Визначення випадкового процесу. 
Перерізи (реферат)

РЕФЕРАТ На тему:

Визначення випадкового процесу. Перерізи Теорія випадкових процесів (в іншій термінології - теорія випадкових функцій) є математичною наукою, яка вивчає закономірності випадкових подій у динаміці.

У світі, що нас оточує, часто спостерігаються процеси, перебіг яких передбачити неможливо. Ця невизначеність зумовлюється впливом випадкових факторів на хід процесу.

Наприклад, рівень води в річці або водосховищі змінюється під впливом випадкових чинників залежно від погоди, кількості опадів, інтенсивності зрошувальних заходівнапруга в електромережі відхиляється від номіналу під впливом таких випадкових факторів, як кількість увімкнених у мережу приладів, моменти їх вмикання чи вимикання тощо. Можна впевнитися, що в будь-якому процесі присутній елемент випадковості, який виявляється більшою чи меншою мірою залежно від його фізичної основи. Отже, детермінованих процесів у навколишньому світі не існує - на перебіг будь-якого процесу впливають численні фактори, які під час дослідження (моделювання) врахувати практично неможливо.

Теорія випадкових процесів широко застосовується, коли йдеться про вивчення економічних, екологічних, соціальних та технічних систем. Базуючись на цій теорії, створюють стохастичні моделі, що описують більшість видів господарської діяльності людини і дають змогу з певною ймовірністю прогнозувати ситуації, які можуть виникати внаслідок цієї діяльності.

Випадковий процес пов’язаний із часом t. Тому в загальному випадку випадкові процеси позначають $$X\left(t\right),Y\left(t\right),Z\left(t\right)\text{.}$$ Поняття випадкового процесу є узагальненням випадкової величини, яка вивчається в теорії ймовірностей.

Випадковим називається процес $$X\left(t\right),$$ значення якого при будь-якому фіксованому $$t=t_i$$ $$(i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\text{.}\text{.}\text{.})$$ є випадковою величиною $$X\left(t_i\right)$$ $$(i=\mathrm{1,2,3,}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.})$$. Отже, випадковий процес є функцією від t. Випадкова величина $$X\left(t_i\right)$$ $$(i=\mathrm{1,2,3,}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.})$$, в яку реалізувався випадковий процес $$X\left(t\right)$$ при значенні аргументу $$t=t_i$$, називають перерізом цього процесу.

Той факт, що в деякому експерименті випадковий процес $$X\left(t\right)$$

здійснився, записуватимемо так:

$$X\left(t\right)=x\left(t\right)$$

де.

$$x\left(t\right)$$

уже не є випадковим процесом, і його залежність від t набуває цілком певного вигляду. Отже,.

$$X\left(t\right)=x\left(t\right)$$

— не випадкова функція.

.

Таким чином, провівши експеримент, дістанемо деяку реалізацію випадкового процесу $$X\left(t\right)=x\left(t\right)\text{.}$$.

Кожна реалізація випадкового процесу $$X\left(t\right)$$ являє собою невипадкову функцію $$x\left(t\right)$$, на яку перетворюється випадковий процес у результаті проведення експерименту (опитування, спостереження).

Здійснивши не один експеримент, а кілька, дістанемо деяку множину реалізацій випадкового процесу.

Схематично це можна проілюструвати графіками, наведеними на рис. 1.

Рис. 1.

Реалізації $$x_1\left(t\right),x_2\left(t\right),\text{.}\text{.}\text{.},x_n\left(t\right)$$ різняться між собою. Провівши переріз при $$t=t_i,$$ дістанемо випадкову величину, спостережувані значення якої позначено точками на вертикальній прямій, проведеній через $$t=t_i\text{.}$$.

Якщо випадковий процес $$X\left(t\right)$$

є випадковою функцією від аргументу t, то випадкова величина.

$$X\left(t_i\right)=\left(x_1\left(t_i\right),x_2\left(t_i\right),\text{.}\text{.}\text{.}{x}_n\left(t_i\right)\right),$$

яку дістаємо, проводячи переріз при.

$$t=t_i$$

є фіксацією випадкового процесу в даний момент часу (процес розглядається у статиці). Отже, функції.

$$X\left(t_i\right)$$

є стохастичними, тоді як випадковий процес.

$$X\left(t\right)$$

є динамічним унаслідок зміни t.

.

Таким чином, випадковий процес є системою випадкових величин усіх перерізів процесу.

Таких перерізів може бути нескінченна множина. Тому досліджувати утворювану систему випадкових величин неможливо.

У реальних задачах обмежуються двома чи трьома перерізами. Значне збільшення кількості перерізів приводить до непомірно складної математичної задачі, розв’язати яку практично неможливо.

Випадкові процеси можна класифікувати за часом і за станами.

Випадковий процес $$X\left(t\right)$$ називають процесом із дискретним часом, якщо система, в якій він відбувається, може змінювати свої стани лише у фіксовані моменти часу $$t_1,t_2,\text{.}\text{.}\text{.}{t}_i,\text{.}\text{.}\text{.},$$ кількість яких скінченна або зліченна. Множина $$T=(t_1,t_2,\text{.}\text{.}\text{.}{t}_n)$$ моментів переходу системи є зліченною і дискретною.

Приклади випадкових процесів із дискретним часом: 1) процес роботи технічних систем, які підлягають огляду в моменти часу $$t_1,t_2,\text{.}\text{.}\text{.}$$ і які потім переводять із однієї категорії придатності до експлуатації до іншої- 2) процес роботи обчислювального центру, що може змінювати свої стани в моменти часу $$t_1,t_2,\text{.}\text{.}\text{.},$$ та ін.

Випадковий процес $$X\left(t\right)$$ називається процесом із неперервним часом, якщо переходи системи із одного стану до іншого можуть здійснюватися в будь-який момент $$T=t$$ .

Для випадкового процесу з неперервним часом множина Т моментів переходу системи із одного стану до іншого є незліченною.

Приклади випадкових процесів із неперервним часом: 1) $$X\left(t\right)$$ — кількість відказів у роботі технічного пристрою- 2) $$X\left(t\right)$$ — кількість осіб, які захворіли на грип у деякому місті в період епідемії, тощо.

Випадковий процес $$X\left(t\right)$$ називають процесом із неперервними станами, якщо його переріз у будь-який момент часу t являє собою не дискретну, а неперервну випадкову величину.

Випадковий процес $$X\left(t\right)$$ називають процесом із дискретними станами, якщо в будь-який момент часу t перерізом його є дискретна випадкова величина.

Приклади процесів із дискретним і неперервним станами:

1) у певні моменти часу $$t_1,t_2,\text{.}\text{.}\text{.}$$ вимірюється температура повітря в деякій місцевості. Послідовність значень цієї величини є випадковим процесом $$X\left(t\right)$$ із неперервним станом і дискретним часом;

2) процес зміни напруги в електромережі являє собою випадковий процес $$U\left(t\right)$$ із неперервним станом і неперервним часом;

3) технічний прилад містить n елементів, які працюють незалежно один від одного і у процесі роботи можуть виходити з ладу.

Випадковий процес $$X\left(t\right)$$ — кількість елементів, які можуть вийти з ладу, є процесом із дискретним станом і неперервним часом.