буде поставлено відповідність точка Q1. Геометричне місце точок Q1 є декартов лист.

[pic].

Рис 2. Аби довести зауважимо, що координати точки Q можна записати в виде.

[pic] кут, составляемый радіусом кола, проведених у точку Q, з позитивним напрямом осі абсцис. Відповідно до цим рівняння прямий QA може бути записано в виде.

[pic] Вважаючи у тому рівнянні x= -h, знаходимо ординату.

[pic] точки R. Звідси випливає, що рівняння прямий RQ1 запишеться в виде.

[pic] (6) У той самий час рівняння прямий Q1N має вид.

[pic] (7) Виключаючи з рівнянь (6) і (7) параметр w, знаходимо рівняння геометричного місця точок Q1 в виде.

[pic] Зіставляючи його з рівнянням (5), укладаємо, ніби знайдене геометричне місце точок є декартовым листом. Перетворення точок окружності в точки декартова аркуша, здійснюване при такому його побудові, називається перетворенням Маклорена. 4. Історична довідка. Вперше за історію математики крива, названа згодом декартовым листом, визначається листі Декарта до Ферма в 1638 р. як крива, на яку сума обсягів кубів, побудованих на абсциссе і ординате кожної точки, дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на абсциссе, ординате і відзначався певною константі. Форма кривою встановлюється вперше Робервалем, який знаходить вузлову точку кривою, однак у його уяві крива складається із петлі. повторюючи цю петлю чотири квадрантах, то здобуває постать, нагадує йому квітка з чотирма пелюстками. Поетичне назва кривою «пелюстка жасмину», проте, не прищепилося. Повна форма кривою з наявністю асимптоты була визначено пізніше (1692) Гюйгенсом і І. Бернуллі. Назва «декартов лист» міцно встановилося лише з початку 18 века.

Циссоида Диоклеса.

1. Особливості форми. Серед багатьох способів освіти циссоиды—кривой, відкритої древніми у пошуках рішення знаменитої завдання про подвоєнні куба, ми зупинимося спочатку на найпростішому. Візьмемо окружність (звану що виконує) з діаметром ОА=2а і дотичну АВ до неї. Через точку Про проведемо промінь ВВ і ним відкладемо відрізок ОМ=ВС. Побудована в такий спосіб точка М належить циссоиде. Повернув промінь 0 В певний куток і виконавши вказане побудова, знайдемо другу точку циссоиды, тощо. буд. (Рис. 3). Якщо точку Про б сприйняти як полюс, то [pic] але [pic] звідки отримуємо полярне рівняння циссоиды.

[pic] (1) Користуючись формулами переходу від полярних координат до декартовым, знайдемо рівняння циссоиды в прямокутної системе:

[pic] (2) Параметричні рівняння циссоиды можна отримати роботу, вважаючи x=ty, тоді, виходячи з рівняння (2), то дійдемо системе.

[pic].

[pic].

Рис. 3 Рівняння (2) показує, що циссоида є алгебраїчній кривою 3-го порядку, та якщо з рівнянь (3) слід, що вона є раціональної кривою. Циссоида симетрична щодо осі абсцис, має нескінченні галузі; дотична до що виконує окружності, т. е. пряма x = 2а, служить нею асимптотой; початок координат є точкою повернення 1-го роду. 2. Властивості. Кинематически циссоида може бути отримана як траєкторія середини М катета ЗС трикутника АВС, передвигающегося у площині креслення тож його вершина У ковзає по осі ординат, а інший катет АС завжди проходить через нерухому точку Є на осі абсцис. (Рис. 4) Справді, позначивши середину відрізка ОЕ через D, помічаємо, що оскільки ВС=ЕО, (ВСЕ=(ВЕО, звідки /_ ВЕО = /_ СВЕ, і, отже, (NBE— рівнобедрений, бо як ЕD=ЕО/2=ВС/2=ВМ, то відрізок DM параллелен відтинку BE. Нехай, далі, точка До є точка перетину з продовженням відрізка DM прямий, що проходить через точку У паралельно осі абсцис. Наведемо окружність з центром на початку координат і радіусом, рівним OD, і проведемо до ній дотичну на другий точці перетину з прямою ЄО. Вона пройде, очевидно, через точку До. Окресливши точку перетину прямий DMK з окружністю через F, зауважимо, що трикутники DOF і МВК рівні між собою. З рівності вони мають, що DF=MK, отже, і DM=FK. Останнє рівність і, що геометричне місце точок М буде циссоидой. Інші способи освіти циссоиды засновані їхньому співвідношеннях з параболою. Покажемо насамперед, що циссоида є подэрой параболи щодо неї вершини. [pic] - рівняння даної параболи. Рівняння дотичній у довільній точці М ((, () цієї параболи можна записати як [pic] рівняння перпендикуляра, опущеного из.

