Властивості степеневих рядів. 
Неперервність суми. 
Інтегрування і диференціювання (пошукова робота)

Пошукова робота на тему:

Властивості степеневих рядів. Неперервність суми. Інтегрування і диференціювання степеневих рядів.

План.

• ластивості степеневих рядів.

• еперервність суми.

• нтегрування степеневих рядів.

• иференціювання степеневих рядів.

1. Властивості степеневих рядів.

Теорема 1 (неперервність суми степеневого ряду). Сума степеневого ряду (13.39) є неперервною всередині проміжку збіжності.

Д о в е д е н н я. Візьмемо деяке додатне Тоді числовий ряд з додатними членами.

(13.49).

збігається. Але при члени ряду (13.39) за абсолютною величиною не більші відповідних членів ряду (13.49). Тому, за ознакою Вейєрштрасса, ряд (13.39) рівномірно збігається на відрізку і його сума буде неперервною на цьому відрізку.

Наслідок. Якщо границі інтегрування, лежать всередині інтервалу збіжності степеневого ряду, то за теоремою 3 (п. 13.9.3) його можна почленно інтегрувати на проміжку, оскільки він буде рівномірно збігатися на, що містить проміжок ().

Теорема 2 (диференціювання степеневих рядів). Якщо степеневий ряд (13.39).

має інтервал збіжності, то ряд.

(13.50).

одержаний почленним диференціюванням ряду (13.39), має той же інтервал збіжності - при цьому сума ряду (13.50) де сума ряду (13.39).

Д о в е д е н н я. Доведемо, що ряд (13.50) рівномірно збігається на відрізку який повністю лежить всередині інтервалу збіжності.

Для цього візьмемо деяку точку таку, що В цій точці ряд (13.39) збігається, значить, а тому можна вказати таке постійне число що. Якщо то.

де.

Таким чином, члени ряду (13.50) при за абсолютною величиною менші за члени числового ряду з додатними членами:

За ознакою Даламбера цей ряд збігається:

Отже, ряд (13.50) рівномірно збігається на відрізку і за теоремою 4 (п. 13.9.3) його сума є похідна від суми даного ряду на відрізку, тобто.

Оскільки довільну внутрішню точку інтервалу можна помістити в деякий відрізок то звідси випливає, що ряд (13.50) збігається в довільній внутрішній точці інтервалу.

Доведемо тепер, що ряд (13.50) розбігається поза інтервалом Припустимо, що ряд (13.50) збігається при деякому Інтегруючи його почленно в інтервалі де ми одержали б, що ряд (13.39) збігається в точці а це протирічить умовам теореми. Таким чином, інтервал є інтервал збіжності ряду (13.50). Теорема повністю доведена.

Ряд (13.50) знову можна почленно диференціювати і продовжити так як завгодно багато разів. Отже, одержимо висновок:

Наслідок. Якщо степеневий ряд збігається в інтервалі то його сума представляє собою функцію, що має всередині інтервалу збіжності похідні довільного порядку, кожна з яких є сумою ряду, одержаного в результаті почленного диференціювання даного ряду відповідне число разівпри цьому інтервал збіжності кожного ряду, одержаного в результаті диференціювання, є той же інтервал.

Приклад 1. Знайти інтервали збіжності степеневих рядів.

а) — б) .

Р о з в ' я з о к. а) Знайдемо радіус збіжності степеневого ряду за формулою (13.44).

.

Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу, тобто при.

При: розбігається, тому що.

При: розбігається (не виконується.

необхідна умова збіжності). Отже, ряд збігається при.

б) За формулою (13.45) знаходимо радіус збіжності.

При: .

Оскільки.

то.

знакочергуючий ряд розбігається.

При: розбігається (не виконується.

необхідна ознака збіжності. Інтервал збіжності даного ряду.

Приклад 2. Знайти суму ряду.

Р о з в ' я з о к. Позначимо суму цього степеневого ряду через Радіус збіжності даного ряду, а інтервал збіжності Продиференціюємо почленно його два рази (наслідок теореми 2) :

Останній ряд рівномірно збігається всередині проміжку і представляє собою суму нескінченно спадної геометричної прогресії із знаменником, а тому сума.

Зауважимо, що.

Розв’язуючи дане диференціальне рівняння із заданими початковими умовами, одержимо:

Оскільки то і сума заданого ряду.