[pic].

Рис. 4. початку координат з цього дотичну, буде [pic] координати точки N перетину його з дотичній визначаться по формулам.

[pic] (4) Виключаючи з цих рівностей параметр (, ми матимемо рівняння [pic] [pic] лист про циссоиду. Зауважимо далі, що координати точки, симетричній початку координат щодо дотичній до параболу у2 = 2рх, вийдуть, якщо праві частини формул (4) подвоїти, і, отже, визначаться формулами.

[pic] Виключаючи з цих рівностей параметр (, знову одержимо циссоиду з рівнянням [pic] Звідси випливає, що циссоида є геометричних місцем точок, симетричних вершині параболи щодо неї дотичних. Слід зазначити, що геометричне місце точок, симетричних початку координат щодо дотичній до параболу, можна як траєкторію вершини інший параболи, однаковою з цією, яка котиться по даної параболу. Отже, виникає новий спосіб кінематичного освіти циссоиды як траєкторії вершини параболи, яка без ковзання котиться з іншої той самий параболу. Зупинимося на метричних властивості циссоиды; у своїй ми зможемо зручно користуватися параметрическими рівняннями циссоиды як [pic] Площа, обмежена циссоидой і його асимптотой, дорівнює потроєною площі що виробляє кола; действительно,.

[pic] Це співвідношення отримано було Гюйгенсом навіть від нього Ферма.

[pic].

Рис. 5. Визначаючи площа криволинейного трикутника ОАМС (див. мал.5), знайдемо, інтегруючи у межах [pic] до [pic] що вона дорівнює [pic] Якщо тепер провести касательные в точках Проте й З до виробляючому колу, то площа криволинейного трикутника CMANC дорівнюватиме [pic] [pic] Вислів, що стоїть у правій частині, визначає потроєну площа криволинейного трикутника CLANC. Отже, пл. CMANC =3 пл. CLANC. Це співвідношення було відкрито також Гюйгенсом. Обсяг тіла, освіченого обертанням частини площині, обмеженою циссоидой і його асимптотой, навколо осі ординат визначиться по формуле.

[pic] Коли ж врахувати, що міра тору, який від обертання що виробляє кола навколо осі ординат, равняется[pic] те з отриманого результату слід, що міра тіла, одержуваного обертанням частини площині, обмеженою циссоидой і його асимптотой, навколо осі ординат, вп’ятеро більше обсягу тору, одержану обертання що виробляє кола навколо тієї самої осі. Це співвідношення отримали також Гюйгенсом. Нехай тепер хс — абсциса центру ваги частини площині, обмеженою циссоидой і його асимптотой; тоді з теоремі Гюльдена матимемо V == U • 2(хс, де V і U—соответственно об'єм і площа, окреслених вище. Підставляючи їх значення в співвідношення Гюльдена, одержимо [pic] Отже, центр тяжкості частини площині, ограничиваемой циссоидой і його асимптотой, ділить відрізок між вершиною і асимптотой на частини, стосунок яких одно 5. Це співвідношення дозволяє своєю чергою визначити обсяг тіла, отриманого обертанням циссоиды навколо її асимптоты. По теоремі Гюльдена будемо иметь.

[pic].

[pic] Цей результат можна тільки як і обсяг тору, одержану обертання що виробляє кола навколо асимптоты. Отже, обсяг тіла, отриманого обертанням циссоиды навколо її асимптоты, дорівнює обсягу тору, одержану обертання що виробляє кола. Це співвідношення встановлено вперше Слюзом. Довжина дуги циссоиды від неї вершини до точки з абсциссой x визначиться по формуле.

[pic].

[pic] 3. Застосування циссоиды до вирішення делосской завдання. Як мовилося раніше, циссоида було відкрито древніми у пошуках рішення делосской завдання про подвоєнні куба. Історія виникнення це завдання, за легендою, переданої Эратосфеном, така: на острові Делосе жителі страждали від мору, посланого їм богами; за передбаченням оракула богів можна було умиротворити, подвоївши обсяг жертовника, що мав форму куба. Суть завдання полягала в визначенню ребра куба, обсяг якого був би вдвічі більше обсягу даного куба. Що стосується приводу постановки завдання, то справедливо думати, що «піфія перебувала скоріш під навіюванням математиків, ніж надихалася самим богом» (Цейтен), оскільки завдання про подвоєнні куба була природним перенесенням у просторі планиметрической завдання про будівництво квадрата з майданом, вдвічі більшої площі даного квадрата, і, отже, могла скоріш виникнути у свідомості математика, ніж у свідомості оракула. Відкриття циссоиды з метою рішення делосской завдання приписується Диоклесу, жило в 3 столітті до нашої ери. Можливість знайти графічним шляхом ребро куба з обсягом, вдвічі великим обсягу даного куба, вбачається з таких міркувань. Нехай b — ребро даного куба, а У — ребро шуканого; тоді [pic] і, отже, [pic] Отже, що графічне вирішення завдання має звестися побудувати [pic] Перепишемо цієї мети рівняння циссоиды як [pic] Зауважимо далі, що пряма [pic] відсікає від дотичній відрізок (рис. 6).

[pic] (5) і перетинає циссоиду у точці М, координати якої задовольняють рівнянню [pic] Це рівняння можна як рівняння прямий, що проходить через точку, А (2а, 0) і отсекающей на осі ординат отрезок.

[pic] (6) Якщо тепер прийняти [pic] і осі ординат відкласти відрізок ОС == 2, з'єднати потім точку із точкою А (1, 0), а точку перетину прямий СА з циссоидой з'єднати все із точкою Про та продовжити отриманий відрізок до перетину з дотичній, те, як це з формул (5) і (6), відрізок AD і дорівнюватиме [pic] Давні розглядали лише ті частини циссоиды, що є всередині що виробляє кола. Разом з дугою окружності що виробляє кола ця частина утворює постать, нагадує лист плюща, звідки виникає назва кривою. Наявність нескінченних гілок у циссоиды було встановлено в 17 столітті Робервалем навіть від нього Слюзом. Кінематичний спосіб освіти циссоиды з допомогою трикутника приписується Ньютону, який виконав також випрямлення циссоиды як аналітичним шляхом, а й графическим.

[pic].

Рис. 6.

Кардиоида.

1. Рівняння. Кардиоиду можна з’ясувати, як траєкторію точки, лежачої на окружності кола радіуса r, який котиться навкруг нерухомого кола з такою самою радіусом. Вона являти собою, в такий спосіб, эпициклоиду з модулем m, рівним 1. Ця обставина дозволяє відразу ж потрапити записати параметричні рівняння кардиоиды, замінюючи в раніше наведених параметричних рівняннях эпициклоид модуль m одиницею. Будемо иметь:

[pic] (1) Щоб самому отримати полярне рівняння кардиоиды, зручно б сприйняти як полюс точку, А (див. мал.7), а полярну вісь направити по осі абсцис. Оскільки чотирикутник AOO1M буде рівнобедреної трапецією, то полярний кут (точки М виявиться рівним розі повороту що виробляє кола, т. е. параметру t. Зважаючи на це обставина, замінимо у другому рівнянні системи (1) у через (sin t. Скорочуючи отримане в такий спосіб рівність на sin t, одержимо полярне рівняння кардиоиды.

[pic].

Рис. 7 По виду цього уравнения.

[pic] можна зрозуміти, що кардиоида є одним із равликів Паскаля. Вона може визначатися, отже, як конхоида кола. Перекладаючи рівняння (2) в прямокутну систему координат, получим:

[pic] (3) На цьому рівняння слід, що кардиоида є алгебраїчній кривою 4- го порядку. 2. Властивості. Насамперед, оскільки кардиоида є эпициклоидой з m=1, її у можна перенести все властивості розглянутих нами у минулому параграфі эпициклоид. Саме ці властивості і характеристики. 1. Дотична у довільній точці кардиоиды проходить через точку окружності що виробляє кола, діаметрально протилежну точці торкання кіл, а нормаль — через точку їх торкання. 2. Кут (, составляемый дотичній до кардиоиде з радиусом-вектором точки торкання, дорівнює половині кута, утвореного цим радиусом-вектором з полярною віссю. Действительно[pic] [pic] На цьому співвідношення безпосередньо випливає, що кут, составляемый дотичній до кардиоиде з віссю абсцис, дорівнює [pic] (як зовнішній кут трикутника AMN Див. Мал.8). Маючи формулою [pic] можна довести, що касательные до кардиоиде, проведені у кінцях хорди, що проходить через полюс, взаємно перпендикулярні. Справді, оскільки [pic].

[pic].

Рис. 8 Зауважимо ще, що геометричне місце точок перетину цих дотичних є окружність [pic] Справді, рівняння першої дотичній на підставі рівнянь (1) кардиоиды, матиме вид [pic] [pic] а другий дотичній [pic] Виключаючи з цих рівнянь параметр, одержимо рівняння зазначеної окружності. 3. Радіус кривизни у довільній точці кардиоиды визначиться по формуле.

[pic] (4) Можна показати також, що радіус кривизни дорівнює 2/3 полярною нормальний N в заданої точці. Справді, [pic] звідки виходячи з (4) отримуємо [pic] Співвідношення це можна використовувати для побудови центру кривизни кардиоиды. 4. Эволюта кардиоиды, відповідно до загальному властивості эволют эпициклоид, буде також кардиоидой, як і даної, з коефіцієнтом подоби, рівним 1/3, і поверненою щодо даної на кут 180°. 5. Довжина дуги кардиоиды від точки До довільній точки М визначиться по формуле.

[pic] (5) Якщо довжину дуги відраховувати від точки А1, діаметрально протилежної точці Бо формула визначення довжини дуги то, можливо записана в виде.

[pic] (6) 6. Натуральне рівняння кардиоиды вийде, коли з рівностей (4) і (6) виключити параметр. Вона буде мати вид.

[pic] (7) 7. Площа, обмежена кардиоидой, визначиться по формуле.

[pic] як і видно, дорівнює ушестеренной площі що виробляє кола. Довжина всієї кардиоиды визначиться по формуле.

[pic] як і видно, дорівнює восьми діаметрам що виробляє кола. Обсяг тіла, одержану обертання кардиоиды навколо її осі, дорівнює [pic] Поверхня тіла, одержану обертання кардиоиды навколо її осі, дорівнює [pic] Ми бачили, що кардиоида органічно пов’язані з окружністю. вона є конхоидой кола і эпициклоидой. Вона має з окружністю й інший характер кревності — кардиоида є подэрой окружності щодо точки, що належить цієї окружности.

[pic].

Див. Мал.9 Справді, нехай ОМ є перпендикуляр, опущений на дотичну до окружності з радіусом, рівним 2r, проведену у точці N. Оскільки ОМ = OB + ВМ, чи (== 2r co (+ 2r, то геометричних місцем точок М буде кардиоида з рівнянням (= 2r (1 + co (). Зауважимо у фіналі, що кардиоида належить і сімейства синусоидальных спіралей, й окремі властивості її повторюють загальні властивості цих кривих. З положень цих властивостей слід, зокрема, що інверсія кардиоиды, щодо точки повернення дає параболу.

Астроида.

1. Властивості. Астроида, як і розглянута вище крива Штейнера, є приватним випадком гипоциклоид, саме, гипоциклоидой з модулем m, рівним ¼. Це, отже, траєкторію точки, лежачої на окружності кола радіуса r, який котиться по внутрішній стороні іншого, нерухомого кола, радіус R що його в чотири рази більше. Параметричні рівняння астроиды можна отримати роботу, вважаючи в рівняннях гипоциклоиды, m=¼. Саме ці уравнения:

[pic].

[pic].

Рис. 10 де t, як й раніше, кут повороту що виробляє кола (рис. 10) Виключаючи з рівнянь (1) параметр t, получим:

[pic] (2) З рівняння (2) слід, що астроида є алгебраїчній кривою 6-го порядку. Параметричні рівняння (1) астроиды можна навести до виду.

[pic] (3) Виключаючи з цих рівнянь параметр t, одержимо часто який вживається вид рівняння астроиды.

[pic] (4) Вважаючи в раніше загальних співвідношеннях для циклоидальных кривих модуль m = -¼, одержимо відповідні співвідношення для астроиды: 1) радіус кривизни у довільній точці астроиды визначається по формуле.

[pic] (5) 2) довжина дуги астроиды від точки До довільній точки M (t) визначиться по формуле.

[pic] (6) довжина жодної з гілок дорівнює [pic] а довжина всієї кривою 6R; 3) щоб одержати натурального рівняння астроиды зауважимо попередньо, що й початком відліку довжини дуги думати не точку Щодо якої t = 0, а точку, на яку t = (, то довжина дуги визначиться формулой.

[pic] (6) виключаючи параметр t з рівнянь (5) і (6), одержимо натуральне рівняння астроиды.

[pic] 4) эволюта астроиды є й астроида, така даної, з коефіцієнтом подоби, рівним 2, повернута щодо даної на кут (/4 (рис.11) 5) площа, обмежена всієї астроидой, дорівнює [pic] обсяг тіла, одержану обертання астроиды, дорівнює 32/105(R3 поверхню тіла, освіченого обертанням астроиды, дорівнює [pic] Звернімося тепер до розгляду деяких приватних властивостей астроиды. Астроида є облямовує відрізка постійної довжини, кінці. якого ковзають з двох взаємно перпендикулярным прямим. Приймаємо ці прямі за осі координат і, позначаючи кут нахилу ковзаючого відрізка ND=R через ((рис.12), матимемо рівняння прямий ND в виде.

[pic] (7) Дифференцируя це рівняння за найважливішим параметром (, получим:

[pic] Виключаючи з останнього рівняння і рівняння (7) параметр (, матимемо рівняння облямовує як [pic] т. е. астроиду. Практично переміщення відрізка ND можна здійснити з допомогою так званих кардановых кіл. Одне з цих кіл з радіусом R нерухомий, а інший, з радіусом r, вдвічі меншим, котиться по внутрішній стороні нерухомого кола. Будь-які дві діаметрально протилежні точки N і D катящегося кола переміщуватимуть з двох взаємно перпендикулярным діаметрам Ой і Зу нерухомого кола. Зрозуміло, що облямовує діаметра катящегося кола і буде астроида.

|[pic] |[pic] | | |Рис. 12 | |Рис. 11 | |.

Рассмотренный спосіб освіти астроиды можна тільки також наступним чином. Прямокутник ODCN, дві сторони якої лежать двома взаємно перпендикулярних прямих, деформується отже діагональ його зберігає довжину, рівну R, огинає діагоналі і буде астроидой. Бо за цьому перпендикуляр, опущений з вершини З на діагональ DN, служить нормалью до облямовує, то астроида є геометричне місце підстав перпендикулярів, опущених з вершини З прямокутника з його діагональ. 2. Властивості дотичних до астроиде. Рівняння (7) висловлює пряму ND, т. е. дотичну до астроиде у певній точці М, причому параметр (представляє собою кут, составляемый цієї дотичній з віссю абсцис. Рівняння інший дотичній, перпендикулярної до першої, матиме вид.

[pic] (8) Виключаючи з рівнянь (7) і (8) параметр а, одержимо рівняння [pic] чи, в полярною системі, [pic] яке висловлює четырехлепестковую троянду. Отже, геометричне місце вершин прямого кута, боку якого стосуються астроиды, є чотирьох лепестковая троянда. Інше властивість дотичних до астроиде таке: кожна дотична перетинає астроиду у двох точках, касательные у яких перетинаються в точці, лежачої на окружності описаного близько астроиды кола. Визначимо подэру астроиды щодо точки Р, лежачої на бісектрисі 1-го координатного кута з відривом ОР=с з початку координат. Вище показано, що астроиду можна як огибающую відрізка ND = R, ковзаючого своїми кінцями по координатным осях. Отсюда.

[pic].

Рис. 13 слід, що потрібну подэру можна з’ясувати, як геометричне місце підстав перпендикулярів, опущених з точки Р безпосередньо ND (рис. 13). Проведемо ОЕ _|_ ND, і OQ, де Q — середина відрізка ND. Крапку Р порахуємо полюсом, а пряму РК полярною віссю. Полярний кут КРМ точки М подэры позначимо через (, а радиус-вектор РМ — через (. Тоді, як бачити, кут [pic] Оскільки [pic] Але, з іншого боку, [pic] З двох рівностей, полярне рівняння подэры запишеться як [pic] а прямокутної системі з початком у точці Р в виде.

[pic] Отримана в такий спосіб крива 6-го порядку має у початку координат четырехкратную і називається «жуком». У приватному разі, напувай с=0, жук стає трояндою, 3. Навкісна астроида. Узагальненням розглянутим астроиды є так звана навкісна астроида, що дає огибающую відрізка ND постійної довжини R, ковзаючого своїми кінцями з двох прямим, пересекающимся під довільним кутом f.

[pic].

Рис. 14 Вважаючи ці пересічні прямі координатными осями, позначимо кут, составляемый прямий ND з віссю абсцис, через t. Тоді з трикутника OND (рис. 14) матимемо: [pic] звідки [pic] і отже, рівняння прямий ND в відтинках на вісях запишеться як [pic] Дифференцируя це рівняння по t і виключаючи з отриманого після диференціювання рівності і рівняння прямий параметр t, одержимо параметричні рівняння косою астроиды як [pic] при [pic] ці рівняння висловлюють розглянуту раніше пряму астроиду.